Modulraum elliptischer Kurven
Elliptische Kurven spielen eine wichtige Rolle in der Kryptographie und sollen in den nächsten 10 Jahren zur Standard-Verschlüsselungsmethode im Internet, Online-Handel etc. werden (siehe Kryptographie XII).
Allerdings verwendet man in der Kryptographie nur elliptische Kurven über endlichen Körpern und keine reellen oder komplexen elliptischen Kurven. Dafür gibt es verschiedene Gründe – einer ist, daß Verschlüsselung mit komplexen (oder reellen) elliptischen Kurven nicht sicher ist, weil jede komplexe elliptische Kurve einfach ein flacher Torus ist und weil sich der “Modulraum” komplexer elliptischer Kurven leicht beschreiben läßt – nämlich durch die letzte Woche beschriebene Modulfläche.
Elliptische Kurven sind Kurven y2=x3+ax+b.
(a und b sind irgendwelche Zahlen. Damit die Kurve keine Singularitäten hat, soll 4a3+27b2 nicht Null sein.)
In der reellen (x,y)-Ebene sehen elliptische Kurven aus wie im Bild unten.
Reelle elliptische Kurven sind einfach Kurven in der Ebene, also 1-dimensional.
Komplexe elliptische Kurven sind komplex 1-dimensional, also reell 2-dimensional.
Komplexe elliptische Kurven sind also Flächen.
Sie sind sogar sehr spezielle Flächen: jede (komplexe) elliptische Kurve ist (wenn man den Punkt im Unendlichen dazu nimmt) ein flacher Torus (mit Flächeninhalt 1).
“Flacher Torus” soll in diesem Zusammenhang heißen, daß der Torus eine Metrik mit Krümmung 0 hat, d.h. von der flachen Ebene überlagert wird, siehe TvF 63. (Warum das so ist, also warum jede komplexe elliptische Kurve einem flachen Torus mit Flächennhalt 1 entspricht, werden wir nächste Woche kurz andeuten, mit Hilfe der Weierstrass’schen p-Funktion.)
Wir werden den Zusammenhang zwischen Tori, Gittern und elliptischen Kurven nächste Woche noch etwas vertiefen, insbesondere auch erklären, warum Verschlüsselung mit solchen flachen Tori leicht zu knacken ist.
Vorweg schon einmal: man kann m.H. dieses Zusammenhangs leicht die Menge aller komplexen elliptischen Kurven (den sogenannten Modulraum der komplexen elliptischen Kurven) beschreiben:
nämlich – der “Modulraum” der komplexen elliptischen Kurven ist dasselbe wie der “Modulraum” der flachen Tori mit Flächeninhalt 1,
und den “Modulraum” der flachen Tori kann man leicht bestimmen (dazu übernächste Wochein TvF 95), es ist genau die letzte Woche beschriebene Modulfläche.
Klassifiziert werden elliptische Kurven übrigens durch die
j-Invariante. Deren ‘Graph’ sieht aus wie im Bild unten und hat dieselben Symmetrien wie der ‘modulare Schrank’ aus TvF 90. Auch das ist natürlich kein Zufall – mehr dazu später.
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