Theorema Magnum MXMII: monströser Mondschein

Das Ziel, alle einfachen endlichen Gruppen zu klassifizieren, wurde erstmals 1892 von Otto Hölder formuliert. Zu diesem Zeitpunkt kannte man an einfachen Gruppen die alternierenden Gruppen A_n für n≥5 und die meisten projektiven linearen Gruppen über endlichen Körpern, an sporadischen Gruppen nur die fünf Mathieu-Gruppen. Im 20. Jahrhundert wurden zunächst eine Reihe endlicher einfacher Gruppen vom Lie-Typ entdeckt, in den 60er Jahren dann verschiedene sporadische Gruppen u.a. von Janko und Conway, und in den 70er Jahren schließlich die drei Fischer-Gruppen sowie die Babymonster- und Monster-Gruppe. Damit sollte die Liste der endlichen einfachen Gruppen komplett sein. Der Beweis der Vollständigkeit dieser Liste wurde in den 70er Jahren vor allem von Gorenstein und Aschbacher vorangetrieben und Gorenstein verkündete 1981 auf einem Meeting der American Mathematical Society den Abschluss des Beweises. Einige Schritte waren noch nicht aufgeschrieben und veröffentlicht, dies betraf vor allem die Klassifikation sogenannter quasi-dünner Gruppen, zu der es ein unveröffentlichtes 800-seitiges Manuskript gab. Jean-Pierre Serre vertrat die Ansicht, der Beweis sei lückenhaft, und behielt damit letztlich auch Recht. Anders gelagerte Kritik kam von Michael Atiyah, der offensiv die Meinung vertrat, dass Mathematik schön sein müsse und es häßliche Mathematik nur deshalb gäbe, weil man die wahren Zusammehänge noch nicht erkannt habe. In diesem Sinne kritisierte er den auf viele tausend Seiten angewachsenen Beweis des Klassifikationssatzes.

Die größte der endlichen einfachen Gruppen ist die sogenannte Monstergruppe. Ihre Existenz war 1973 von Fischer und Griess vermutet worden und wurde 1980 von Griess bewiesen. Er konstruierte sie (unter dem Namen „the friendly giant“) als Gruppe gewisser Automorphismen einer kommutativen, nicht-assoziativen Algebra auf einem 196884-dimensionalen komplexen Vektorraum. Diese Zahl 196884 kommt in der Mathematik noch an anderer Stelle vor: in der Theorie der Modulfunktionen.
Die dem Gitter Z+Zτ mit Im(τ)>0 entsprechende elliptische Kurve hat die j-Invariante . Zwei elliptische Kurven sind genau dann isomorph, wenn sie dieselbe j-Invariante haben; andererseits ist j(τ) invariant unter der Wirkung von SL(2,Z) durch gebrochen-lineare Transformationen auf der oberen Halbebene H². Die j-Funktion vermittelt also eine Bijektion des Modulraums elliptischer Kurven mit der „Modulkurve“ H2/SL(2,Z). Sie erzeugt den Ring der Modulfunktionen (d.h. der SL(2,Z)-invarianten Funktionen auf der oberen Halbebene) und ihre Potenzreihe in q=e2πiτ ist j(τ)=1/q+196884q+21493760q2+864299970q3+…
Andererseits sind die Dimensionen der irreduziblen Darstellungen der Monstergruppe r1=1,r2=196883,r3=21296876,r4=842609326,… und man stellt fest, dass für die Koeffizienten der j-Funktion gilt 1=r1, 196884=r1+r2, 21493760=r1+r2+r3, 864299970=2r1+2r2+r3+r4.
Die sich daraus ergebende Vermutung, dass alle Koeffizienten der j-Funktion Dimensionen von (reduziblen) Darstellungen der Monstergruppe sind, bezeichnete Conway als “monströsen Mondschein”, also als monströsen Quatsch. Die Erklärung, die McKay und Thompson vorschlugen: es gibt eine gradierte Darstellung, deren Dimensionen die Koeffizienten sind. Zuvor hatten schon Zahlentheoretiker einen Zusammenhang zwischen Modulfunktionen und der Monstergruppe beobachtet. Andrew Ogg hatte mit Serre und Thompson über die hyperbolischen Orbifaltigkeiten H2/Γ0(p) zu Kongruenzuntergruppen Γ0(p) gearbeitet. Wenn man die Fricke-Involution auf der Kompaktifizierung dieser Orbifaltigkeit wirken läßt, hat der Quotientenraum für genau fünfzehn Primzahlen (p=2,…,31, 41,47,59,71) einen Quotienten vom Geschlecht 0. Diese Primzahlen nennt man supersinguläre Primzahlen, für die entsprechenden Kongruenzgruppen wird der Körper der Modulfunktionen von einer einzigen Funktion erzeugt wird so wie die Modulfunktionen zu SL(2,Z) von j erzeugt werden. Diese supersingulären Primzahlen waren nun gerade die Primteiler der Ordnung der Monstergruppe und Ogg offerierte eine Flasche Whisky für eine Erklärung.

Die auf Hermann Weyl zurückgehende Charakterformel (bzw. die sich aus der Charakterformel ergebende „Nenner-Formel“) hat Ähnlichkeit mit einigen klassischen Produktidentitäten, was von MacDonald und Kac damit erklärt wurde, dass letztere sich als Nennerformeln für gewisse Kac-Moody-Algebren ergeben. Kac-Moody-Algebren sind unendlich-dimensionale Verallgemeinerungen von Lie-Algebren und haben mit diesen viele Eigenschaften gemein. Sie sind von Bedeutung in der Stringtheorie, weil ein Raum quantisierter Strings eine Kac-Moody-Algebra ist. Viele Beispiele solcher Algebren können mit Stringtheorie konstruiert werden. Für eine dieser Algebren, die sogenannte Monsteralgebra, führte die Produktidentität für die Koeffizienten c_k in der Reihenentwicklung der j-Funktion dann letztlich zum Beweis der Mondscheinvermutung durch Richard Borcherds.