In der multiplikativen Zahlentheorie und allgemeiner der Darstellungstheorie sind Reihen der Form \Sigma_n f(n)n^{-s} äußerst nützlich. In der additiven Zahlentheorie verwendet man stattdessen Reihen \Sigma_n f(n)e^{2\pi n\theta}.
Die Exponentialfunktionen führen oft dazu, dass sich Terme gegenseitig aufheben. Der Nutzen solcher Summen für die Zahlentheorie war schon 1916 von Hermann Weyl in seiner Arbeit über die Gleichverteilung von Funktionen modulo 1 erkannt worden. Hardy und Littlewood hatten sie dann verwendet, um Probleme in der analytischen Zahlentheorie anzugehen, beispielsweise das asymptotische Verhalten der Partitionsfunktion. Auch auf die ternäre Goldbach-Vermutung wandten Hardy-Littlewood die Kreismethode an und konnten mit ihrer Hilfe 1923 eine Abschätzung für S(α) und damit also die ternäre Goldbach-Vermutung für hinreichend große n beweisen – allerdings nur unter der Annahme, dass die verallgemeinerte Riemann-Vermutung (für L-Funktionen von Dirichlet-Charakteren) gilt.

Aber erst Winogradow brachte die Kreismethode voll zu ihren Möglichkeiten. In langjähriger Arbeit hatte er sie zu einem noch viel nützlicheren Werkzeug gemacht. Insbesondere entwickelte er die “Technik bilinearer Formen” und den “Mittelwertsatz”.
Winogradows „Mittelwertsatz“ war besonders nützlich, um gute Abschätzungen für das Waringsche Problem zu bekommen, also für die Anzahl a(k), so dass jedes hinreichend große N als Summe von a(k) k-ten Potenzen zerlegt werden kann.
Für das Problem der Zerlegbarkeit einer ungeraden Zahl n als Summe dreier Primzahlen erhielt er eine Formel r(N)=\frac{N^2}{2 {(\log N)}^3}G(N)+ O\left(\frac{N^2} {{(\log N)}^4}\right) mit einer Funktion G(N), die für gerade N verschwindet und für ungerade N mindestens 1 und nach oben beschränkt ist. Insbesondere ist sie viel kleiner als N2, womit man eine untere Schranke für r(N) bekommt, aus der – weil Primzahlpotenzen weniger beitragen als die Primzahlen selbst – die Existenz einer Zerlegung als Summe von Primzahlen folgt. Natürlich funktioniert das nur für hinreichend große N.

Lew Shnirelman, der von der Variationsrechnung zur additiven Zahlentheorie gewechselt war, hatte 1931 bewiesen, dass jede natürliche Zahl Summe von höchstens 21 Primzahlen ist. Die ternäre Goldbach-Vermutung ist natürlich eine sehr viel stärkere Aussage und Winogradow bewies sie mit seinen Berechnungen 1937 jedenfalls für n>106800000. Sein Argument wurde später noch verfeinert, so dass man einen Beweis für n>101346 bekam. (Immer noch zuviel, um die verbleibenden Fälle manuell zu lösen. Erst 2014 schaffte es Helfgott mit verbesserten Methoden die Schranke auf 1027 zu senken, so dass die verbleibenden Fälle mit dem Computer abgearbeitet werden konnten.)

Die Zerlegbarkeit als Summe von Primzahlen kann man als Verbesserung des Satzes von Dirichlet über Primzahlen in arithmetischen Folgen sehen. Zum Beispiel folgt aus dem Satz von Dirichlet, dass es viele Primzahlen gibt, die nicht die Endziffer 1 haben. Mit dem Satz von Winogradow hat man nun sogar viele Tripel von Primzahlen, deren Endziffern nicht die Summe 3 haben. Er hatte letztlich gezeigt, dass jede Häufung der Endziffern einer Summe auf eine unmögliche Häufung der Endziffern der Summanden zurückzuführen wäre.

Bild: https://www.vle.lt/Straipsnis/Ivan-Vinogradov-108031

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Kommentare (1)

  1. #1 volki
    31. Juli 2020

    “Erst 2014 schaffte es Helfgott mit verbesserten Methoden die Schranke auf 10^27 zu verbessern, so dass die verbleibenden Fälle mit dem Computer abgearbeitet werden konnten.”

    Dazu sollte man erwähnen, dass diese verbesserten Methoden 2 preprints umfassen mit über 250 Seiten Beweis und das abarbeiten mit Computer nocheinmal ein eigenes preprint war, mit über 30 Seiten und weit davon entfernt ist, eine einfache Computerverifikation zu sein. Um 10^27 Fälle zu testen, muss man sich doch einiges überlegen.

    Was auch noch interessant ist: Bis ist jetzt keines der Preprints in einem Journal erschienen. Laut Helfgotts Homepage, wird jedoch ein Buch in den Ann. of Math. Studies. erscheinen, das den Beweis enthält (derzeit umfasst das Buch ca. 580 Seiten).