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Man untersucht Gruppen gerne durch ihre Wirkungen auf mathematischen Objekten, insbesondere durch ihre linearen Darstellungen, d.h., ihre Homomorphismen nach GL(n,C) oder in andere lineare Gruppen. Die endlich-dimensionalen Darstellungen halbeinfacher Lie-Gruppen wurden 1913 von Élie Cartan klassifiziert, es gibt von ihnen nur abzählbar viele. Beispielsweise hat SL(2,C) für jedes n eine, bis auf Konjugation in GL(n,C)…
Die Laplace-Gleichung Δu=0 beschreibt das elektrische Potential im ladungsfreien Raum. Um sie auf einem Gebiet eindeutig lösen zu können, muß man die Werte der Lösung auf dem Rand des Gebietes vorgeben, sogenannte Randbedingungen. Dasselbe gilt auch für die Poisson-Gleichung Δu=f zu einer auf dem Inneren des Gebiets gegebenen Funktion f, der Ladungsdichte. Die Laplace- und…
Ein klassisches Thema der Zahlentheorie sind die Modulfunktionen für Γ=SL(2,Z) und allgemeiner für Fuchssche Gruppen. Man kann sie als Funktionen auf der hyperbolischen Fläche Γ\H2 ansehen und sie sind dort Eigenfunktionen des Laplace-Beltrami-Operators Δ. Hans Maaß definierte 1949 (nicht notwendig holomorphe) automorphe Funktionen als Eigenfunktionen von Δ. In der klassischen harmonischen Analysis will man Funktionen…
Reelle Zahlen werden in den Erstsemestervorlesungen meist auf ziemlich abstrakte Weise eingeführt, typischerweise als Dedekind-Schnitte. Näher an der Intuition und an der Schulmathematik fand ich es immer, reelle Zahlen als Dezimalbrüche einzuführen. Das Problem mit diesem Ansatz ist natürlich, dass unterschiedliche Dezimalbrüche dieselbe Zahl darstellen können: 0,999… ist dasselbe wie 1,000…, und genauso ist dann…
Während ein Verfahren zur numerischen Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen schon von Leonhard Euler in seinem 1768 erschienenen Buch Institutiones Calculi Integralis vorgestellt wurde, beginnt die numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen erst im 20. Jahrhundert. Der Meteorologe Lewis Richardson schlug in seinem 1922 erschienen Buch Weather Prediction by Numerical Process (das in der ersten, 1916 vollendeten Fassung noch…
Typische Beispiele von Singularitäten sind die Kuspe y2=x3 oder die nodale Singularität y2=x3-3x+2. Algebraische Varietäten (Nullstellenmengen von Polynomen) können beliebig komplizierte Singularitäten haben, was ihre Klassifikation völlig aussichtslos macht. Man strebt deshalb nur eine Klassifikation bis auf birationale Äquivalenz an. Birationale Äquivalenz heißt, dass man auf einer offenen, dichten Teilmenge eine Isomorphie hat, äquivalent dass…
Ob eine partielle Differentialgleichung lösbar ist und welche Dimension der Lösungsraum hat, hängt oft von topologischen Bedingungen ab. Klassisches Beispiel ist der Satz von Riemann-Roch, der zum Beispiel die Dimension des Raums der Lösungen von mit vorgegebenen Nullstellen aus dem Geschlecht der zugrundeliegenden Riemannschen Fläche berechnet. Der Satz von de Rham setzt die Dimension des…
Auf Martin Eichler geht das Bonmot zurück, Modulformen seien die fünfte Grundrechenart nach Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Schon im 19. Jahrhundert wußte man um die Anwendungen von Modulformen in der Zahlentheorie. So sind die Anzahlen der ganzzahligen Lösungen einer quadratischen Gleichung Koeffizienten einer Modulform, der Beweis von Jacobis Vierquadratesatz folgt aus der Identität zweier…
In der Funktionentheorie interessiert man sich für die Bestimmung von Funktionen mit vorgegebenen Pol- und Nullstellen. Gegeben eine Menge von Punkten x mit zugeordneten ganzzahligen dx (einen „Divisor“ D) auf einer Riemannschen Fläche möchte man die Dimension l(D) des C-Vektorraums L(D) aller derjenigen meromorphen Funktionen, die in den Punkten mit höchstens eine Polstelle der Ordnung…
Die Poissonsche Summenformel für schnell fallende -Funktionen f hat zahlreiche Anwendungen in Zahlentheorie und Analysis, beispielsweise beim Beweis der Transformationsformel der Theta-Funktion oder für gewisse Reihenentwicklungen. Man kann sie geometrisch interpretieren, indem man sieht, dass auf dem Kreis S1=R/Z die natürlichen Zahlen die Längen der geschlossenen Geodäten sind und die Zahlen -(2πk)2 die Eigenwerte des…
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