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Theorema Magnum MCMLXXIII: die LBB-Bedingung

Von / 8. April 2021 / 3 Kommentare / Seite 2 von 2 / Auf einer Seite lesen
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Für die Lösung eines Randwertproblems muss man nicht nur ein Funktional J(u) minimieren, sondern noch eine Nebenbedingung b(u,m)=0 berücksichtigen. Mit der Lagrange-Methode muß man also ein Funktional L(v,m) minimieren und bekommt dann durch Ableiten von L die Gleichungen a(u,v)+b(v,λ)=f(v) für alle v und b(u,m)=0 für alle m, ein sogenanntes Sattelpunktproblem.

Während bei elliptischen Problemen wie der Poisson-Gleichung die meisten Finite-Elemente-Approximationen gegen die wahre Lösung konvergieren, sind bei hyperbolischen Problemen viele Diskretisierungen instabil, was zu Artefakten wie Störschwingungen führt.
Babuška benutze seine allgemeine Version des Lemma von Lax-Milgram, um eine inf-sup-Bedingung für die Lösbarkeit des Sattelpunktproblems anzugeben: wenn es ein positives β gibt, so dass \inf_{u\neq 0} \sup_{v\neq 0}\frac{b(u,v)}{\|u\| \|v\|} \ge \beta gilt, dann hat das Sattelpunktproblem eine eindeutige Lösung, die stetig von den Daten abhängt. Diese Bedingung wurde unabhängig auch von Ladyzhenskaya und Brezzi gefunden, weshalb sie heute LBB-Bedingung heißt.
Die LBB-Bedingung gibt also Kriterien an, wann eine Diskretisierung eines Sattelpunktproblems stabil ist. Die Bedingung spielt eine grundlegende Rolle in der Formulierung von stabilen numerischen Diskretisierungen von den inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen über die stationäre Stokes-Gleichung bis hin zum Darcy-Gesetz für Strömungen in Sedimentgestein.

Bild: https://shellbuckling.com/presentations/livingA2G/pages/page_82.html

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Kommentare (3)

  1. #1 Bernd Nowotnick
    8. April 2021

    An der Hintergrundstrahlung ist ersichtlich dass die Raumzeit partiell nicht 100% symmetrisch ist und der Cut-Off nicht vernachlässigt werden darf. Dadurch erlangt die Biometrie, “Leben” und “Metron – Maß”, also die Vermessung von Lebewesen an Bedeutung. Die Raumkrümmung ist ein Phänomen, das zwischen Bosonen hervorgerufen wird. Bei Photonen und Gravitonen ist aber der geometrische Raum nicht am Vermessungsprozess beteiligt, denn E und H Feld bilden eine elektromagnetische Welle und werden selbst aus dem Innen und Außen gebildet. Ein Photon ist schon eine Kombination und besteht aus einem elektrischen, neg. geladenen und einem magnetischen, pos. geladenen Anteil. Eine lokale Messung wird eine Nulldifferenz gegenüber einer anderen lokalen Messung liefern, denn nur außenstehende Beobachter können einen Effekt wahrnehmen, da E- und H-Felder übergeordnet sind. Als Orientierung oder besser Händigkeit braucht man aber noch eine geometrische Eigenschaft und das ist der Linearimpuls. Unterhalb der Planklänge sind auf einem Metron die Ecken verschwommen und werden zum Wirkungsfaktor als Verhältnis bzw. Quadratur des Kreises. Eine Orientierung über den Normalenvektor der Fläche in Innen und Außen ist zwar gegeben aber entwickelt sich nun zum Linearimpuls. Rotationsimpulse werden von Punkt zu Punkt übertragen und addiert. Dabei wird die Rotation in der Verzahnung durch den Druck von einer Ebene auf die nächste als Linearimpuls mit entsprechendem Wirkungsgrad weitergegeben. Das sind dann die Dynamiken der Geometrien des Raumes als Rotationen oder auch Flüsse und bilden elementare Eigenschaften der Teilchen, so etwas wie den Spin mit gewisser Trägheit. Erst ihre Organisation zu komplexeren Strukturen lässt eine Klassifizierung in rechtshändig und linkshändig, sowie einen Drehsinn zu.

  2. #2 echt?
    8. April 2021

    Öh: “Das Ritz-Verfahren wurde aber von russischen Ingenieuren auf schwere Probleme angewandt und nach Arbeiten von Timoschenko, Bubnow und vor allem Boris Galerkin unter dem Namen Galerkin-Methode populär.”?

  3. #3 Theorema Magnum – Mathlog
    31. Juli 2022

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