Theorema Magnum MXMI: das eingeschränkte Burnside-Problem

Efim Zelmanow konnte Kostrikins Argumente später wesentlich vereinfachen und dann auch auf den Fall von Primzahlpotenzen p^k mit ungeraden Primzahlen p verallgemeinern. Für den Fall von Zweierpotenzen 2^k ließ sich dieses Lie-Algebren verwendende Argument aber nicht anwenden (während der Fall n=2 ja lange bekannt und sehr einfach war). Stattdessen benötigte man dort Jordan-Algebren.

Jordan-Algebren waren ursprünglich ein Ansatz des deutschen Physikers Pascual Jordan (bekannt vor allem als Begründer der Quantenfeldtheorie) zur Algebraisierung der Quantenmechanik. Die Idee war, dass zwar das Matrizenprodukt xy zweier Hermitescher Matrizen x und y nicht hermitesch sein muss, dass aber das Produkt wieder eine hermitesche Matrix ist. Alle algebraischen Aspekte der Theorie lassen sich aus dem Kommutativgesetz und der Jordan-Identität herleiten. Das wurden dann die Axiome einer Jordan-Algebra.
Jede assoziative Algebra liefert mittels eine Jordan-Algebra. Physiker suchten aber auch nach anderen (sogenannten “speziellen”) Jordan-Algebren. Jordan, von Neumann und Wigner klassifizierten 1934 endlich-dimensionale, formal-reelle Jordan-Algebren. Aus ihrer Klassifikation folgte insbesondere, dass es nur eine endlich-dimensionale spezielle Jordan-Algebra gibt, die Algebra der hermiteschen 3×3-Matrizen über den Oktaven, heute als Albert-Algebra bezeichnet. Sie vermuteten aber, dass es weitere unendlich-dimensionale spezielle Jordan-Algebren geben sollte.
Algebraiker entwickelten in den folgenden Jahrzehnten eine reichhaltige Strukturtheorie für Jordan-Algebren über Körpern der Charakteristik ≠2, die dann aber Ende der 70er und Anfang der 80er Jahre in einer Serie von Arbeiten von Efim Zelmanov komplett revolutioniert wurde. Insbesondere folgte aus seiner Theorie, dass es auch in unendlichen Dimensionen neben der Albert-Algebra keine weiteren speziellen Jordan-Algebren gibt.

Etwa zehn Jahre später gelang es Zelmanov zunächst, Kostrikins Argumente im Beweis des eingeschränkten Burnside-Problems auf ungerade Primzahlpotenzen zu verallgemeinern und das Problem dann auch für Zweierpotenzen zu lösen. Sein Beweis für Zweierpotenzen folgte zwar dem selben Plan wie der Beweis für ungerade Primzahlpotenzen, war aber viel komplizierter und verwendete insbesondere an entscheidender Stelle Jordan-Algebren statt Lie-Algebren.