Die Laplace-Gleichung Δu=0 im R3 beschreibt in der Physik das elektrostatische Potential im ladungsfreien Raum. Die Lösungen dieser Gleichung (auf einem beliebigen Rn) heißen harmonische Funktionen.
Die harmonischen Funktionen auf dem R2 sind in der Funktionentheorie von Bedeutung, etwa beim Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes. Die Real- und Imaginärteile komplex differenzierbarer Funktionen sind harmonisch und umgekehrt ist jede harmonische Funktion der Realteil einer komplex differenzierbaren Funktion.
Nun weiß man aus der Funktionentheorie, dass komplex differenzierbare Funktionen nicht nur einmal, sondern unendlich oft differenzierbar und sogar analytisch (d.h. mit ihrer Taylor-Reihe übereinstimmend) sein müssen. Daraus folgt, dass auch harmonische Funktionen auf dem R2 analytisch sein müssen.
Allgemeiner läßt sich auch für harmonische Funktionen auf einem beliebigen Rn Analytizität beweisen. Obwohl die Gleichung Δu=0 eine Differentialgleichung zweiter Ordnung ist und ihre Lösungen zunächst nur zweimal differenzierbar sein müßten, sind ihre Lösungen also stets analytisch.
Einen ähnlichen Effekt hat man bei Minimalflächen, wo ebenfalls bereits im 19. Jahrhundert bekannt war, dass sie stets analytisch sind, obwohl sie nur durch eine Differentialgleichung zweiter Ordnung beschrieben werden.
Das führt zu der Frage, für welche allgemeinen Klassen von Differentialgleichungen solche Regularitätssätze bewiesen werden können.
Man unterscheidet Differentialgleichungen von elliptischem, parabolischem und hyperbolischem Typ. Partielle Differentialgleichungen haben je nach Typ sehr unterschiedliche Eigenschaften. Die Laplace-Gleichung ist von elliptischem Typ wie auch allgemein Differentialgleichungen
Motiviert durch die Laplace-Gleichung und die Minimalflächengleichung hatte Hilbert 1900 als neunzehntes seiner dreiundzwanzig Probleme die Vermutung aufgestellt, dass die Lösungen elliptischer partieller Differentialgleichungen (mit analytischen Koeffizienten) stets analytisch sein sollen.
Hilberts Problem wurde bereits 1903 von Sergei Bernstein (damals Doktorand in Göttingen, er promovierte dann 1904 an der Sorbonne und noch einmal 1913 in Charkow, weil ausländische Doktortitel dort nicht anerkannt wurden) gelöst unter der zusätzlichen Annahme, dass die dritten Ableitungen der Lösungen existieren und beschränkt sind.
Bernsteins Beweis nutzte Techniken für a-priori-Abschätzungen für Lösungen und ihre Ableitungen mittels Linearisierungen nichtlinearer Gleichungen in einer Umgebung der Lösung. Der Name “a-priori-Abschätzung” bezieht sich darauf, dass man a priori von Existenz und Glattheit der Lösung ausgeht um Abschätzungen für die zweiten und höheren Ableitungen von f in Abhängigkeit von Schranken für f und die ersten Ableitungen (sowie die Ableitungen der Koeffizienten) zu beweisen. Bernstein wandte seine Methoden dann auf die (quasilineare) Minimalflächengleichung an und bewies 1915, dass ein Funktionengraph im R3 nur dann eine Minimalfläche ist, wenn er eine Ebene, die Funktion also linear ist.
Die Gründe für die Bedeutung von a-priori-Abschätzungen wurden eigentlich erst mit den Arbeiten von Leray und Schauder verstanden: man kann Fixpunktsätze anwenden sobald man die richtigen a-priori-Abschätzungen hat.
Der 1930 bewiesene Fixpunktsatz von Schauder ist eine Verallgemeinerung des Brouwerschen Fixpunktsatzes auf unendlich-dimensionale Räume. Er besagt, dass für eine kompakte, konvexe Teilmenge C eines Banach-Raumes jeder stetige Operator T:C–>C einen Fixpunkt hat. Insbesondere kann man das auf kompakte Operatoren auf Banach-Räumen X anwenden, sobald das Bild C:=T(X) konvex ist.
Eine elementare Anwendung ist der Beweis des Satzes von Peano, dass eine gewöhnliche Differentialgleichung mit stetiger (nicht notwendig Lipschitz-stetiger) rechter Seite eine lokale Lösung hat. Man betrachtet den Operator
Ein interessanteres Beispiel: für eine geeignete Funktion f auf einem Gebiet Ω sucht man Lösungen von
Auf ähnliche Weise bekommt man auch Lösungen hochgradig nichtlinearer Gleichungen. Ein einfaches Beispiel sei die Differentialgleichung
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