Schauder, damals Gymnasiallehrer in Lviv, hatte dank eines Stipendiums mit Lichtenbaum in Leipzig und mit Leray an der Sorbonne zusammenarbeiten können. Mit Leray definierte er 1933 einen Abbildungsgrad für Operatoren der Form Id+K:M—>Y mit K kompakt. Ihre Definition hängt von zunächst von einem Punkt y in Y ab und sie nahmen an, dass es keine Urbilder von Id+K für y auf dem Rand von M gäbe; nur unter dieser Bedingung ist der Abbildungsgrad deformationsinvariant. Diese Annahme sollte gerechtfertigt werden, indem sie mit a-priori-Abschätzungen erreichten, dass alle Bildpunkte in einer Kugel (und nicht auf dem Rand) liegen – dann kann man Fixpunktsätze anwenden.
Ist der Abbildungsgrad nicht Null, folgt aus der Deformationsinvarianz (letztlich also aus den a-priori-Abschätzungen) die Lösbarkeit für jede rechte Seite y. Damit bewiesen sie Existenzsätze für quasilineare Gleichungen 2. Ordnung in der Ebene.
Für lineare, gleichmäßig elliptische Gleichungen bewies Schauder a-priori-Abschätzungen in Abhängigkeit der Hölder-Normen der Koeffizienten. Eine Anwendung auf nichtlineare Gleichungen gelang erstmals 1938 Morrey.
Neben der Theorie der Minimalflächen, wo Radó und Douglas 1930 erstmals allgemeine Existenzsätze bewiesen, blieb die Leray-Schauder-Theorie noch für lange Zeit die einzige entwickelte Theorie für partielle Differentialgleichungen.
Ein weiteres der Hilbertschen Probleme hatte nach der Existenz von Lösungen von Randwertproblemen gefragt. Klassisches Beispiel ist das Dirichlet-Problem Δu=0 auf D2 mit vorgegebenen Randwerten f. Die Lösung dieses Problem ist äquivalent dazu, das Integral
Als großer Durchbruch und ihrer Zeit lange voraus galt die 1934 in Acta Mathematica veröffentlichte Arbeit „Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace“. Jean Leray fand dort schwache Lösungen für die Navier-Stokes-Gleichungen, die die Strömung von linear-viskosen Flüssigkeiten oder Gasen beschreiben. Angeblich soll er durch die Beobachtung von Strudeln und Wirbeln der Seine an den Pfeilern des Pont Neuf zur Suche nach nichtglatten Lösungen der die Strömung linear-viskoser Flüssigkeiten beschreibenden Navier-Stokes-Gleichungen
Eine schwache Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen ist eine L2-Funktion, deren schwache Ableitung (im Sinne der später von Schwartz definierten Distributionen) wieder L2 ist und die die schwache Version der Gleichungen erfüllt, also
für alle
Leray dachte sich diese schwachen Lösungen als Fortsetzung der glatten Lösung über die Singularitäten hinaus und bezeichnete sie als “turbulente Lösungen”: ihre Singularitäten sollten die Turbulenz beschreiben.
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