Jeder kennt Russells Paradoxon vom Barbier, der genau diejenigen rasiert, die sich nicht selbst rasieren. Weniger bekannt ist der Hintergrund, nämlich Gottlob Freges Theorie von Konzept und Extension, auf die Russell mit seinem Beispiel reagierte. Dies und andere grundlegende Fragen erläutert das neue Video von Up and Atom.

Kommentare (16)

  1. #1 Dr. Webbaer
    29. März 2019

    Könnte, dies so mal ganz laienhaft eingeschätzt, in Richtung dieses Gags gehen :

    -> https://de.wikipedia.org/wiki/Lügner-Paradox

    So dass letztlich der intrinsische Widerspruch der Aussage dadurch auflösen lässt, in der Tautologie, dass ein Satz wahr, falsch und sich in einem dritten (oder n-fachen) Zustand befinden könnte, womit die Annahme widerlegt wäre, dass Sätze falsch oder wahr sein müssen.
    So dass sich weitergehende Tautologie oder Logik für derartige Sachbearbeitung anbietet.

    MFG
    Dr. Webbaer

  2. #2 Kai
    29. März 2019

    Als Student hatte ich immer Probleme mit dem Paradoxon, weil es sich ja eigentlich recht leicht auflösen lässt. Sämtliche Paradoxien laufen ja immer auf das gleiche Problem hinaus: Selbstreferenzierung.
    Andererseits liegt hier eben auch der Knackpunkt: Würde ein Informatiker Schleifen und Rekursionen abschaffen, nur weil er dadurch Endlosschleifen in seinen Programmen erzeugen könnte? Letztlich nimmt man diese Brüche in der Logik in Kauf, wenn das logische System (bzw. die Programmiersprache) dadurch mächtiger wird.

  3. #3 Frank Wappler
    29. März 2019

    Thilo schrieb (29. März 2019):
    > Jeder kennt Russells Paradoxon vom Barbier, der genau diejenigen rasiert, die sich nicht selbst rasieren. […]

    Und jeder Dorf-Frisör weiß, dass er (deshalb, stattdessen) sowohl genau all diejenigen Dörfler frisiert, die sich nicht selbst frisieren, als auch ausdrücklich sich selbst.

    (Was übrigens nicht ausschließt, dass ein bestimmtes Dorf mehrere verschiedene Dorf-Friseure hat.)

    Ebenso wie jede (selbständig tätige) Totengräberin (deshalb, stattdessen) ausdrücklich nur die Gräber genau all derjenigen anfallenden Bestattungsbereiten wieder schließen würde, die ihre Gräber nicht selbst wieder schlössen, und die nicht mit ihr selbst identisch sind.

    Weniger bekannt scheint, ob und wie das Aussonderungsaxiom zu ersetzen wäre,
    wenn man (zwar) annimmt, dass es eine surjektive Abbildung

    f : A \rightarrow \mathcal P[ \, A \, ] zwischen einer (unendlichen) Menge A und ihrer Potenzmenge \mathcal P[ \, A \, ] gäbe, aber es ablehnt, den Ausdruck

    \{ x \in A \, \mid \, x \not \in f[ \, x \, ] \} als “(Ausdruck (von mindestens) einer bestimmte) Menge” aufzufassen; sondern stattdessen insbesondere

    \{ x \in A \, \mid \, (x \not \in f[ \, x \, ]) \text{und} (x \neq f[ \, x \, ]) \} als den “Ausdruck einer bestimmten Menge” auffassen würde, und

    \{ x \in A \, \mid \, (x \not \in f[ \, x \, ]) \text{oder} (x = f[ \, x \, ]) \} als einen Ausdruck, der auf mehrere verschiedene bestimmte Mengen zutreffen kann (aber nicht unbedingt an sich als “Ausdruck einer bestimmten Menge”).

  4. #4 rolak
    29. März 2019

    Sämtliche Paradoxien .. immer

    Nicht doch, Kai, siehe zum Beispiel.

    Und selbstverständlich ist die Möglichkeit endlos sich abspulender Programmschleifen weder ein Logikbruch noch ein Paradoxon – im Gegenteil sie ist konsistent in der Programmierlogik und funktional in der Anwendung (eg poll (¬köln)).

  5. #5 Markus Termin
    Nürnberg/Prag
    29. März 2019

    Mathematik ist insgesamt unlogisch – sie hat ein Problem mit dem Satz der Identität. Trotzdem ein nettes Werkzeug – aber eben leider nicht logisch. Ansonsten gibt es für die “Wahrheit” im philosophischen Sinn nur die Paradoxie – oder, mit einem anderen Begriff “Antinomie” – man kann sogar überspitzt ausdrücken, dass bezüglich des “großen Ganzen” mathematische und auch sonstige “Wahrheiten” sich genau daran erkennen lassen, wie ‘rein’ sie der jeweiligen Paradoxie (endlich/unendlich z.B.) Ausdruck geben, die ihnen zu Grunde liegt – was natürlich einen beschränknten Gebrauchsnutzen implementiert, aber das ist – solange man das im Hinterkopf behält, wie Einstein oder Frege, ganz in Ordnung. Davon kann heute nur keine Rede sein, leider …

  6. #6 Kai
    29. März 2019

    @Rolak: Vielleicht verstehe ich ja Cramers Paradoxon falsch, aber es handelt sich dabei doch nur um ein “scheinbares” Paradoxon (ähnlich wie Achilles und die Schildkröte) und nicht um ein echtes Paradoxon.

    Ansonsten ist “Logikbruch” ja kein klar definierter Begriff. Ein endlos laufendes Programm kann jedenfalls keine klare Ausgabe liefern. Genauso wie das Barbier-Paradoxon nicht mit Wahr oder Unwahr entschieden werden kann. Worauf ich hinaus will, ist das die dahinter stehenden Systeme, obgleich man solche degenerierten Fälle (Paradoxien, Endlosschleifen, …) erzeugen kann, trotzdem mächtig und nützlich sind und deshalb auch weiterhin verwendet werden. Es gibt ja eben Aussagen bzw. Programme, die wahr sind (bzw. sinnvolle Ausgaben liefern), aber eben nur mit Hilfe solcher Schleifen/Rekursionen beschrieben werden können.

  7. #7 Dr. Webbaer
    29. März 2019

    Es gibt in der Spieltheorie Paradoxien, die die beteiligten Spieler anleiten probabilistisch zu handeln bzw. zu spielen; die finden einige schon sozusagen wirklich paradox.

  8. #8 Dr. Webbaer
    30. März 2019

    Mathematik ist insgesamt unlogisch – sie hat ein Problem mit dem Satz der Identität.

    Die Mathematik ist, weil sie keinen (direkten) Realbezug hat, sozusagen nur logisch, sie gilt insofern als Formalwissenschaft und wenn die Axiomatik sozusagen stabil ist, kann sie nicht i.p. Inkohärenz leiden.
    Was aber nicht der Fall sein muss, wovon wiederum Mathematiker leben, was wiederum nicht schlecht sein muss.

    MFG
    Dr. Webbaer (der nicht vom Fach ist, dies nur ergänzend angemerkt, nur Anwender ist und war)

  9. #9 Kollus
    30. März 2019

    “Der Barbier rasiert sich selbst.” Ist dieses Selbst identisch mit dem Barbier? Wenn das Rasieren zum Barbier gehört, dann kann es nicht zum Selbst gehören, denn dann würde auch das Rasieren rasiert werden.

  10. #10 Markus Termin
    Nürnberg/Prag
    31. März 2019

    @ Dr. Webbär: Mathematik ist – wie gesagt – ein nützliches Spiel – aber es gibt nichts, was weiter entfernt sein könnte von Logik – sie schafft es ja nicht mal aus der bestehenden Axiomatik heraus in die Widerspruchsfreiheit (siehe Gottlob Frege) – die Axiomatik – hier insbesondere der Satz von der Identität – beschreibt ja bereits vollkommen logisch die unlogischen Grundlagen des durchaus nützlichen Wolkenkuckkucksheims. Nur sollte man eben Mathematik nicht mit Wirklichkeit verwechseln, urknallmäßig und so.

    Wirklichkeit ist logisch und hat Logik, Mathematik entbehrt sie grundsätzlich (und nicht im Detail). Wäre es anders, dann wäre die Mathematik für die Wirklichkeit, sofern diese naturgemäß formellos ist, sogar ganz unbrauchbar, denken Sie mal drüber nach, MfG!

  11. #11 bote19
    31. März 2019

    Markus Termin
    Wir müssen den Paradoxien dankbar sein. Sie zeigen die Grenzen von Sprache auf und damit zeigen sie auch die Grenzen der Wissenschaft auf.
    Die Mathematik zählt zu den formalen Sprachen, die Aussagelogik übrigens auch. Alle formalen Systeme sind in sich widerspruchsfrei, aber sie haben eine Grenze.
    Sie meinen mit Wahrheit den „Logos“, der ist mit Sprache allein nicht erfahrbar und mit Mathematik schon gar nicht.

  12. #12 Markus Termin
    Nürnberg/Prag
    31. März 2019

    @ bote19: sicher, Paradoxien sind das Tor zur Wahrheit – mit der Wissenschaft per Popper-Definition ja nichts am Hut hat – nur ihre Schlussfolgerung ist – wie ich es sehe – falsch: wohl die Grenze von Wissenschaft, nicht aber die von Sprache. Warum? Der Gegenbeweis ist schnell erbracht: wäre es, wie Sie behaupten, könnten Sie selbst sprachlich nicht ausdrücken, wo Ihrer Meinung nach eine Grenze liegt. Indem Sie die Grenze sprachlich beschreiben, überschreiten Sie sie auch. Das ist übrigens immer so und völlig normal (und gilt auch für den lieben Herrn Kant).

    “Aussagelogik” – wie Sie es nennen, gehört für mich nicht zu den “formalen Sprachen” – ihr liegt keine Axiomatik zu Grunde – und wo solches doch versucht wird, ist es Murx, da wird Logik noch ein mathematisiertes Päckchen draufgesattelt – in der Welt von O und I sicher ein brauchbarer Prozess, wie jeder Informatiker bestätigen wird – aber das ist halt (noch?) nicht die ganze Welt.

    “Formale Sprachen” hingegen wie die Mathematik, die sich auf der Basis unlogischer Axiomatik scheinbar logisch ausbreiten und dann dennoch auf Widersprüche innerhalb des eigenen logischen Zusammenhangs stoßen (Russel, Frege … ) – sind, wie gesagt, ein gutes Werkzeug, dessen Nutzen ganz entscheidend davon abhängt, vorab zu wissen, wie weit es reicht und wozu es – da es doch Logik prinzipiell axiomatisch entbehrt – letztlich taugt.

    Das geht logischerweise nur außerhalb der jeweiligen Systeme (Mathematik, Aussagelogig, wie immer Sie das nennen … ) – Logik ist der Überbegriff, vor dem sich diese Dinge ausnehmen, wie Spielplätze im Kindergarten.

  13. #13 bote19
    31. März 2019

    Markus Termin,
    Wenn Sie annehmen, dass man nur in Gedanken denken kann, also die Sprache die letzte Instanz vor der Wirklichkeit ist, dann ist Ihre Meinung logisch. Wissenschaftlich formuliert , heißt das, natürliche Sprache hat Redundanz.
    Sie verwenden Logik im Sinne von Vernunft. O.K. das kann man machen.
    Was die Paradoxien betrifft, die sind wichtig um die Grenzen unserer Begriffe ins Bewusstsein zu rücken.
    Und unsere Begriffe stellen Grenzen dar, sie konstruieren die Grenzen und damit die Grenzen unseres Denkens.
    Und die Logik erkennt die Widersprüche und steht damit tatsächlich über der Sprache. Und damit sind wir beim Logos, der nicht gedacht werden muss, der immer schon da war. Ich denke, damit sind wir uns einig.

  14. #14 Markus Termin
    Nürnberg/Prag
    31. März 2019

    @bote19: Denken kann man nur – so meine ich zumindest – in Gedanken: aber Begriffe stellen erstmal nicht die Grenzen unseres Denkens dar (es geht das Gerücht, Begriffe könnten sich bilden), Paradoxien allerdings tun es – sie sind ja ein “Kind” der Logik – anders sonst wir sie gar nicht bemerken würden. Das Wissen davon wäre allerdings völlig sinnlos, wenn damit nicht auch die Verheißung einer Überwindung dieser Grenzen verbunden wäre – dafür mag es von Vorteil sein, Paradoxien zu benennen und auszuhalten, nicht aber irgendwo scheinbare Grenzen zu attestieren, die freilich Grenzen eines bestimmten Denk-Systems sind, nicht aber des Denkens überhaupt.

    “Vernunft” passt mir hier nur im Sinne zur Abgrenzung gegen “Wahn” – also mit der Frage verbunden, in welchem Sinn und wo genau die Verwendung von axiomatisch logischer Systeme absurd wird – also in kosmologischen Zusammenhängen und allem, was daraus aktuell resultiert: bei der Festlegung der Eichmaße, die von kosmologischen Konstanten abhängig sind z.B.

    Genau so wichtig ist natürlich die Feststellung, wo und wie solche Systeme eingeschränkter Wirklichkeit sinnvolle zivilisatorische Arbeit leisten. Und für mich stellt sich auch die Frage: warum? Damit unterscheidbar wird, wo nicht.

    Warum also z.B. Statistik niemals ein angemessenes Werkzeug für gesellschaftspolitische Entscheidungen sein kann, aber hervorragend brauchbar für technische Entwicklungen ist.

  15. #15 bote19
    31. März 2019

    Markus Termin,
    Zustimmung, (außer)bis zum letzten Satz.
    Wenn mal Wahlergebnisse zur Statistik rechnet, dann ist die Statistik sogar richtungsweisend.
    Und politische Meinungen werde heute von den Parteien genau so beeinflusst wie die das Image von Waschmitteln durch die PR-Fachleute.

  16. #16 Laie
    1. April 2019

    Die Mathematik ist, schön, aber ist sie widerspruchsfrei? 🙂

    Am einfachsten sind die natürlichsten Zahlen, als Basis für alles. Sogar hier gilt oder galt die Zahl 0 als umstritten, ob sie denn natürlich sei. (Privatmeinungen dazu sind ausdrücklich zugelassen und erwünscht.

    Die 0 als Zahl und darauf 1, ungefähr so wie das Nichts und daraus der Urknall?