Theorema Magnum MDCCCXCVIII: Komponierbarkeit quadratischer Formen

Die Zerlegbarkeit der Produkte von Summen von n Quadraten gibt es offensichtlich genau dann, wenn der Rⁿ eine Kompositionsalgebra, d.h. eine Algebra mit einem Skalarprodukt, für das die Produktformel gilt, ist, denn dann ist x.y=(z₁(x,y),…,z_n(x,y)) äquivalent zu . Man kann zeigen, dass eine Kompositionsalgebra mit Einselement längentreu isomorph ist zu einer der vier bekannten Algebren (reelle Zahlen, komplexe Zahlen, Quaternionen, Oktaven). Weiter kann man durch einen als „Mutation“ bezeichneten Prozeß aus jeder Kompositionsalgebra ohne Einselement eine Kompositionsalgebra mit Einselement und von derselben Dimension machen. Insbesondere gibt es auch Kompositionsalgebren ohne Einselement nur in den Dimensionen 1,2,4,8 und man bekommt man also einen weiteren (1953 von Kaplansky veröffentlichten) algebraischen Beweis für den Satz von Hurwitz. (In den Dimensionen 2,4,8 gibt es jedoch viele weitere Kompositionsalgebren ohne Einselement.) Man kann dann weitergehen und fragen, in welchen Dimensionen es überhaupt Divisionsalgebren gibt. Aus dem Satz von Hurwitz folgt, dass es an normierten (endlich-dimensionalen) Divisionsalgebren nur die vier bekannten gibt. (Unter der Annahme der Assoziativität, die die Oktaven ausschließt, war das schon 1877 von Frobenius bewiesen worden.) Auch für beliebige (nicht notwendig normierte) Divisionsalgebren weiß man inzwischen, dass es sie nur in Dimension 1,2,4,8 gibt. Dafür gibt es aber bisher keinen algebraischen Beweis, sondern nur topologische Beweise, die den Bottschen Periodizitätssatz verwenden. Die ersten Beweise fanden Kervaire und Milnor (unabhängig voneinander) 1958 unmittelbar nach dem Erscheinen von Botts Arbeit.

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