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Das Ziel, alle einfachen endlichen Gruppen zu klassifizieren, wurde erstmals 1892 von Otto Hölder formuliert. Zu diesem Zeitpunkt kannte man an einfachen Gruppen die alternierenden Gruppen An für n≥5 und die meisten projektiven linearen Gruppen über endlichen Körpern, an sporadischen Gruppen nur die fünf Mathieu-Gruppen. Im 20. Jahrhundert wurden zunächst eine Reihe endlicher einfacher Gruppen…
Die Stringtheorie entstand ursprünglich aus dem Versuch der Physiker, die starke Wechselwirkung zu verstehen. Bei ihrer Entwicklung kamen reichhaltige mathematische Strukturen zutage, die aber wenig mit starker Wechselwirkung zu tun hatten. In den 70er Jahren war dann mit einer nichtabelschen Eichtheorie – der Beschreibung durch ein Yang-Mills-Feld zur Eichgruppe SU(3)xSU(2)xU(1) – eine erfolgreiche Theorie zur…
Viele Resultate der Zahlentheorie lassen sich dynamisch interpretieren, als Eigenschaften gewisser dynamischer Systeme. Ein klassisches Beispiel ist der aus dem 19. Jahrhundert stammende Approximationssatz von Kronecker, demzufolge für eine irrationale Zahl ξ die Menge der mit q∈Z im Einheitsintervall dicht liegt. (Kronecker gab noch eine genauere Abschätzung.) Das läßt sich interpretieren als Dichtheit der Orbiten…
Mathematisch geht es in der Signalverarbeitung darum, eine Hilbert-Basis im (unendlich-dimensionalen) Vektorraum L2(R) aller quadratisch-integrierbaren Funktionen zu finden, so dass eine Funktion also durch ihre Koeffizienten in dieser Basis bestimmt ist und möglichst schon endlich viele der Koeffizienten die Funktion recht genau bestimmen. Die naheliegende durch Abschneiden von 1,x,x2,x3,…,xn,… gebildete Basis ist dafür aus verschiedenen…
Die klassische Mechanik geht auf Isaac Newton zurück. Er beobachtete, dass sich Körper unter der Wirkung eines Kraftfeldes F gemäß der Differentialgleichung bewegen. Eine allgemeinere Formulierung gelang im 18. Jahrhundert Lagrange, der die Bewegungsgleichungen aus Variationsprinzipien herleiten konnte, also als Euler-Lagrange-Gleichungen eines geeigneten Wirkungsfunktionals. Im 19. Jahrhundert erkannten Hamilton und Jacobi, dass man diese Euler-Lagrange-Gleichungen…
Die Erstellung von Knotentabellen und damit verbundene Versuche, nicht-äquivalente Knoten zu unterscheiden, begannen im 19. Jahrhundert. Zu einem Knoten im R3 oder besser in dessen Ein-Punkt-Kompaktifizierung S3 kann man das Knotenkomplement oder besser das Komplement einer Tubenumgebung des Knotens, eine 3-Mannigfaltigkeit mit einem Torus als Rand, bilden. Wenn zwei Knoten nicht-homöomorphe Knotenkomplemente haben, können sie…
Als Modell bezeichnet man in der Mathematik ein Modell eines Axiomensystems. Beispielsweise ist die Geometrie der euklidischen Ebene ein Modell des euklidischen Axiomensystems. Wenn man auf das Parallelenaxiom verzichtet, ist auch die Geometrie der hyperbolischen Ebene ein Modell des übrigbleibenden Axiomensystems. Die Existenz eines Modells beweist die Widerspruchsfreiheit eines Axiomensystems. In der Modelltheorie als Teilgebiet…
Eine (komplexe) ebene Kurve kann man auf zwei Arten beschreiben: implizit durch eine Gleichung F(x,y)=0 oder explizit als Bild einer parametrisierten Kurve c:C–>C2. Kegelschnitte und auch singuläre Kubiken lassen sich durch rationale Funktionen parametrisieren, nichtsinguläre Kubiken (elliptische Kurven) aber nicht: für ihre Parametrisierung benötigt man die unten abgebildete Weierstraßsche ℘-Funktion eines Gitters L. Die elliptische…
Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten gelten heute als Grundlage der Stringtheorie, sie sollen die sechs zur Raum-Zeit hinzukommenden zusätzlichen Dimensionen ausmachen. Ursprünglich stammen sie aber aus der Differentialgeometrie, genauer aus der Theorie der Kähler-Mannigfaltigkeiten. (Das sind komplexe Mannigfaltigkeiten mit einer kompatiblen Riemannschen Metrik g und dadurch gegebener (1,1)-Form ω(X,Y)=g(X,JY). Kähler hatte sie in den 30er Jahren eingeführt, um die…
Die Frage, ob jede Landkarte mit vier Farben gefärbt werden kann, wurde erstmals 1852 von de Morgan in einem Brief an Hamilton formuliert. Kempes gefeierter Beweis von 1878 stellte sich zwölf Jahre später als fehlerhaft heraus. Heawood, der den Fehler im Beweis gefunden hatte, bewies immerhin korrekt die Färbbarkeit mit fünf Farben, und er fand…
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