Gruppentheorie entstand ursprünglich aus der Frage nach der Auflösbarkeit von Polynomgleichungen durch Wurzelausdrücke. Évariste Galois betrachtete im 19. Jahrhundert (mit einer komplizierten Definition) zu einem Polynom mit Nullstellen α1,…αn die Gruppe derjenigen Vertauschungen der Nullstellen, die alle „Relationen“ zwischen den Nullstellen erhalten. In heutigem Verständnis ist das die Galois-Gruppe G=Gal(Q1,…αn)/Q) derjenigen Körperhomomorphismen der durch Adjunktion der Nullstellen zu Q entstehenden Körpererweiterung, die den Grundkörper Q fest lassen. Galois erkannte, dass die Nullstellen des Polynoms durch Grundrechenarten und Wurzeln ausgedrückt werden können, wenn G auflösbar ist, d.h. durch wiederholte Erweiterungen aus abelschen Gruppen konstruiert werden kann.
Gruppentheorie entwickelte sich im Laufe des 19. Jahrhunderts zunächst im Kontext von Permutationsgruppen. Die erste abstrakte Definition von (endlichen) Gruppen findet sich 1854 bei Cayley. Camille Jordan verfaßte 1870 ein Lehrbuch der Gruppentheorie, seine damaligen Postdoktoranden Felix Klein und Sophus Lie etablierten bald darauf die zentrale Rolle der Gruppentheorie in der Geometrie. Auf Henri Poincaré 1881 geht das Zitat „les maths ne sont qu’une histoire de groupes“ zurück.

Hat eine Galois-Gruppe G einen Normalteiler N, so kann man sowohl N als G/N Polynome von meist kleinerem Grad zuordnen. Dies führt schließlich auf Gruppen, die keine Normalteiler mehr haben – sogenannte einfache Gruppen. Für eine einfache Gruppe ist die Auflösbarkeit der Gruppe äquivalent dazu, dass die Gruppe Primzahlordnung hat.
„Es wäre von dem größten Interesse, wenn eine Übersicht der sämtlichen einfachen Gruppen von einer endlichen Zahl von Operationen gegeben werden könnte“ formulierte Otto Hölder 1892 – drei Jahre zuvor hatte er den Satz von Jordan-Hölder bewiesen, demzufolge man eine endliche Gruppe auf eindeutige Weise aus einfachen Gruppen zusammensetzen kann. In den folgenden Jahren wurden mit den zur Verfügung stehenden Methoden – den Sylow-Sätzen und dem Schubfachprinzip – die einfachen Gruppen bis zur Ordnung 2001 klassifiziert.

Einfache endliche Gruppen wie PSL(2,Z/pZ) oder die alternierende Gruppe An für n>4 waren natürlich schon seit den Anfängen der Gruppentheorie bei Galois bekannt – zum Beispiel wußte man damals schon, dass A5 die kleinste nicht-abelsche einfache Gruppe ist – und bereits im 19. Jahrhundert waren weitere Klassen endlicher einfacher Gruppen gefunden worden. (Klassische Gruppen über endlichen Körpern, die in Jordans Buch behandelt wurden.) Richard Brauer hatte seit 1935 die modulare Darstellungstheorie (Darstellungstheorie über endlichen Körpern) entwickelt und ihm war es mit Fowler 1951 gelungen, die projektiven Gruppen PSL(2,Z/pZ) gruppentheoretisch zu charakterisieren. Mit den Arbeiten von Chevalley in den 50er Jahren wurde klar, dass sich Sätze über halbeinfache Lie-Gruppen oft auf algebraische Gruppen über beliebigen Körpern übertragen lassen. Dadurch erhielt die Theorie endlicher Gruppen neues Interesse, insbesondere wurden von Chevalley, Suzuki, Steinberg und Ree neue Klassen endlicher Gruppen vom Lie-Typ gefunden. Tits und andere arbeiteten an einem geometrischen Zugang, indem sie Gruppen Inzidenzgeometrien zuordneten.

Für einfache, nichtabelsche, endliche Gruppen hatte William Burnside 1911 vermutet, dass sie gerade Ordnung haben müssen, womit dann also einfache Gruppen ungerader Ordnung auflösbar sein müßten. Diese Vermutung lag durchaus nahe, denn alle bekannten nichtabelschen, einfachen Gruppen hatten gerade Ordnung, die ersten waren von der Ordnung 60, 168, 360, 504, 660. Burnside hatte zuvor mittels Charaktertheorie bewiesen, dass Gruppen der Ordnung paqb auflösbar sind, wobei hier die Primzahlen p und q auch gerade sein dürfen. Damit wäre also A5 die kleinste nicht-auflösbare Gruppe.

In Richard Brauers Zugang zur Klassifikation endlicher einfacher Gruppen wurde diese Vermutung zu einer notwendigen Voraussetzung, die also zunächst bewiesen werden mußte, um Brauers Programm weiterverfolgen zu können. Brauer hatte seinen Ansatz auf dem ICM 1954 in Amsterdam vorgestellt. Wenn eine Gruppe G eine Involution i zuläßt, dann hatte er gezeigt, dass ihre Struktur im Wesentlichen schon durch den Zentralisator ZG(i) der Involution festgelegt ist: es gibt zu gegebenem ZG(i) nur endlich viele G. Burnsides Vermutung würde dann zeigen, dass jede nicht-abelsche endliche einfache Gruppe eine solche Involution besitzt. Damit bekäme die Zahl 2 als Ordnung einer Involution eine besondere Bedeutung für die Theorie der einfachen Gruppen.

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Kommentare (1)

  1. #1 Roscoe
    France, Montmorency
    24. Januar 2021

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