Minimalflächen sind, anschaulich gesprochen, Flächen, deren Flächeninhalt sich vergrößert, wenn man sie ein wenig verformt. (Mathematisch korrekt definiert man sie als Flächen, deren mittlere Krümmung konstant 0 ist, und in Wirklichkeit ist das nur eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung dafür, dass jede kleine Variation den Flächeninhalt vergrößert.)
Zur Klassifikation von Minimalflächen im 3-dimensionalen euklidischen Raum R3 hatten wir in TvF 233 mal etwas geschrieben.
Meeks und Rosenberg hatten 2005 (aufbauend auf 2004 veröffentlichten Arbeiten von Colding-Minicozzi) bewiesen, dass es nur 2 Arten von einfach zusammenhängenden Minimalflächen im R3 gibt: die Ebene und die oben abgebildete Helikoide. Auch die jenigen Minimalflächen, die topologisch wie eine Ebene mit herausgeschnittenen Kreisscheiben aussehen (z.B. ein Kreisring oder eine Hose) sind im euklidischen Raum inzwischen vollständig klassifiziert. Neben der Ebene und der Helikoide (1 Ende) ist die Katenoide (2 Enden, Bild unten) die einzige solche Minimalfläche mit endlich vielen Enden.
Wenn man Flächen mit unendlich vielen Enden zulässt (also topologisch äquivalent zu einer Kreisscheibe, aus der unendlich viele Kreisscheiben herausgeschnitten wurden), gibt es noch weitere (unendlich viele, von 2 Parametern abhängende) planare Minimalflächen, nämlich Riemanns Minimalflächen, eine 2-Parameterfamilie von einfach periodischen Minimalflächen. Das Bild zeigt ein Beispiel aus dieser Familie:
Für Flächen mit Henkeln besagt die Hoffman-Meeks-Vermutung, dass es im euklidischen Raum für alle (g,r) mit r>2 und g≥r-2 Minimalflächen mit g Henkeln und r Enden gibt. Ein Beispiel mit r=5,g=3 ist die Weber-Wolf-Fläche:
(Alle Bilder sind von https://www.indiana.edu/~minimal/archive/index.html.)
Mathematiker interessieren sich freilich nicht nur für Minimalflächen im euklidischen Raum, sondern auch in beliebigen (3-dimensionalen) Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Dort ist man natürlich von einer Klassifikation weit entfernt, aber jedenfalls werden in einer jetzt im Januar-Heft der Annals of Mathematics veröffentlichten Arbeit von Colding-Minicozzi zwei grundlegende Strukturtheoreme für Minimalflächen in 3-Mannigfaltigkeiten bewiesen. (Die Arbeit ist der inzwischen 5. Teil einer Artikelserie, die ersten 4 Teile waren bereits vor 11 Jahren ebenfalls in den Annals of Mathematics veröffentlicht worden.)
In den früheren Teilen der Serie war bewiesen worden, dass minimale Kreisscheiben lokal wie Ebenen oder Helikoiden aussehen. Global sind sie dann entweder Graph einer Funktion oder eine “double spiral staircase” aus den Graphen zweier Multifunktionen. (Das hatten Meeks und Rosenberg in ihrem 2005 veröffentlichten Beweis, dass Ebene und Helikoide die einzigen einfach zusammenhängenden Minimalflächen im euklidischen Raum sind, verwendet.)
In der neuen Arbeit beweisen Colding-Minicozzi nun zwei Struktursätze für beliebige Minimalflächen. Es geht um “small necks” (“enge Hälse”) wie die Verbindungsstücke im Bild unten:
Sie beweisen zum einen, dass eine Minimalfläche ohne enge Hälse immer aus zwei “double spiral staircases” zusammengesetzt ist.
Zum anderen untersuchen sie Minimalflächen mit engen Hälsen und geben für diese eine Hosenzerlegung durch Aufschneiden entlang kurzer Kurven, und sie beschreiben die nach Aufschneiden verbleibenden Stücke.
(So jedenfalls die anschaulichen Beschreibungen in der Einleitung. Um daraus mathematisch präzise Statements zu machen, muss man grob gesagt Folgen von Minimalflächen betrachten, für die der Umfang der Hälse gegen Null geht oder eben nicht, und schon nur die Formulierungen der Sätze werden dann sehr kompliziert.)
Sie beweisen die Resultate in diesem 5.Teil zunächst für Minimalflächen, die Geschlecht 0 haben, sich also topologisch als Ebene mit herausgeschnittenen Kreisscheiben darstellen lassen. Der allgemeine Fall soll nur geringer Modifikationen in den Beweisen bedürfen und in Teil 7 der Serie veröffentlicht werden.
Colding, T., & Minicozzi, W. (2015). The space of embedded minimal surfaces of fixed genus in a 3-manifold V; Fixed genus Annals of Mathematics, 181 (1), 1-153 DOI: 10.4007/annals.2015.181.1.1
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