Theorema Magnum MCMLXXXV: Lösung des Wortproblems für hyperbolische Gruppen

Die Erstellung von Knotentabellen und damit verbundene Versuche, nicht-äquivalente Knoten zu unterscheiden, begannen im 19. Jahrhundert.

Zu einem Knoten im R³ oder besser in dessen Ein-Punkt-Kompaktifizierung S³ kann man das Knotenkomplement oder besser das Komplement einer Tubenumgebung des Knotens, eine 3-Mannigfaltigkeit mit einem Torus als Rand, bilden. Wenn zwei Knoten nicht-homöomorphe Knotenkomplemente haben, können sie nicht äquivalent sein. (Es gilt auch die Umkehrung, was allerdings erst 1989 von Gordon und Luecke bewiesen wurde.)

Insbesondere hat man mit der von Poincaré eingeführten Fundamentalgruppe eine Invariante, mit der sich Knoten unterscheiden lassen. Max Dehn bewies 1910, dass ein Knoten genau dann der Unknoten ist, wenn die Fundamentalgruppe des Knotenkomplements isomorph zur zyklischen Gruppe Z ist. (Sein Beweis benutzte allerdings Dehns Lemma, das erst 1957 vollständig von Papakyriakopoulos bewiesen wurde.)

Es gibt einen auf Wilhelm Wirtinger (ursprünglich im Zusammenhang mit der Berechnung der Monodromie von Singularitäten algebraischer Flächen) zurückgehenden Algorithmus, der eine Präsentierung der Fundamentalgruppe des Knotenkomplements aus einem Knotendiagramm berechnet. Für das oben abgebildete Diagramm der Kleeblattschlinge bekommt man die Präsentierung , die man mit und zu vereinfachen kann. Für den unten abgebildeten Achterknoten bekommt man die Präsentierung , die man mit und zu vereinfachen kann.

Das Problem mit diesem Ansatz ist, dass noch das Isomorphismusproblem gelöst werden muß: gegeben zwei Präsentierungen von Gruppen muß man entscheiden, ob diese zu isomorphen Gruppen gehören oder nicht. Das Isomorphismusproblem wurde in dieser Form von Max Dehn formuliert ebenso wie das Wortproblem – zu entscheiden, ob ein gegebenes Produkt von Erzeugern das Einselement der Gruppe ist – und das Konjugationsproblem: zu entscheiden, ob zwei Elemente der Gruppe zur selben Konjugationsklasse gehören.

Gruppentheorie war im 19. Jahrhundert hauptsächlich die Theorie endlicher Gruppen gewesen. Arthur Cayley hatte für endliche Gruppen das heute als Cayley-Graph bezeichnete „Gruppenbild“ definiert. Nach Wahl eines Erzeugendensystems der Gruppe ist es definiert als der Graph, dessen Knoten die Gruppenelemente sind und dessen vom Knoten g ausgehende Kanten den Erzeugern entsprechen: wenn s ein Erzeuger ist, dann gibt es für jedes g eine Kante zwischen g und gs.

Henri Poincaré hatte in seinen Arbeiten zur Topologie verwendet, dass man eine Fläche vom Geschlecht g durch gewisse Identifikationen der Seiten eines 4g-Ecks erhält, und dass man mit diesen 4g-Ecken für g=1 die euklidische und für g>1 die hyperbolische Ebene pflastern kann. Die euklidische bzw. hyperbolische Ebene ist also die universelle Überlagerung der Fläche. Dehn war sehr beeindruckt von Poincarés Verwendung hyperbolischer Geometrie in der Topologie von Flächen und er war dann der erste, der Cayleys Gruppenbild auch für unendliche Gruppen anwandte. Insbesondere hatte er die Idee, das Gruppenbild der Fundamentalgruppe einer Fläche in die hyperbolische Ebene zu zeichnen, um sich so deren Geometrie zunutze zu machen. Auch für andere Pflasterungen etwa des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes bekam er so Gruppenbilder von Fundamentalgruppen.

Für die Flächengruppen konnte Dehn mit diesem Ansatz das Wort- und Konjugationsproblem lösen. Für ein gegebenes Wort w überprüft sein Algorithmus, ob es ein Teilwort v der Länge hat, das auch als Teilwort der definierenden Relation r vorkommt. Wenn ja, dann kann er das Wort weiter vereinfachen, um nach endlich vielen Schritten so ggf. letztlich das Einselement bekommen. Er bewies mit geometrischen Argumenten, dass dieser einfache Algorithmus tatsächlich funktioniert: wenn das Wort das Einselement darstellt, dann kann man es mit diesem Ansatz immer weiter vereinfachen und der Algorithmus endet nach endlich vielen Schritten mit dem Einselement.

Seine eher algebraisch orientierten Schüler legten später Wert darauf, dass man die nichteuklidische Geometrie im Beweis nicht wirklich benötige. Bei der Lösung des Wort- und Konjugationsproblemproblem verwende man einfach nur die Tatsache, dass es sich im Gruppenbild um 4g-Ecke handele, von denen je 4g an jeder Ecke zusammenkommen. Tatsächlich genüge es für den Beweis, dass die Polygone mindestens 7 Ecken haben und an jeder Ecke mindestens 4 zusammenkommen.