Theorema Magnum MXMII: monströser Mondschein

Die Monster-Algebra ist das einfachste Beispiel einer Lie-Algebra physikalischer Zustände eines chiralen Strings auf einer Orbifaltigkeit. Die Orbifaltigkeit wird konstruiert wie folgt. Man betrachtet zunächst das eindeutige gerade unimodulare Gitter II25,1 im (26-dimensionale Stringtheorie beschreibenden) Lorentz-Raum R25,1. Es besteht aus den Punkten mit ganz- und halbzahligen Koordinaten, für die die Summe der Koordinaten durch 2 teilbar ist. Der Vektor v=(0,1,2,…,24,70) hat Lorentz-Norm 0 – es ist eine sehr spezielle Eigenschaft der Zahl 24, dass es diesen ganzzahligen Vektor der Lorentz-Norm 0 gibt – und der Quotient des Unterraums {x: x.v=-1,x.x=2} modulo v ist ein 24-dimensionaler Vektorraum. Sein Schnitt mit II25,1 ist ein 24-dimensionales Gitter, das als Leech-Gitter bezeichnet wird und eine Reihe spezieller Eigenschaften hat. Der Quotient des 24-dimensionalen Vektorraums nach dem Leech-Gitter ist ein 24-dimensionaler Torus, sein Quotient nach der Multiplikation mit -1 ist eine Orbifaltigkeit. Man betrachtet nun ein “physikalisches” System, nämlich die 2-dimensionale konforme Fieldtheorie, die die Bewegung eines Strings auf dieser 24-dimensionalen Orbifaltigkeit beschreibt. Die Symmetriegruppe des Leech-Gitters ist die Conway-Gruppe Co₀, aber durch die Betrachtung des Strings bekommt man eine größere Symmetriegruppe, nämlich die Monstergruppe. Damit geben alle Energieniveaus Darstellungen der Monstergruppe. Die Zustandssumme dieses Systems ist die j-Funktion und aus der Stringtheorie weiß man, dass die Koeffizienten der Zustandsssumme gerade die Anzahlen der Zustände in den jeweiligen Energieniveaus sind.
Das ist freilich nur die Heuristik. Borcherds’ Beweis der Mondscheinvermutung vermeidete den Physikerjargon völlig, sprach von Vertexoperatoralgebren statt von Stringtheorie und wird in jedem Fall auch dann mathematisch korrekt bleiben, wenn die Stringtheorie sich als physikalisch falsch herausstellen sollte.
Motiviert von der Stringtheorie waren aber jedenfalls die Axiome einer Vertexalgebra. Zu einem geraden Gitter L assoziiert man eine Vertexalgebra V_L, deren zugrundeliegender Vektorraum das Tensorprodukt des Gruppenrings CL mit einer abzählbaren Summe von Kopien des Gitters ist. In der Stringtheorie entspricht das den chiralen Zuständen eines sich in der Raum-Zeit bewegenden Strings, modulo der Periodizitäten des Gitters. Aus der zum 24-dimensionalen Leech-Gitter L assoziierten Vertexalgebra V_L kann man eine andere Vertexalgebra konstruieren, auf der die Monstergruppe mit den gewünschten Eigenschaften wirkt: Zu der durch Multiplikation mit -1 gegebenen Involution des Leech-Gitters hat man eine Involution h von V_L und einen irreduziblen mit h getwisteten V_L-Modul V’_L, auf dem sich h heben läßt. Die Fixpunktmenge von h auf der direkten Summe ist die Mondscheinalgebra. (Die Konstruktion dieser “Mondscheinalgebra” wurde von I. Frankel, Lepowsky und Meurman in einem mehr als 500 Seiten langen Buch durchgeführt. Die beiden Summanden entsprechen den beiden konformen Feldtheorien zum Leech-Gitter.) Die Mondscheinalgebra hat Rang 24, ihre gradierte Dimension ist die Reihenentwicklung der j-Funktion und ihre Automorphismengruppe ist die Monstergruppe. Mit Hilfe dieser Mondscheinalgebra konnte Borcherds dann die Monsteralgebra konstruieren, eine verallgemeinerte Kac-Moody-Algebra, auf der die Monstergruppe wirkt und deren Wurzelvielfachheiten die Koeffizienten der j-Funktion sind. (Durch das Leech-Gitter werden die einfachen Wurzeln der unendlich-dimensionalen Monsteralgebra indiziert.) Durch Vergleich mit einer anderen (isomorphen) verallgemeinerten Kac-Moody-Algebra erhielt Borcherds, dass die Weylsche Charakterformel der Monsteralgebra durch die Koike-Norton-Zagier-Identität gegeben ist. Damit und mit fortgeschrittenen Methoden aus der algebraischen Topologie konnte Borcherds die Koeffizienten der McKay-Thompson-Reihe berechnen und letztlich die Mondscheinvermutung beweisen.

Die Wirkung auf der Mondscheinalgebra charakterisiert die Monstergruppe auf eine ähnliche Weise wie die Conway-Gruppe Co₀ als Automorphismengruppe des Leech-Gitters charakterisiert wird oder die Mathieu-Gruppe M₂₄ als Automorphismengruppe des Golay-Codes. Richard Borcherds’ Beweis der Mondscheinvermutung nutzte Identitäten, auf die man erst durch die Stringtheorie gekommen war, unendlich-dimensionale Verallgemeinerungen klassischer Identitäten für Lie-Algebren. Die Richtigkeit seines mathematischen Beweises hing aber nicht von der Richtigkeit der physikalischen Theorie ab. Tatsächlich bewies er einen allgemeineren Satz: Für jedes Element g der Monstergruppe und seine Wirkung auf dem gradierten Mondschein-Modul V ist die McKay-Thompson-Reihe ein Hauptmodul für eine Untergruppe Γ von SL(2,R), für die Γ\H² eine Fläche vom Geschlecht 0, also eine mehrfach punktierte Sphäre ist. (Ein Hauptmodul für Γ ist im Wesentlichen ein Analogon zur j-Funktion für SL(2,Z): er erzeugt den Ring der Modulfunktionen für Γ.) Mit diesem Ansatz bekam Borcherds dann auch überraschende unendliche Produktzerlegungen für verschiedene Modulfunktionen.