John Thompson hatte in seiner Dissertation eine alte Vermutung von Frobenius bewiesen: eine Gruppe ist nilpotent falls sie einen fixpunktfreien Automorphismus von Primzahlordnung besitzt. (Das wurde damals sogar in der New York Times erwähnt, allerdings nur als Randbemerkung zu einem längeren Artikel über drei andere Gruppentheoretiker, die eine Vermutung Eulers über lateinische Quadrate bewiesen hatten.) 1957 bewies dann Michio Suzuki Burnsides Vermutung für eine gewisse Klasse von Gruppen ungerader Ordnung. Suzukis Arbeit wurde zunächst in einer Arbeit von Feit, Hall und Thompson noch auf eine etwas größere als Suzukis ursprüngliche Klasse von Gruppen verallgemeinert. Ihr Beweis benötigte 17 Seiten, was damals für eine Arbeit in Gruppentheorie als ungewöhnlich lang galt.
Den allgemeinen Fall von Burnsides Vermutung bewiesen Feit und Thompson 1962. Es war der zu diesem Zeitpunkt wohl längste Beweis der Mathematikgeschichte. (Bis auf Ruffinis Beweis der Unlösbarkeit quintischer Gleichungen 1799 – noch vor Galois, der den allgemeinen Fall behandelte – den aber niemand verstanden hatte.) Mit 254 Seiten nahm er ein Jahr später eine komplette Ausgabe des Pacific Journal of Mathematics ein. Und dabei mußten Anwendungen und Erläuterungen noch in einer anderen Arbeit erscheinen. Andere Zeitschriften hatten sich geweigert, eine so lange Arbeit zu veröffentlichen.
Der Satz besagte also, dass Gruppen ungerader Ordnung auflösbar sind. Das hatte als unmittelbares Korollar, dass einfache Gruppen ungerader Ordnung zyklische Gruppen sind, und reduzierte die Klassifikation endlicher einfacher Gruppen auf die Gruppen gerader Ordnung.
Ein weiteres bekanntes Korollar: wenn für einen Normalteiler Ordnung und Index teilerfremd sind, dann gibt es ein (bis auf Konjugation) eindeutiges Komplement. Das verallgemeinert die schon aus Sätzen des 19. Jahrhunderts bekannte Klassifikation der (nicht notwendig einfachen) Gruppen der Ordnung pq mit p>q: falls q kein Teiler von p-1 ist, ist Z/pqZ einzige Gruppe der Ordnung pq; falls q ein Teiler von p-1 ist, gibt es außerdem noch das semidirekte Produkt zum Homomorphismus Z/qZ—->Z/(p-1)Z.
Thompson benutzte den Satz in den folgenden Jahren als Ausgangspunkt für einen Angriff auf die Klassifikation endlicher einfacher Gruppen: er klassifizierte zunächst die Gruppen mit auflösbaren lokalen Untergruppen, womit er insbesondere erhielt, dass eine Gruppe auflösbar ist, wenn jede von zwei Elementen erzeugte Untergruppe auflösbar ist.
Der Beweis des Satzes von Feit-Thompson benutzte alles, was damals in der Gruppentheorie modern war: Theorie maximaler Untergruppen, Darstellungstheorie und kombinatorische Gruppentheorie (Erzeuger und Relationen), sowie die lokale Gruppentheorie, die durch diese Arbeit erst begründet wurde.
Thompson und Feit hatten eine Reihe potentieller Vereinfachungen ihres Beweises. Vor allem würde sich der Beweis wesentlich abkürzen lassen, wenn (qp-1)/(q-1) nicht durch (pq-1)/(p-1) teilbar ist für beliebige unterschiedliche Primzahlen p,q. Doch zu dieser einfach aussehenden Vermutung fand sich kein Beweis. (Sie vermuteten ursprünglich sogar, dass die Zahlen teilerfremd seien, doch dazu fand man einige Jahre später das Gegenbeispiel p=17,q=3313.)
Außer endlichen Gruppen vom Lie-Typ waren seit dem 19. Jahrhundert keine neuen Beispiele endlicher einfacher Gruppen gefunden worden – an sporadischen Gruppen kannte man lediglich die in den 1860er Jahren entdeckten fünf Mathieu-Gruppen. Die erste neue Gruppe fand 1964 Zvonimir Janko, Physiklehrer in Široki Brijeg (West-Herzegowina), damals aber als Gast an der Universität Canberra. Beim Versuch zu beweisen, dass es keine einfachen Gruppen in einer bestimmten Klasse gibt, war er auf ein Hindernis gestoßen, das er schließlich als eine neue einfache Gruppe der Ordnung 175.560 erkannte. Es war die erste und kleinste von vier einfachen Gruppen, die in den folgenden Jahren von ihm und seinen Koautoren entdeckt wurden. Ende der 60er Jahre fand John Conway bei der Beschäftigung mit den Symmetrien des Leech-Gitters eine weitere bemerkenswerte Familie einfacher Gruppen. Einige weitere sporadische Gruppen wurden Ende der 60er und Anfang der 70er Jahre entdeckt und in den 70er Jahren wurde mit den drei Fischer-Gruppen sowie der Babymonster- und Monster-Gruppe der Zoo der endlichen einfachen Gruppen vervollständigt.
Kommentare (3)