Jeder kennt Russells Paradoxon vom Barbier, der genau diejenigen rasiert, die sich nicht selbst rasieren. Weniger bekannt ist der Hintergrund, nämlich Gottlob Freges Theorie von Konzept und Extension, auf die Russell mit seinem Beispiel reagierte. Dies und andere grundlegende Fragen erläutert das neue Video von Up and Atom.

Kommentare (17)

  1. #1 Dr. Webbaer
    29. März 2019

    Könnte, dies so mal ganz laienhaft eingeschätzt, in Richtung dieses Gags gehen :

    -> https://de.wikipedia.org/wiki/Lügner-Paradox

    So dass letztlich der intrinsische Widerspruch der Aussage dadurch auflösen lässt, in der Tautologie, dass ein Satz wahr, falsch und sich in einem dritten (oder n-fachen) Zustand befinden könnte, womit die Annahme widerlegt wäre, dass Sätze falsch oder wahr sein müssen.
    So dass sich weitergehende Tautologie oder Logik für derartige Sachbearbeitung anbietet.

    MFG
    Dr. Webbaer

  2. #2 Kai
    29. März 2019

    Als Student hatte ich immer Probleme mit dem Paradoxon, weil es sich ja eigentlich recht leicht auflösen lässt. Sämtliche Paradoxien laufen ja immer auf das gleiche Problem hinaus: Selbstreferenzierung.
    Andererseits liegt hier eben auch der Knackpunkt: Würde ein Informatiker Schleifen und Rekursionen abschaffen, nur weil er dadurch Endlosschleifen in seinen Programmen erzeugen könnte? Letztlich nimmt man diese Brüche in der Logik in Kauf, wenn das logische System (bzw. die Programmiersprache) dadurch mächtiger wird.

  3. #3 Frank Wappler
    29. März 2019

    Thilo schrieb (29. März 2019):
    > Jeder kennt Russells Paradoxon vom Barbier, der genau diejenigen rasiert, die sich nicht selbst rasieren. […]

    Und jeder Dorf-Frisör weiß, dass er (deshalb, stattdessen) sowohl genau all diejenigen Dörfler frisiert, die sich nicht selbst frisieren, als auch ausdrücklich sich selbst.

    (Was übrigens nicht ausschließt, dass ein bestimmtes Dorf mehrere verschiedene Dorf-Friseure hat.)

    Ebenso wie jede (selbständig tätige) Totengräberin (deshalb, stattdessen) ausdrücklich nur die Gräber genau all derjenigen anfallenden Bestattungsbereiten wieder schließen würde, die ihre Gräber nicht selbst wieder schlössen, und die nicht mit ihr selbst identisch sind.

    Weniger bekannt scheint, ob und wie das Aussonderungsaxiom zu ersetzen wäre,
    wenn man (zwar) annimmt, dass es eine surjektive Abbildung

    f : A \rightarrow \mathcal P[ \, A \, ] zwischen einer (unendlichen) Menge A und ihrer Potenzmenge \mathcal P[ \, A \, ] gäbe, aber es ablehnt, den Ausdruck

    \{ x \in A \, \mid \, x \not \in f[ \, x \, ] \} als “(Ausdruck (von mindestens) einer bestimmte) Menge” aufzufassen; sondern stattdessen insbesondere

    \{ x \in A \, \mid \, (x \not \in f[ \, x \, ]) \text{und} (x \neq f[ \, x \, ]) \} als den “Ausdruck einer bestimmten Menge” auffassen würde, und

    \{ x \in A \, \mid \, (x \not \in f[ \, x \, ]) \text{oder} (x = f[ \, x \, ]) \} als einen Ausdruck, der auf mehrere verschiedene bestimmte Mengen zutreffen kann (aber nicht unbedingt an sich als “Ausdruck einer bestimmten Menge”).

  4. #4 rolak
    29. März 2019

    Sämtliche Paradoxien .. immer

    Nicht doch, Kai, siehe zum Beispiel.

    Und selbstverständlich ist die Möglichkeit endlos sich abspulender Programmschleifen weder ein Logikbruch noch ein Paradoxon – im Gegenteil sie ist konsistent in der Programmierlogik und funktional in der Anwendung (eg poll (¬köln)).

  5. #5 Markus Termin
    Nürnberg/Prag
    29. März 2019

    Mathematik ist insgesamt unlogisch – sie hat ein Problem mit dem Satz der Identität. Trotzdem ein nettes Werkzeug – aber eben leider nicht logisch. Ansonsten gibt es für die “Wahrheit” im philosophischen Sinn nur die Paradoxie – oder, mit einem anderen Begriff “Antinomie” – man kann sogar überspitzt ausdrücken, dass bezüglich des “großen Ganzen” mathematische und auch sonstige “Wahrheiten” sich genau daran erkennen lassen, wie ‘rein’ sie der jeweiligen Paradoxie (endlich/unendlich z.B.) Ausdruck geben, die ihnen zu Grunde liegt – was natürlich einen beschränknten Gebrauchsnutzen implementiert, aber das ist – solange man das im Hinterkopf behält, wie Einstein oder Frege, ganz in Ordnung. Davon kann heute nur keine Rede sein, leider …

  6. #6 Kai
    29. März 2019

    @Rolak: Vielleicht verstehe ich ja Cramers Paradoxon falsch, aber es handelt sich dabei doch nur um ein “scheinbares” Paradoxon (ähnlich wie Achilles und die Schildkröte) und nicht um ein echtes Paradoxon.

    Ansonsten ist “Logikbruch” ja kein klar definierter Begriff. Ein endlos laufendes Programm kann jedenfalls keine klare Ausgabe liefern. Genauso wie das Barbier-Paradoxon nicht mit Wahr oder Unwahr entschieden werden kann. Worauf ich hinaus will, ist das die dahinter stehenden Systeme, obgleich man solche degenerierten Fälle (Paradoxien, Endlosschleifen, …) erzeugen kann, trotzdem mächtig und nützlich sind und deshalb auch weiterhin verwendet werden. Es gibt ja eben Aussagen bzw. Programme, die wahr sind (bzw. sinnvolle Ausgaben liefern), aber eben nur mit Hilfe solcher Schleifen/Rekursionen beschrieben werden können.

  7. #7 Dr. Webbaer
    29. März 2019

    Es gibt in der Spieltheorie Paradoxien, die die beteiligten Spieler anleiten probabilistisch zu handeln bzw. zu spielen; die finden einige schon sozusagen wirklich paradox.

  8. #8 Dr. Webbaer
    30. März 2019

    Mathematik ist insgesamt unlogisch – sie hat ein Problem mit dem Satz der Identität.

    Die Mathematik ist, weil sie keinen (direkten) Realbezug hat, sozusagen nur logisch, sie gilt insofern als Formalwissenschaft und wenn die Axiomatik sozusagen stabil ist, kann sie nicht i.p. Inkohärenz leiden.
    Was aber nicht der Fall sein muss, wovon wiederum Mathematiker leben, was wiederum nicht schlecht sein muss.

    MFG
    Dr. Webbaer (der nicht vom Fach ist, dies nur ergänzend angemerkt, nur Anwender ist und war)

  9. #9 Kollus
    30. März 2019

    “Der Barbier rasiert sich selbst.” Ist dieses Selbst identisch mit dem Barbier? Wenn das Rasieren zum Barbier gehört, dann kann es nicht zum Selbst gehören, denn dann würde auch das Rasieren rasiert werden.

  10. #10 Markus Termin
    Nürnberg/Prag
    31. März 2019

    @ Dr. Webbär: Mathematik ist – wie gesagt – ein nützliches Spiel – aber es gibt nichts, was weiter entfernt sein könnte von Logik – sie schafft es ja nicht mal aus der bestehenden Axiomatik heraus in die Widerspruchsfreiheit (siehe Gottlob Frege) – die Axiomatik – hier insbesondere der Satz von der Identität – beschreibt ja bereits vollkommen logisch die unlogischen Grundlagen des durchaus nützlichen Wolkenkuckkucksheims. Nur sollte man eben Mathematik nicht mit Wirklichkeit verwechseln, urknallmäßig und so.

    Wirklichkeit ist logisch und hat Logik, Mathematik entbehrt sie grundsätzlich (und nicht im Detail). Wäre es anders, dann wäre die Mathematik für die Wirklichkeit, sofern diese naturgemäß formellos ist, sogar ganz unbrauchbar, denken Sie mal drüber nach, MfG!

  11. #11 bote19
    31. März 2019

    Markus Termin
    Wir müssen den Paradoxien dankbar sein. Sie zeigen die Grenzen von Sprache auf und damit zeigen sie auch die Grenzen der Wissenschaft auf.
    Die Mathematik zählt zu den formalen Sprachen, die Aussagelogik übrigens auch. Alle formalen Systeme sind in sich widerspruchsfrei, aber sie haben eine Grenze.
    Sie meinen mit Wahrheit den „Logos“, der ist mit Sprache allein nicht erfahrbar und mit Mathematik schon gar nicht.

  12. #12 Markus Termin
    Nürnberg/Prag
    31. März 2019

    @ bote19: sicher, Paradoxien sind das Tor zur Wahrheit – mit der Wissenschaft per Popper-Definition ja nichts am Hut hat – nur ihre Schlussfolgerung ist – wie ich es sehe – falsch: wohl die Grenze von Wissenschaft, nicht aber die von Sprache. Warum? Der Gegenbeweis ist schnell erbracht: wäre es, wie Sie behaupten, könnten Sie selbst sprachlich nicht ausdrücken, wo Ihrer Meinung nach eine Grenze liegt. Indem Sie die Grenze sprachlich beschreiben, überschreiten Sie sie auch. Das ist übrigens immer so und völlig normal (und gilt auch für den lieben Herrn Kant).

    “Aussagelogik” – wie Sie es nennen, gehört für mich nicht zu den “formalen Sprachen” – ihr liegt keine Axiomatik zu Grunde – und wo solches doch versucht wird, ist es Murx, da wird Logik noch ein mathematisiertes Päckchen draufgesattelt – in der Welt von O und I sicher ein brauchbarer Prozess, wie jeder Informatiker bestätigen wird – aber das ist halt (noch?) nicht die ganze Welt.

    “Formale Sprachen” hingegen wie die Mathematik, die sich auf der Basis unlogischer Axiomatik scheinbar logisch ausbreiten und dann dennoch auf Widersprüche innerhalb des eigenen logischen Zusammenhangs stoßen (Russel, Frege … ) – sind, wie gesagt, ein gutes Werkzeug, dessen Nutzen ganz entscheidend davon abhängt, vorab zu wissen, wie weit es reicht und wozu es – da es doch Logik prinzipiell axiomatisch entbehrt – letztlich taugt.

    Das geht logischerweise nur außerhalb der jeweiligen Systeme (Mathematik, Aussagelogig, wie immer Sie das nennen … ) – Logik ist der Überbegriff, vor dem sich diese Dinge ausnehmen, wie Spielplätze im Kindergarten.

  13. #13 bote19
    31. März 2019

    Markus Termin,
    Wenn Sie annehmen, dass man nur in Gedanken denken kann, also die Sprache die letzte Instanz vor der Wirklichkeit ist, dann ist Ihre Meinung logisch. Wissenschaftlich formuliert , heißt das, natürliche Sprache hat Redundanz.
    Sie verwenden Logik im Sinne von Vernunft. O.K. das kann man machen.
    Was die Paradoxien betrifft, die sind wichtig um die Grenzen unserer Begriffe ins Bewusstsein zu rücken.
    Und unsere Begriffe stellen Grenzen dar, sie konstruieren die Grenzen und damit die Grenzen unseres Denkens.
    Und die Logik erkennt die Widersprüche und steht damit tatsächlich über der Sprache. Und damit sind wir beim Logos, der nicht gedacht werden muss, der immer schon da war. Ich denke, damit sind wir uns einig.

  14. #14 Markus Termin
    Nürnberg/Prag
    31. März 2019

    @bote19: Denken kann man nur – so meine ich zumindest – in Gedanken: aber Begriffe stellen erstmal nicht die Grenzen unseres Denkens dar (es geht das Gerücht, Begriffe könnten sich bilden), Paradoxien allerdings tun es – sie sind ja ein “Kind” der Logik – anders sonst wir sie gar nicht bemerken würden. Das Wissen davon wäre allerdings völlig sinnlos, wenn damit nicht auch die Verheißung einer Überwindung dieser Grenzen verbunden wäre – dafür mag es von Vorteil sein, Paradoxien zu benennen und auszuhalten, nicht aber irgendwo scheinbare Grenzen zu attestieren, die freilich Grenzen eines bestimmten Denk-Systems sind, nicht aber des Denkens überhaupt.

    “Vernunft” passt mir hier nur im Sinne zur Abgrenzung gegen “Wahn” – also mit der Frage verbunden, in welchem Sinn und wo genau die Verwendung von axiomatisch logischer Systeme absurd wird – also in kosmologischen Zusammenhängen und allem, was daraus aktuell resultiert: bei der Festlegung der Eichmaße, die von kosmologischen Konstanten abhängig sind z.B.

    Genau so wichtig ist natürlich die Feststellung, wo und wie solche Systeme eingeschränkter Wirklichkeit sinnvolle zivilisatorische Arbeit leisten. Und für mich stellt sich auch die Frage: warum? Damit unterscheidbar wird, wo nicht.

    Warum also z.B. Statistik niemals ein angemessenes Werkzeug für gesellschaftspolitische Entscheidungen sein kann, aber hervorragend brauchbar für technische Entwicklungen ist.

  15. #15 bote19
    31. März 2019

    Markus Termin,
    Zustimmung, (außer)bis zum letzten Satz.
    Wenn mal Wahlergebnisse zur Statistik rechnet, dann ist die Statistik sogar richtungsweisend.
    Und politische Meinungen werde heute von den Parteien genau so beeinflusst wie die das Image von Waschmitteln durch die PR-Fachleute.

  16. #16 Laie
    1. April 2019

    Die Mathematik ist, schön, aber ist sie widerspruchsfrei? 🙂

    Am einfachsten sind die natürlichsten Zahlen, als Basis für alles. Sogar hier gilt oder galt die Zahl 0 als umstritten, ob sie denn natürlich sei. (Privatmeinungen dazu sind ausdrücklich zugelassen und erwünscht.

    Die 0 als Zahl und darauf 1, ungefähr so wie das Nichts und daraus der Urknall?

  17. #17 Nikolaus Castell-Castell
    Prag
    13. Mai 2019

    Nikolaus Graf zu Castell-Castell, Castell-LOGIK lernen 2. Teil
    Die Castell-Logik ist keine eigene Logik. Aber es gibt derart viele verschiedene Logiken, dass wir der einzig richtigen diesen Namen gegeben haben.

    Viele Namen fuer viele, angeblich verschiedene, Logiken kann nur bedeuten, dass keine verbindliche Logik existiert.
    Zwar wissen wir, dass es zum Beispiel moeglich sein soll, dass sich etwas oder jemand an zwei Orten gleichzeitig befindet u.v.a., aber fuer unseren Alltg auf unserem Globus taugt eine solche Information nichts. Ohne unsere schlichte Alltags-Logik wuerde Kommunikation und Zusammenleben zusammenbrechen.

    Obwohl diese Logik tatsaechlich „schlicht“ und plausibel ist, wendet sie kaum jemand im verbalen Bereich an oder stoert sich an dem Widersinnigen, das unablaessig um uns herum verbal produziert wird. Wir sind in allen Bereichen (nur etwas weniger in dem der Wissenschaften) ausschliesslich von (gewollten, aber v.a. versehentlichen) Schein- und Halbwahrheiten umgeben, bei denen schoener „Klang“ und „Anschein“ mehr wiegen, als der logisch vertretbare Inhalt.

    Aber weil die Anwendungsarten der falschen Logik so vielfaeltig sind, sollten auch nur diese vielen Arten von Scheinlogiken mit den vielen verschiedenen Namen benannt werden.
    „Die Logik“ selbst ist „die Logik“ und hat keinen offiziellen und personenbezogenen Namen. Unsere „Castell-Logik“ ist ein hausinterner Scherz, mit der Nebenabsicht, von Suchmaschinen besser erfasst zu werden.

    Unsere zweite Frage von „Logik B“ (dem 2. Teil unserer „Castell-Logik“) lautet also:
    Die sog. mathematische Logik: In welcher, nur sehr partiellen, Form existiert sie ueberhaupt?

    a)
    Die hier aufgestellten Ueberlegungen fielen 2016 als Nebenprodukt unserer Sprachentwicklungen an unserem Prager Institut an.
    Ihre Besonderheit ist, keine vorgedachten Gedanken, Urteile oder gar Formulierungen (wie es im Bereich der formalen Logik ueblich ist) uebernommen zu haben, sondern saemtliche Erkenntnisse in heuristischen Verfahren selbst entwickelt zu haben.
    Ein zweiter Vorteil ist der bewusste Verzicht auf wissenschaftliche Verkomplizierung der Gedanken und Begriffe, um (wie es in Fachliteratur nur allzu haeufig und unnoetigerweise vorkommt) Fachkenntnis unter Beweis zu stellen oder gar moegliche geistige Unklarheiten mit Textbausteinen zu kaschieren.
    Der vorgenannte Text ist also nicht nur klar und leicht verstaendlich, sondern in allen Teilen eigenstaendig und neu.

    1) Dass die „mathematische Logik“ keine mathematische Logik ist, duerfte auch anderen Kritikern aufgefallen sein, dass sich aber ihre (angebliche) Logik nur ausschliesslich mit sich selbst beschaeftigt und darin ihren Selbstzweck findet, wurde in der Literatur noch nirgends herausgearbeitet und ist Hauptgegenstand dieses Aufsatzes.
    2) Auch eine deutliche Kritik des semantischen und (trotz gegenteiliger Behauptung) auch syntaktischen Niveaus von Aussagen- und Praedikatenlogik mit ihren undifferenzierten und auf Buchstaben (Symbole) reduzierten „Aussagen“ (die hier vollkommen unpassend sind, da mathematische Logik mit der Arithmetik nichts gemein hat) war ueberfaellig und wird in diesem Aufsatz belegt.
    3) In der Logik der Realitaet haben alle von vornherein willkuerlich als falsch erklaerte Praemissen nichts zu suchen. Warum sie bei den einzelnen Operatoren jeweils in drei von vier theoretischen Kombinationen absichtlich eingebaut werden, entbehrt jeden praktischen, aber auch theoretischen, Sinns.
    4) Die hier vorzutragenden Argumente fuer eine unbegrenzt mehrwertige Logik und das bisherige bewusste Missinterpretieren der sog. Fuzzy-Logik stellen ebenfalls eine eigene und offensichtlich neue Idee dar.
    5) Ausserdem werden in diesem Aufsatz die Bezeichnungen Null (0) und (vor allem) Eins (1) hinterfragt, und es wird der naheliegende Vorschlag gemacht, die Benennungen Null (0) und Eins (1) von den benebelnden, das Weiterdenken blockierenden und trotz Boole auch falschen, Begriffen „wahr“ und „falsch“ zu trennen.
    6) Das Zusammensetzen von (nur zwei) Aussagen, die a) fuer die Logik keineswegs verbunden werden muessten und b) deren zwangslaeufiges Zusammengehoeren sowohl in der Praxis, als auch in der Theorie, (mit Ausnahme von dem „wenn-dann“-Operator) bei allen Operatoren stets unpassend ist, wird ebenfalls in diesem Aufsatz dargelegt.
    7) Die Unsinigkeit fuer jegliche Logik, a) einige Operatoren durch leichte Variationen zu ergaenzen (z.B. V und XOR) und b) fuer diese dann teilweise abweichende Wahrheitswerte zu behaupten, wird kritisch vermerkt (und offensichtlich erstmalig bemerkt).
    8) Das starre und sowohl praktisch als auch theoretisch aussagelose System in den Wahrheitstabellen usw. wird ebenfalls konstatiert. Die Tatsache, dass es sich hier lediglich um eine im Voraus festgelegte und keineswegs durchgaengig logische Skala
    handelt, die die Informatiker seit Shannon freundlicherweise fuer ihre „Namensgebungen“ (mit jeweils ein paar definierten Eigenschaften) nutzen (aber nicht nutzen muessten), wird kritisch dargestellt.
    9) Das in diesem Aufsatz kurz angerissene Thema zum Zaehlen von Zahlen ist simpel, aber selbst entwickelt und neu. Diese Festlegung, dass sich die Elemente einer Menge den in ihrer Reihenfolge und in ihrem Abstand zueinander im Voraus festgelegten Zahlen
    anpassen muessen und nicht umgekehrt, macht den Blick frei fuer den u.g. Punkt 10) dieses Resuemees.
    10) Durch den vorgenannten Punkt 9) werden die umfassenden Unterschiede zwischen der Mathematik und der mathematischen Logik offensichtlich, die klar belegen, dass die mathematische Logik nichts mit Mathematik zu tun hat und dass darum der Anspruch der mathematischen Logik, ein „Sonderrecht“ darauf zu haben, auf Semantik keinen Wert legen zu muessen und selbst entscheiden zu koennen, was „wahr“ und was „falsch“ ist, nach logischen Gesichtspunkten unhaltbar ist.

    b)
    Die mathematische Logik und die Informatik:

    Die Informatik beruht auf den mathematischen Operatoren (+ / – / *), benutzt aber nicht diese einfachen arithmetischen Operatoren direkt, sondern macht den Umweg ueber die sog. logischen Operatoren, die sodann die o.g. mathematischen Operatoren darstellen.
    In Bezug auf Logik und mathematisch zu errechnende Logik gibt es keinen zwingenden Grund dafuer, sich logischer Operatoren zu bedienen, solange es mathematische gibt, und es gibt erst recht keinen Grund dafuer, ausschliesslich “sprachliche Operatoren” (und das sind die Operatoren der mathematischen Logik) “mathematisch” zu nennen.
    Auch haben diese vorgenannten sprachlichen Operatoren nichts mit Logik zu tun. Weder stellen sie selbst Logik dar, noch werden sie (mit eventueller Ausnahme von “und” und “not”, falls man sich weiter dieses Systems der “logischen Operatoren” bedienen sollte ) zur Herstellung von Logik benoetigt.
    Es sind also nicht nur die Bezeichnungen “mathematisch” und “Logik” verfehlt, es ist auch das ganze, angeblich logische System aufgebauscht, “unlogisch” und fehlerhaft.
    Fuer die Informatik ist das Gebilde der “mathematischen Logik” vor allem ein Namensgeber. Darueber hinaus ist es ein ungenaues Modell, das wenig bis gar nichts mit Logik zu tun hat.
    Es richtet zwar fuer die Informatik sicher keinen Schaden an, sich dieser Kruecke von natursprachlichen Woertern (die „mathematisch“ und „logisch“ genannt werden, um nicht „sprachliche Kruecke“ genannt werden zu muessen) zu bedienen, aber das inzwischen sehr umfangreiche System der „mathematischen Logik“ wird nur noch zu einem sehr kleinen Teil von der Informatik genutzt und ist somit inzwischen nur noch ein aufgeblaehtes und nahezu nutzloses Gebilde.
    Es kann auch deshalb auf die mathematische Logik verzichtet werden, weil sich die praktische Informatik immer mehr dahin entwickelt, dass sie die meisten logischen Operatoren nicht benoetigt, d.h. mit viel weniger Operatoren auskommt.
    Mit Einschaltung des “not”-Operators (Verneinung) kann naemlich jeder logische Operator das gesamte Feld von Moeglichkeiten bei Gattern abdecken. Um unter Weglassung anderer Operatoren (wie XOR, konditional, bikonditional usw.) hier die gebraeuchlichsten logischen Operatoren zu nennen: Inzwischen koennte man mit 2 Operatoren, entweder a) gemaess Peirce mit “oder” und “not” (bzw. NOR) oder b) gemaess Sheffer mit “und” und “not” (bzw. NAND)) alle Schaltungen realisieren.

    -) De Morgan:
    Auch das Aufblaehen der “mathematischen” Logik nach der Methode De Morgan’s, der aus “A & B” alternative Konstrukte zusammensetzt wie “nicht (nicht A “oder” nicht B), um mit doppelten Verneinungen behaupten zu koennen, der “und”-Operator sei erfolgreich von “oder” ersetzt worden, lassen die “mathematische Logik” kompliziert und durchdacht aussehen, sind aber sprachlich ungenau und logisch unerheblich.
    Das natursprachlich Unnoetige und Fehlerhafte solcher “mathematischen” Sprachuebungen zeigen diese “Morgan’schen Regeln” gut auf:
    Hier sind die “und”-Beispiele sprachlich und sprachlogisch nachzuvollziehen, von den angeblichen Analogien mit “oder” aber laesst sich dies nicht behaupten.
    Die Verneinung der “und”-Aussage “not (A & B)” ist sprachlich und formal einleuchtend. Die analoge Aussage aber mit “oder” ist (abgesehen davon, dass sie als pure Wiederholung ohnehin unnoetig ist) logisch unerheblich und sprachlich unsinnig.
    Die fuer “not (A & B)” alternative Schreibweise soll angeblich “nicht A ODER nicht B” lauten, was in etwa bedeutet:
    Die Aussage “A & B sind beide nicht wahr” sei dieselbe wie “A ist nicht wahr ODER B ist nicht wahr”…..
    Auch wenn die beiden Seiten um der Wirkung willen noch einmal in ihrer Reihenfolge ausgetauscht werden, aendern solche unterschiedliche Darstellungen nichts an der Erkenntnis, dass es sich auch bei diesem Versuch, die angeblichen mathematische Logik zu ergaenzen, um nichts als unnoetige, unlogische und darueber hinaus unrichtige Versuche mit “Umgangssprache” handelt.
    Bei der Informatik kann auf praktische Aspekte , wie z.B. auf Geschwindigkeit (Fuzzy ist langsam, Additionsmoeglichkeiten sind begrenzt und ebenfalls langsam) oder Vereinfachung (mehr Logik, d.h. wiederholt vorkommende gleiche oder sogar sich widersprechende Ergebnisse bei verschiedenen logischen Operatoren koennen weniger Konstruktionsaufwand bedeuten usw.) verwiesen werden, die es aus schaltungstechnischen Gruenden notwendig machen, sich der logischen Operatoren mit ihren Besonderheiten zu bedienen und dabei auch die Morgan’sche Regel wichtig zu finden, weil man damit z.B. alles auf eine NAND-Schaltung zurueckfuehren kann, sprachlogisch ist und bleibt sie allerdings unnoetig und unlogisch.

    -) Tautologie:
    Wenn den 8 “atomaren” Praemissen dieses angeblich logischen „oder”-Operators die Wahrheitswerte (1) “wahr-wahr”, (2) “wahr-falsch”, (3) “falsch-wahr” und (4) “falsch-falsch” zugewiesen werden (denn wir entscheiden ja selbst, welche Praemisse “wahr”oder “falsch” ist und weisen diese zu), entstehen folgende Gesamtaussagen, die jede fuer sich, angeblich “wahr” sind:
    Ad (1) Die Gesamtaussage ist wahr, denn: Es regnet oder es regnet.
    Ad (2) Die Gesamtaussage ist wahr, denn: Es regnet oder es regnet nicht.
    Ad (3) Die Gesamtaussage ist wahr, denn: Es regnet nicht oder es regnet.
    Ad (4) Die Gesamtaussage ist wahr, denn: Es regnet nicht oder es regnet nicht.
    Wenn sich die zuletzt genannten “Tautologien” als Aussagen herausstellen, die nur “wahr” als Gesamtergebnisse hervorbringen, dann kann man sich aufgrund des niedrigen Niveaus derartiger Wortspielereien innerhalb einer angeblichen Logik und von “Argumenten” wie den in der 2. und 3. Zeile nur noch veralbert fuehlen, und zwar unabhaengig davon, ob die praktische Informatik selbst diesen fehlerhaften und nicht-logischen Wortspielereien Nutzen abgewinnt.

    Dass auch fuer eine Tautologie die Ergebnisse (“Argumente”) in der Tabelle des “oder”-Operators teilweise stimmig aussehen (allerdings kann ein “falsch oder falsch”, wie im vierten Fall geschehen, logisch nicht „wahr“ergeben), sollte nicht verwundern. Die “mathematischen Logiker” hatten genug Zeit, ihr Woerter-System so hinzubiegen, dass es in sich stimmig erscheint.

    Tatsaechlich aber ist diese Praemissen- und Argumenten-Darstellung nicht ueberzeugend. Ein Gesamtergebnis (hier sogar “Argument” genannt), bei dem in der Haelfte der Faelle eine der beiden Praemissen falsch sein darf und beide Praemissen zusammen sich widersprechen, verletzt das Russell’sche Gesetz der Nichtwiderspruechlichkeit und ist weder stimmig, noch “wahr”, also auch nicht logisch.

    -) “Wahr und wahr = wahr”
    Fuer den “und”-Operator reicht (wenn “atomare” Teilsaetze zusammengespannt werden, und zwar nur aus dem einzigen sinnvollen Grund, weil bei Gattern, ausser dem “not”-Gatter, die Eingaenge paarweise berechnet werden, nicht aber, weil es zur Logik gehoert, zwei beliebige Saetze zusammenzusetzen und mit je einem willkuerlichen “wahr” zu belegen) allein der erste Fall “wahr und wahr” aus, in dem an beiden Gatter-Eingaengen Spannung angelegt ist, um klar zu machen, dass nur im Falle dieser doppelten Spannungseinleitung auch am Ausgang (plus dem Uebertrag) Spannung austritt. Die drei angeblich logischen Zusaetze der mathematischen Logik, dass keine Spannung austritt, wenn an dem einen oder dem anderen Eingang oder an beiden Eingaengen keine Spannung angelegt wird, ist ueberfluessig und hat nichts mit Logik zu tun (es sei denn, man nennt es “logisch”, einen zuvor bereits mit positiven Worten klar gemachten Ausschluss eines Zustands noch einmal mit negativen Worten in allen seinen Variationen zu wiederholen).

    c)
    Die mehrwertige Logik

    Der theoretisch naheliegende Schritt, eine der Realitaet angemessene mehrwertige Logik zu entwickeln, begann erst vor fast 100 Jahren mit einem sehr zurueckhaltenden dritten Wert, der laut Lukasiewitz angeblich genau zwischen Null und Eins lag (was er natuerlich nicht tat!) und nichts Wichtigeres darzustellen wusste, als ungenaue und ungefaehre Woerter, wie sie in unexakter Umgangssprache vorkommen, wenn etwas weder total wahr, noch total falsch ist. Im Anschluss glaubte man, mit diesem Mittelwert eine “Uebersetzung” fuer vielerlei Woerter wie “fast”, “beinahe”, “ungefaehr”, “teilweise” usw. gefunden zu haben, denn man wusste rechnerisch nicht einmal mit einem (ungefaehren) Mittelwert etwas anderes anzufangen, als sich in Aristoteles’scher Weise weiter mit Sprache zu beschaeftigen. In der sog. modalen Logik “regnet es” nun nicht mehr, sondern “es regnet moeglicherweise”,was sprachlogisch weder eine logische, noch eine klare Aussage ist.

    Die mathematische Logik waere wahrscheinlich laengst „Geschichte“, wenn sie nicht das Glueck gehabt haette, unerwartete Anerkennung von der neuen Disziplin Informatik zu erhalten, die selbst die unsinnigsten Teile dieser „Logik“ noch zu nutzen wusste. Die Leistungen der praktischen Informatik (herauszufinden, an welchen Leitungen Spannung angelegt werden muss, um bestimmte Effekte zu erzielen) haetten allerdings auch ohne dieses eher verwirrende und zeitraubende System der angeblich mathematischen Logik stattgefunden. Und es bleibt die Frage, ob diese Leistungen nicht sogar noch groesser waeren, wenn man sich einer wirklich mathematischen Logik (die nur mit Zahlen arbeitet) bedient haette, anstatt sich auf diesen Umweg ueber die unklaren Woerter von Natursprachen zu versteifen.
    So wird noch heute sinngemaess allgemein behauptet, die vorgenannten modalen Werte innerhalb der beiden absoluten Werte (wahr und falsch) seien keine eigenen Werte, sondern stellten nur untergeordnete Variationen zwischen den einzig richtigen Werten (wahr und falsch) dar und wollten lediglich die klare Trennung zwischen ihnen “aufweichen”. Am fragwuerdigsten wird heute argumentiert, wenn sinngemaess behauptet wird, alle Zwischenformen zwischen wahr und falsch seien nur in der unklaren und dumpfen “Umgangssprache” ueblich und moeglich und stuenden darum immer in Verbindung mit einem naturgemaess unlogischen, weil natursprachlich denkenden, Subjekt, das mehr oder weniger Unklares und Unlogisches zum Ausdruck zu bringen versucht.

    -) Lotfi Zadeh’s Fuzzy-Logik:
    Selbst der von der formalen Logik wenig anerkannte Lotfi Zadeh wird mit seiner naheliegenden Entwicklung der Fuzzy-Logik bis heute missinterpretiert. Die Tatsache, dass er speziell fuer seine Aufgabenstellung nur vage Ergebnisse benoetigte, heisst nicht, dass mit Nachkommazahlen (hier 0,1 bis 0,9) nicht auch (und vor allem) nahezu unbegrenzt genaue Werte zu errechnen sind. Die Tatsache, dass Zadeh Begriffe, die verbal nicht genau definiert sind und Sachverhalte, fuer die nicht genug numerische Daten verfuegbar sind, mit ungefaehren Werten inklusive fliessenden Uebergaengen versieht, heisst auch nicht, dass die Werte zwischen 0 und “1” per se unklar sind und man darum bei den angeblich einzig klaren Absolutheitswerten 0 und “1” bleiben muesse.
    Auch dieser oben genannte und in der Literatur durchgehend zu lesende Denkfehler spricht fuer eine neuerungsfeindliche Dogmatik ohne Selbstkritik.
    Tatsaechlich hat Zadeh mit seiner Zielsetzung, die nur “zufaelligerweise” das Vage und Ungenaue zwischen Mensch, Aussenwelt und Computer zum Inhalt hatte, fast unbegrenzt viele Zahlen zur Verfuegung und damit auch genau die Anzahl, die er benoetigt. Es ist keine Einschraenkung, dass er vor diesen Zahlen ein “Null Komma” stehen hat. Letzteres resultiert aus den digitalen Gegebenheiten und beschraenkt sein Modell in keiner Weise.
    Auch ohne “0,” (Null Komma) wuerde die erste Zahl, die er benoetigt, zwischen Null und Unendlich beginnen und irgendwo bei seinem gedachten Hoechstwert enden (unabhaengig davon, dass darueber hinaus noch Werte zur Verfuegung stehen, bis hin zu “unendlich” bzw. “0,999…” (dem sich Computer nicht sehr weit annaehern koennen, sodass Letztere hilfsweise auch “1” genannt werden koennen). Auch hier bewertet die praktische Informatik die sprachliche Unlogik der mathematischen Logik grosszuegig, da es die Praxis mit sich bringt, dass die Fuzzy-Logik dem Rechner viel Zeit abverlangt und dass Computer zwar rationale Zahlen in grosser Hoehe anzeigen, aber nicht so leicht zaehlen koennen.
    Streng logisch aber gilt, dass eine der Konsequenzen der lediglich auf die 0- bzw. 1 beschraenkten Vorgehensweise darin liegt, dass dabei nicht unterschieden wird zwischen den absoluten Bezeichnungen “wahr” und “falsch”, die an beiden Enden unserer erkennbaren Wirklichkeit liegen und zwischen die getrost unbegrenzt viele Zwischenwerte gepackt werden koennen, und einem “absoluten wahr” und “absoluten falsch”, von denen die mathematischen Logiker auch dann reden, wenn es nur um kleine “Wahrheitsspannen”, d.h. um ihre beschraenkten Aussagen in der Art wie “es regnet und die Strasse ist nass” u.ae. geht.

    d)
    Die Vereinnahmung der Logik durch die „Buchstaben-Mathematik“:

    Was die Mathematiker ab Boole und Frege aus dem Versuch, Logik zu berechnen, gemacht haben, ist zwar vielfaeltig und komplex und zu kleinen Teilen fuer die Informatik verwendbar, aber es ist und bleibt in sich unlogisch.
    Die Ziele der formalen Logiker gingen dabei in zwei Richtungen gleichzeitig:
    1) Sie wollten die Logik mathematisieren. Leider geschah dies, ohne sie vorher einheitlich definiert zu haben. Entsprechend kam zwar ein Woertergebilde zustande, innerhalb dessen man einigen Woertern eine gewisse naheliegende „Ordnung“ vorfand, aber logisch oder logisch brauchbar war dieses Konstrukt nicht.

    2) Und sie wollten sich gleichzeitig von der “Umgangssprache” loesen (was belegt, dass diese neuen Logiker nicht davon ausgingen, dass Logik gleich Logik ist, und zwar gleichgueltig, ob sie mathematisch oder “umgangssprachlich” oder graphisch dargestellt wird).

    Da die natursprachlichen Moeglichkeiten, solche Logik darzustellen, auch schon zu Zeiten Freges vor 130 Jahren ungleich groesser waren (und bis heute geblieben sind), als die damals noch in den Kinderschuhen steckenden (und bis heute immer noch darin steckenden) mathematischen Moeglichkeiten, Logik darzustellen, gab und gibt es keine Zielsetzung, die in Bezug auf „Logik“ schneller ins Leere lief (und da auch blieb), als dieses scheinbar bis heute nicht richtig durchdachte Vorhaben.
    Dass die Informatik dieses unvollkommene Gebilde der mathematischen Logik quasi “rettete“, weil es wegen der begrenzten Moeglichkeiten der Computer (z.B. wegen ihrer Binaeritaet) trotzdem mit ihr etwas anfangen konnte, macht die mathematische Logik nicht mit einem mal angemessen benannt, korrekt definiert und in sich fehlerlos.
    Denn bis jetzt ist die angebliche Logik (die sog. „formale“ bzw. ab Frege „mathematische“ Logik) nur Selbstzweck, die sich mit sich selbst beschaeftigt und in ihren sog. Wahrheitstabellen aufzeigt, dass diese Logik mittels groesstenteils logisch unnoetiger Operatoren und offensichtlich willkuerlicher Folgerungen angeblich funktioniert.
    Dieses „Funktionieren“, das daraus besteht, dass es fuer 2 zusammengesetzte Einzelaussagen eine angeblich logische Gesamtaussage gibt, ist weder zwingend notwendig, noch im Falle der mathematischen Logik korrekt. Es ist offensichtlich, dass sich hier an die Arithmetik angelehnt werden soll, mittels eines Operators aus zwei Werten einen neuen Wert herzustellen. Bei genauem Hinsehen ist aber auch dies nur Irrefuehrung. Denn die mathematische Logik stellt keine errechneten neuen Werte her, sondern entscheidet sich lediglich fuer einen der beiden Eingangswerte (als wuerde sie sagen: „2 plus 3 = 3“).
    Auch wenn die mathematische Logik argumentiert, dass die logischen Verknuepfungen Rechenvorgaenge darstellen und dass z.B. ihr &-Operator einem arithmetischem „und“ entspricht, so stimmt dies nicht. Denn dieses „und“ zaehlt nichts Numerisches numerisch zusammen, sondern stellt (auch in der mathematischen Logik) immer „nur“ ein natursprachliches Wort dar, das sowohl in den Natursprachen, als auch in Saetzen der mathematischen Logik, nur Saetze sprachlich verbindet! Ein arithmetischer Operator im Sinne von & ist dieser „und“-Operator nicht.
    Auch wenn sich Boole der beiden (nach seinen Formulierungen mit den „Wahrheitswerten“ lediglich „korrespondierenden“) Zahlen null und eins bedient hat, so machen diese beiden Werte 0 und 1 aus der sog. mathematischen Logik noch keine Mathematik bzw. Arithmetik. Entsprechendes gilt fuer den oben beschriebenen, von der mathematischen Logik benutzten, &-Operator, der nicht Zahlen zu neuen Ergebnissen verknuepft, sondern lediglich natursprachliche Saetze, (die er semantisch nicht erkennt, aber willkuerlich als „wahr“ oder „falsch“ bezeichnet!) zu irgendwas verbindet, woraufhin diese neu entstandenen Aussagen (Argumenten) anschliessend wiederum angeblich „wahr“ oder „falsch“ sind.

    Die Vertreter der formalen Logik glauben, es genuege schon, in der Tradition des Aristoteles zu behaupten, sie wollten ja gar keine Umgangslogik praktizieren, ihre Regeln seien wegen der Exaktheit der Mathematik aufgestellt worden. Denn diese logische Exaktheit in der Aussagelogik sei nur in der formalen bzw. mathematischen Logik moeglich, niemals aber in einer Natursprache. Von dem kleinen Teilbereich, in dem die Mathematik (die „richtige“ Zahlenmathematik) irgendetwas errechnet, abgesehen, ist diese Behauptung aus vielerlei Gruenden, die in diesem Aufsatz aufgezeigt werden, nicht richtig.

    Noch weiter weg von jeglichem Sinn oder gar von einer logischen Anwendbarkeit ausserhalb der Spielereien mit sich selbst ist die Tatsache, dass in der mathematischen Logik zu ¾ aller Faelle mit falschen (unwahren) Praemissen operiert wird. Ein Effekt dieser Methode, unbegrenzt viele falsche Praemissen in angeblichen Begruendungen einzuarbeiten, ist, dass damit der Eindruck erzeugt wird, die mathematische Logik funktioniere in allen denkbaren Bereichen und sei auf alles und jedes anwendbar. Denn umgekehrt sind wahre Praemissen in der Realitaet viel seltener zu finden und schwerer zu beweisen.

    e)
    Mathematik vs. mathematische Logik:
    Die „richtige“ Zahlen-Mathematik repraesentiert waehrend ihrer Rechnereien zweifellos einen Teil der Logik, allerdings nur den numerisch erfassten Teil (z.B. 7 ( ~ B & C ))
    A = “wahr”, B = “falsch” und C = “wahr” sei. Es gehoert keinerlei “Rechnerei” dazu, auf das Gesamtergebnis “falsch” zu kommen, da das “falsche” &-Ergebnis negiert und somit “wahr” wird und zwei konditionale Praemissen, von denen die erste “falsch” und die zweite “wahr” ist, zwar “wahr” ergeben, aber ueber die Negierung zu dem Ergebnis “falsch” fuehren.
    Die Tatsache, dass das Ergebnis (wenngleich noch ein bisschen Initiative erfordernd) im Voraus verraten wird, macht die angeblich mathematische Logik noch abstruser.
    Das Errechnen von “Gueltigkeiten” von Argumenten, die angeblich beweisen, dass ihre Praemissen gueltig, die Schlussfolgerung aus ihnen zwingend und das Gesamtargument gut und richtig ist, betrifft also keineswegs ein tatsaechliches Ausrechnen von Argumenten mit logischen Mitteln. Dieses anscheinende Errechnen vervollstaendigt lediglich die bereits mitgelieferten Loesungen. Das ganze Prozedere erinnert somit an eine Show, die von der Tatsache ablenken soll, dass die mathematische Logik in Wirklichkeit gar nichts, ueberhaupt nichts, was in der Semantik und Logik wichtig sein koennte, ausrechnen (oder auch nur formal erkennen!) kann.
    Die den Konsonanten zugeteilten Wahrheitswerte sind reine Willkuer. Kaum raet man andere Wahrheitswerte (z.B. A = “falsch”, B = “falsch”, C = “falsch”), so kommt aus dem oben genannten Beispiel genau das Gegenteil heraus. Dann lautet z.B.das Gesamtergebnis “wahr”.
    Letzteres hindert die mathematische Logik allerdings nicht daran, sinngemaess zu behaupten, diese o.g. Methode funktioniere in der Aussagenlogik bei saemtlichen Aussagen immer. Tatsaechlich aber funktioniert hierbei nur die autistische Spielerei mit sich selbst.

    f)
    -) Die mathematische Logik, starre Tabellen mit vorgefertigten Ergebnissen:
    Tatsaechlich wurden die Ergebnisse in den Wahrheitstabellen willkuerlich und fuer alle Zukunft geltend im Voraus festgelegt, die angeblich logisch entstandenen Ergebnisse sind oft genug nicht logisch und in sich schluessig. Auch ist es fuer die Logik unpassend, von Vornherein falsche Praemissen einzubauen (was aber bei den logischen Tabellen in ¾ aller Faelle getan wird) .

    Vor allem aber, wie will ein mathematischer Logiker dieses starre System der mathematischen Logik jemals auf reale Beispiele uebertragen, wenn die formale Logik doch aufgrund der fehlenden Semantik die realen Beispiele gar nicht erkennt? Wenn es aber der Mensch ist, der a) dieses Erkennen der Realitaet vornimmt und b) selbst entscheidet, welche Praemisse “wahr” bzw. “falsch” sind, und welches Argument “gueltig” gefolgert wurde, dann bedarf es keiner mathematischen Logik mit Wahrheitstabellen, Schnelltabellen, Wahrheitsbaeumen und Beweisen mehr. Dann wird das ganze Prozedere der “mathematischen Logik” auch dann, wenn man sich immer noch der natuersprachlichen Woerter (genannt “Wahrheitswerte” und “logische Operatoren”) bedient, zur Farce.

    Das Argument, ohne Semantik nicht brauchbar zu sein, versuchen die mathematischen Logiker mit der Behauptung auszuhebeln, dass hier mit dieser mathematischen Logik ja nur der Idealzustand einer fehlerlosen Logik modelliert werden soll. Die mathematische Logik sagt also indirekt: “Ja, ich bin praktisch unmoeglich. Aber wenn ich praktisch moeglich waere (oder eines Tages vielleicht sein werde), waere ich perfekt. Ich waere exakt und umfassend, ich waere absolut logisch”. Aber genau dieser zweite Teil der Behauptung ist ebenfalls falsch: Wenn die mathematische Logik naemlich realisierbar waere und den Beweis fuer ihre abgehobenen Behauptungen antreten muesste, traete ihr erschreckend niedriges und beschraenktes Niveau zutage.

    g)
    Die 2-wertige mathematische Logik, vor allem Wortspielereien:
    In der bisherigen mathematischen Logik (ausser Fuzzy) gibt es ausser Boole’s 0- und 1-Zahlen (die nach Boole mit “true” und “false” lediglich “korespondieren”, also in der mathematischen Logik als zusaetzliche Benennungen auch weggelassen werden koennten) keinerlei Zahlen, stattdessen aber natursprachliche Woerter, Aussagen in natuerliche Sprache und Buchstaben als
    “Platzhalter”. Was seit Jahrhunderten untersucht wird, sind also tatsaechlich nur natursprachliche Woerter und ihre Beziehungen zueinander.
    Naheliegenderweise gibt es Beziehungen zwischen natursprachlichen Woertern, und diese lassen sich auch manchmal ordnen (zum Beispiel bei Gegenueberstellungen von Bejahung und Verneinung. Oder z.B. bei den DeMorgan-Spielereien mit den Woertern “und” und “oder” bei Verneinungen usw.), aber diese Moeglichkeit der Natursprachen sagt nichts ueber Mathematik und Logik aus. Dass die praktischen Informatiker auch bei De Morgan wieder einen kleinen Vorteil herauszuarbeiten wissen (wie z.B., dass die Produktion einfacher wird, wenn man zur Erreichung des NAND-Opertors die De Morgan-Regel verwendet), betrifft –wie gesagt- nicht die mathematische Logik selbst. Gatter, die die Kriterien der sog. „und“-, „oder“- und „not“-Operatoren erfuellen, waeren auch ohne diese ungenauen sprachlichen Benennungen („und“, „oder“, „nicht“), konstruiert und zusammengeschaltet worden, solange es die Praxis erfordert.
    Selbstverstaendlich koennen auch beim o.g. Ordnen von Woertern Strukturen entstehen, die kleine Wortspiele (wie das Austauschen, Verneinen usw.) zulassen und zu immer wieder neuen und interessanten Fachbegriffen Anlass geben.
    Aber Umgangssprachen-Woerter wie “einige, keine, niemand” („partikulaer“ genannt) oder “alle, jeder, jedes mal” („kategorisch“ genannt) oder “aber, oder” u.v.a. sind weder natursprachlich, noch fuer die Logik, von Belang.

    h)
    “Null und eins” in der Informatik:
    Wenn die spannungsfuehrenden Leitungen nun vereinfacht mit “1” bezeichnet werden (eine Konvention koennte dies mit Respekt fuer Herrn Boole festlegen oder weil “0,999…” zu umstaendlich zu schreiben ist), dann kann das fuer Informatiker hilfreich sein, da diesen in der Praxis auch ungefaehre Aussagen darueber, ob sie sich noch in einem der beiden Wahrheitsbereiche befinden, genuegen. Der “und”-Operator waere dann aber auch mit vielen anderen Bezeichnungen darzustellen, zum Beispiel mit 111 (was soviel heissen koennte wie “2 rein” und “1 raus plus Uebertrag”) darzustellen. Weiterer Variationen aus der formalen Logik bedarf es fuer einen “und”-Operator nicht.
    Realistischerweise bedeutet 0 ja auch tatsaechlich nicht “absolut keine Spannung”, sondern 0 bedeutet in der Realitaet innerhalb eines Toleranzbereichs meist eine nur minimale Spannung, so, wie “1” (bzw. das richtige 0,999…) eine maximale (aber nicht genau festgelegte, absolute) Spannung bedeutet.
    Mit “wahr”(bzw. korrekter: “Richtig”) und ”falsch” haben diese Symbole fuer “Spannung an” und “Spannung aus” logisch gesehen nichts zu tun.
    Verwunderlich ist auch, dass die Computerwissenschaft ueberhaupt noch von “Null” und “Eins” spricht, wenn man in der Mathematik doch nur von 0 bis 9 zaehlt und die „eins“ (1) innerhalb eines Abstands, der bei „null“ (0) beginnt, nie erreichen kann. Tatsaechlich erreicht man naemlich, wie im richtigen Leben, so auch in der Mathematik, die absolute Wahrheit, nie.
    Moeglicherweise handelt es sich bei dieser digitalen „eins“ um eine per Konvention festgelegte Vereinfachung der Schreibweise fuer die tatsaechlich korekte 0,999…(Periode). Der Nachteil solch unbekannter Konventionen, von denen allgemein nichts bekannt ist, ist allerdings, dass sie das Erkennen behindern. Das mangelnde Bewusstsein, dass das Ende der Zahl „null“ 0,999…ist und nicht 1, behindert in diesem Fall, auf die naheliegende Selbstverstaendlichkeit zu kommen, dass es nicht nur zwei absolute Werte (absolut falsch und absolut wahr) gibt, sondern dass es auch in dieser dualen Spanne fliessende Uebergaenge geben muss. Es muss sie nicht nur wegen der Erfordernisse der Realitatet geben, auch die Mathematik verlangt nach diesen Differenzierungen, was immer Aristoteles zu diesem Thema vor weit ueber zweitausend Jahren gesagt haben mag.
    Erst diese Differenzierung erlaubt es, Nachkommastellen zu errechnen und Prozentsaetze anzugeben. Letztere gibt es nicht zwischen zwei Werten, die fuer sich beanspruchen, ganz allein und ohne Zwischenwerte alle Fragen allein loesen zu koennen. Man koennte, wie bereits von Anderen vorgeschlagen, ein 10er Raster in das Intervall zwischen 0 und 1 (bzw. 0,999…; maximal moegliche Anzahl der Nachkommasten im Rahmen der technischen Moeglichkeiten) legen. “Unendlichkeit” kann man trotz des vorab-Strukturierens mit dem Dezimalsystem anstreben, indem man innerhalb des 10 er Systems immer weiter in die Tiefe geht und die Nachkommastellen immer weiter verlaengert. Einschraenkung: Man kann so ein, z.B. dezimales, Raster allerdings nur auf eine Flaeche legen, die einen Anfang und Endpunkt hat, wie es z.B. zwischen 0 und 0,999… (maximal moegliche Anzahl der Nachkommasten im Rahmen der technischen Moeglichkeiten) der Fall ist.
    Es reicht aus, wenn diese Anfang- und Endpunkte als 0 und 0,999…. (maximal moegliche Anzahl der Nachkommasten im Rahmen der technischen Moeglichkeiten) nur gedacht sind, denn real kann man keinen absoluten Endpunkte erreichen und somit auch z.B. keine genauen Zwischenwerte, inklusive die genaue Mitte, in der Weise, dass 0,4999….in etwa die Mitte ist, wo das Falsche mit nur noch ganz bisschen „falsch“ endet und danach mit 0,5 das Wahre mit nur ein ganz bisschen „wahr“ beginnt.

    i)
    Nebenbemerkungen zum Zaehlen von Zahlen
    Um ein Gefuehl fuer Zahlen und ihre Moeglichkeiten zu bekommen, und um vor allem zu erkennen, dass die Besonderheiten und Vorteile von Zahlen nicht fuer die mathematische Logik gelten, kann es sich lohnen, sich eigene Gedanken ueber die Zahlen zu machen.
    Dies Unterfangen wird umso reizvoller, je mehr man sich vor Augen haelt, dass grosse Mathematiker versucht haben, zu der vermuteten Entstehung der Zahlen vorzudringen und sich mit ihren Hypothesen keineswegs einig waren. Es kann also hilfreich sein, eigene Vorstellungen zu solchen ontologischen Fragen zu entwickeln.
    Einstein wunderte sich darueber, wie grossartig die Zahlen zur Realitatet passen, womit er ihnen eine Eigenstaendigkeit, die losgeloest von der Realitaet besteht, zusprach.
    Auch Hilbert und Goedel waren der Ansicht, dass das abstrakte Zahlenwerk ausserhalb des menschlichen Gehirns existierte und nur “entdeckt” werden musste.
    Andere Mathematiker wiederum hielten und halten das Zahlensystem ausschliesslich fuer ein Konstrukt des menschlichen Geistes.
    Die “Logizisten” Frege und Russell behaupteten sogar, die Mathematik sei aus der formalen Logik entstanden, was wegen der lange vor den Logik-Erforschern Aristoteles liegenden Entstehung der Mathematik wohl eher nicht zutrifft.
    Unsere Vorstellungen gehen dahin, dass die Mathematik nur deshalb “zeitlos und exakt” (allgemeine Bewertung) ist, weil sie losgeloest von den verschiedenen Groessen in der Realitaet ist und weder mit der vielfaeltigen und sich staendig veraendernden konkreten Realitaet mitwachsen, noch sich mit ihr zusammen sonstwie veraendern muss.
    Aus der Tatsache, dass die Mathematik bzw. die Algebra heute ein derart unabhaengiges, auf alle Verhaeltnisse anwendbares, abstraktes System ist, folgert nicht zwangslaeufig, dass ein genialer Urmensch ein solch “zeitloses und exaktes” System ge- oder erfunden hat. Abgesehen davon, dass eine solche Vorstellung nicht sehr realistisch ist, bleibt dabei auch die Frage offen, ob die Zahlen bereits in der Realitaet vorhanden waren oder aus dem Gehirn dieses Steinzeit-Einstein kamen. Ferner gehen unsere Vorstellungen dahin, dass (umgekehrt zu dem oben erwaehnten bereits Gedachten) Zahlen nicht schon in der Natur vorhanden sein mussten, um gefunden zu werden, und nicht schon in einem grossen Geniestreich gedacht worden sein muessen, um sich enwickelt zu haben. Letzteres hiesse ja, dass dem Erfinder bereits Kriterien von Zahlen bewusst waren, wie zum Beispiel (es folgen die von uns selbst entwickelten Regeln):
    -) Jede Zahl (umgangssprachlich) bekommt ihre unverwechselbare eigene Ziffer und Wort.
    -) Zahlen halten bei sich vergroessernder Menge eine festgelegte Reihenfolge ein, wobei die gezaehlte Menge mit jeder weiteren Zahl maechtiger wird (mehr Nahrung an Aepfeln und Mammuts usw.).
    -) Alle ganzen Zahlen haben auf jedem Gesamtlevel immer den gleichen Abstand zueinander.
    -) Festgelegte Reihenfolge und gleicher Abstand bedeuten gleiche Inhalte (d.h. “gleich grosse” Elemente (bzw. Objekte) der insgesamt zu zaehlenden Menge (bzw. Listen oder Tupel).

    Ueber negative Zahlen oder ueber die “Nachkommastellen” zwischen den Zahlen nachgedacht zu haben, soll dem Urmenschen nicht unterstellt werden. Die vorgenannten vier Punkte waeren als fruehmenschliche Geistesleistung ausreichend.
    Tatsaechlich scheint es uns aber die Vorstellung realistischer, dass am Anfang nur bis “eins” gezaehlt werden konnte, und dass es die Unvollkommenheit der Zahlen (die nur Quantitaet, aber keine Qualitaet ausdruecken konnten) und zusatzlich das ungenaue Denken der Menschen (die die Elemente einer Menge nur willkuerlich und grob festlegen konnten) waren, die das scheinbar grossartige, weil abstrakte, “zeitlose und exakte” System der Zahlen und des Zaehlens ermoeglicht haben.
    Nur so ist es moeglich, ein Apfel, ein Mammut und ein Universum mit nur einer einzigen, fuer alle drei Objekte gleichermassen geltenden, Zahl, naemlich der Zahl “ein(s)”, zu beziffern.

    Es ist also durchaus denkbar, und u.E. auch wahrscheinlich, dass der erste Neanderthealer, der seinen Kollegen von 3 gesehenen Mammuts (als moegliche Fleischlieferanten) berichtete, verbal nur “ein” Mammut” erwaehnte, dieses “ein Mammut” aber dreimal wiederholte und moeglicherweise mit 3 Fingern oder 3 Steinen verdeutlichte. Als man sich spaeter darauf einigte, fuer 3 Mammuts das Wort “drei” zu verwenden, mag es bereits zu den ersten Unzufriedenheiten ueber die fehlende Mengenlehre gekommen sein, wenn es sich herausstellte, dass die 3 Mammuts unterschiedlich ergiebig waren, d.h. lediglich aus einer Mammut-Mutter und 2 Mammut-Kleinkindern bestand.
    Nachdem man die Misverstaendnisse mit dem Groessenbegriff “Mammut” geklaert hatte, wurde es (ohne, dass es formuliert werden musste) klar, dass die Abstaende zwischen den Zahlen gleich gross sind, das heisst, die Objekte moeglichst gleich, aber auch gleich gross, sein muessen, um in die einzelnen Zahlen zu passen und bei einer gegebenen Menge mitgezaehlt werden zu koennen.
    Es mussten sich also nie die Zahlen den Elementen der zu zaehlenden Menge anpassen, sondern immer mussten sich nur die Elemente einer Menge den Zahlen anpassen! Die Ungenauigkeit des menschlichen Denkens half ihnen dabei.
    Die Zahlen waren also auf keinen Fall “zuerst” da, sondern nur die Einzelteile, aus denen saemtliche Dinge bestehen und staendig wieder zerfallen. Das duerften auch die ersten Menschen bemerkt haben.
    Waeren diese ersten Rechenkuenstler aber bei ihrem anfaenglichen “eins” und “eins” und “eins” geblieben, haetten sie mengentheoretisch nichts falsch machen koennen. Denn bei genauerem Hinsehen ist kein Objekt oder Individuum vollkommen einem andern gleich. Konsequent (wenn auch weltfremd, weil wenig hilfreich) koennte sogar der Standpunkt vertreten werden, dass alles nur einmal im Universum existiert und sich damit jegliches Zaehlen eruebrigt.
    Es ist allgemeine Ansicht der mathematischen Logiker, dass die mathematische Logik ein gleichwertiges Pendant zur Mathematik ist.
    Diese Ansicht ist der Haupt-Denkfehler der mathematischen Logik, denn auch diese Behauptung ist aus saemtlichen Gruenden, die nach unserer obigen Definition fuer Zahlen und Zaehlen bestehen, unrichtig.
    Zwar gehoert die Logik (mit der Mengenlehre und Zahlentheorie zusammen) zur Mathematik, die Logik spaetestens, seitdem Euklid, Pythagoras und Thales von Milet die „intuitive“ Logik fuer ihre mathematischen Entwicklungen genutzt haben, aber das heutige grosse Gedankengebaeude der Mathematik mit dem kleinen Bretterhaufen der mathematische Logik zu vergleichen, ist unpassend.
    Waehrend das System der Mathematik tatsaechlich widerspruchslos und exakt und auf jegliche Realitaet anzuwenden ist und es bei ihm immer nur ein richtig („wahr“) oder „falsch“ gibt (allerdings gilt dies fuer jede ausgerechnete Zahl, auch fuer Nachkommazahlen zwischen den ganzen Zahlen!), kann sich die mathematische Logik auf keine einzige Eigenschaft (wie sie von unserer Seite hier in dieser Arbeit an den Zahlen und dem Zaehlen aufgeschluesselt wurde) berufen. Sie behauptet zwar, auch sie sei von der Realitaet unabhaengig und stelle ein eigenes, in sich schluessiges, System dar, das auf beliebige Formen der Realitaet anwendbar ist, aber diese Behauptung ist weniger eine realistische Tatsachenfeststellung, als vielmehr ein Wunsch und ein Anspruch, die sich die formale Logik, ohne den geringsten Beweis dafuer antreten zu koennen, einfach zugesprochen hat.
    Sie ist zwar kraft willkuerlicher Entscheidung (wahrscheinlich, um es sich einfach zu machen und in ihrer Unzulaenglichkeit nicht durchschaut zu werden) von jeglicher Semantik frei, was sie allerdings nicht mathematik-gleich, fehlerlos und exakt macht, sondern anmassend und unlogisch.
    -) Weder handelt es sich bei der mathematischen Logik um Zahlen, sondern es handelt sich ausschliesslich um Woerter. Auch wenn der Oberbegriff „Boole’sche Algebra“ genannt wird, mit Mathematik oder Algebra haben diese ganzen Wortspielereien nichts zu tun.
    -) Indem sie aber mit Mathematik nichts zu tun haben, entfallen fuer die (angeblich mathematische) Logik auch alle Besonderheiten, mit denen Zahlen aufwarten koennen. Wir haben insbesondere den gleichen Abstand zwischen den Zahlen genannt (den es zwischen Woertern niemals geben kann), die Einmaligkeit jeder Zahl einer anderen Zahl gegenueber (es gibt also bei Zahlen keine Ueberschneidungen und Doppelbelegungen wie bei den Woertern), die festgelegte Reihenfolge (die es zwischen Woertern zwar theoretisch geben koennte, aber tatsaechlich nicht gibt) und vor allem die unbegrenzte Qantitaet der Zahlen, die es bekanntlich fuer Woerter ebenfalls nicht gibt und nicht geben kann.
    Durch das Alphabet haben auch die einzelnen Buchstaben eine Reihenfolge (ueber ASCII und Unicode finden auch Buchstaben, sog. Literale, ihre Entsprechung im zahlenorientierten Computer), und sogar die einzelnen Woerter (die aus lateinischen Buchstaben zusammengesetzt sind) erhalten dadurch eine eigene geordnete und indizierte Reihenfolge, aber ausserhalb von der theoretisch moeglichen alphabetischen Ordnung innerhalb von Strings, Arrays, Telefonverzeichnissen, Woerterbuechern und aehnliches (und auch ausserhalb der bei den Syllogismen anfangs beschriebenen Moeglichkeit, bei manchen Woertern ungefaehre Ober- und Unterbegriffe zu bilden) gibt es keine „automatische“ Reihenfolge von Woertern und es ergaebe auch keinen Sinn (z.B. im Sinne anwachsender Maechtigkeit), eine solche festgelegte Reihenfolge willkuerlich herzustellen.
    Wie es die mathematische Logik, die es ausschliesslich mit Woertern zu tun hat, mit klaren und logischen Reflexionen vereinbaren kann, eine derartige Behauptung (sie sei, weil sie ebenfalls auf einen semantischen Bezug zur Realitatet verzichtete, der Mathematik vergleichbar) aufzustellen, ist ein weiteres Higlight fuer die Vermessenheit und Un-Logik der „mathematischen Logik“.

    Nikolaus Graf zu Castell-Castell, Dipl. Vw., Prague Research Institute, Varsavska 36, CR – 12000 Prague 2, Tel. 00420-226.223.026, mob. 00420-608.422.268 (inkl. whatsapp), Nikolaus.castell@mail.com