Während ein Verfahren zur numerischen Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen schon von Leonhard Euler in seinem 1768 erschienenen Buch Institutiones Calculi Integralis vorgestellt wurde, beginnt die numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen erst im 20. Jahrhundert.

Der Meteorologe Lewis Richardson schlug in seinem 1922 erschienen Buch Weather Prediction by Numerical Process (das in der ersten, 1916 vollendeten Fassung noch Weather Prediction by Arithmetical Finite Differences hieß) eine numerische Wettervorhersage vorgeschlagen. 64000 Rechner sollten ausreichen, das weltweite Wetter schnell genug für eine tägliche Meldung zu berechnen. Für seine numerische Wettervorhersage überzog er die Weltkarte mit einem Schachbrettmuster, wobei die Felder eine Seitenlänge von etwa 200 Kilometer hatten. Die Atmosphäre oberhalb jedes dieser Felder unterteilte er weiter in Schichten mit Grenzen in 2000, 4200, 7200 und 11800 Metern Höhe. Beinahe die Hälfte seines Buches besteht dann aus einer Diskussion der notwendigen physikalischen Gleichungen, um möglichst alle physikalischen Vorgänge, die sich zwischen diesen Zellen abspielen, zu berücksichtigen.

Als Finite-Differenzen-Methode bezeichnet man Verfahren, wo an endlich vielen, äquidistanten Gitterpunkten die Ableitungen durch Differenzenquotienten ersetzt werden.
Im Fall gewöhnlicher Differentialgleichungen erhält man durch gleichmäßige Diskretisierung das Eulersche Polygonzugverfahren. Ersetzt man bei den klassischen linearen Differentialgleichungsproblemen der mathematischen Physik die Differentialquotienten durch Differenzenquotienten in einem rechtwinkligen Gitter, so gelangt man zu algebraischen Problemen von sehr einfacher Struktur. Courant, Lewy und Friedrichs hatten in einer 1928 in Mathematische Annalen veröffentlichten Arbeit “Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik” nichtlineare solche Gleichungen betrachtet und für einige typische Beispiele bewiesen, dass die Lösungen der Differenzengleichung gegen die Lösung der entsprechenden Differentialgleichung konvergieren. Damit erhielten sie insbesondere einfache Beweise für die Lösbarkeit der Differentialgleichungen, die zwar in den meisten Beispielen schon bekannt war, aber mit uneinheitlichen und nicht verallgemeinerungsfähigen Methoden bewiesen. Courant und seinen Koautoren ging es dabei also weniger um die praktische Anwendung numerischer Verfahren gegangen als um Beweise für die Existenz von Lösungen. Die Fehleranalyse für Differenzenschemata elliptischer Gleichungen begann erst 1930 mit Gerschgorin.
Konkret bewiesen Courant-Friedrichs-Lewy, dass bei elliptischen Gleichungen einfache und weitgehend von der Wahl des Gitters unabhängige Konvergenzverhältnisse herrschen. Dagegen erhielten sie für hyperbolische Gleichungen (Wellengleichungen) Konvergenz gegen die korrekte Lösung nur dann, wenn die Verhältnisse der Gittermaschen in verschiedenen Richtungen gewissen Ungleichungen genügen, die von der Lage der Charakteristiken zum Gitter bestimmt werden. Sie zeigten, dass Konvergenz der Differenzenschemata aus Stabilität folgt und dass die Stabilität der Lösungen (d.h. die Unempfindlichkeit gegenüber kleinen Störungen der Daten) von einer später als Courant-Friedrichs-Lewy-Zahl bezeichneten Größe abhängt. Im eindimensionalen Fall ist das c:=\frac{u\Delta t}{\Delta x}, wobei u die Geschwindigkeit der Welle ist und die beiden anderen Größen der diskrete Ortsschritt und der diskrete Zeitschritt sind. In diesem Fall gilt Stabilität des Eulerschen Polygonzugverfahrens genau dann, wenn c<1. Ähnliche Bedingungen erhielten sie auch für andere Diskretisierungsschemata. Stabilität eines Verfahrens bedeutet, dass die im Verfahren verwendeten Operatoren gleichmäßig beschränkt sein sollen. Fundamental bei der Analyse der Finite-Differenzen-Methode für die numerische Lösung von partiellen Differenzialgleichungen wurde ein 1956 von Peter Lax (und in zahlreichen Spezialfällen schon frûher) bewiesener Äquivalenzsatz, demzufolge für ein korrekt gestelltes lineares Anfangswertproblem eine konsistente Methode genau dann konvergent ist, wenn sie stabil ist. Konsistenz heißt, dass der Algorithmus bei exakten Eingaben auch das exakte Ergebnis liefern würde. Konsistenz und Stabilität sind in der Regel viel einfacher zu überprüfen als Konvergenz. Lax arbeitete später über die Euler-Gleichungen der Gasdynamik. Deren numerische Lösung ist sehr schwierig, weil selbst bei glatten Anfangsdaten intrinisische Diskontinuitäten auftreten. Außerdem war die Existenz von Lösungen damals noch nicht bewiesen. "Nur weil wir nicht beweisen können, dass kompressible Flüsse mit vorgeschriebenen Anfangswerten existieren, bedeutet das nicht, dass wir sie nicht berechnen können" meinte er. Schließlich existieren sie ja physikalisch. Das von Lax und Friedrichs Ende der 40er Jahre entwickelte Differenzenschema wurde unverzichtbar und ein Meilenstein in der Behandlung hyperbolischer Erhaltungsgleichungen.

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Kommentare (10)

  1. #1 Jan
    11. März 2021

    1959 bewies sie die globale eindeutige Lösbarkeit und die Glattheit der Lösungen für die Navier-Stokes-Gleichungen auf dem R² und dem 2-dimensionalen Torus, und auch für die schwierigeren Euler-Gleichungen.

    Spontan hätte ich erwartet, dass die Euler-Gleichungen einfacher sind als die Navier-Stokes-Gleichungen, weil die Euler-Gleichungen ja ein Spezialfall (Viskosität = 0) der Navier-Stokes-Gleichungen sind. Ist mit “Navier-Stokes-Gleichungen” hier nur der Fall strikt positiver Viskosität gemeint? Und sind die Euler-Gleichungen mathematisch schwieriger, weil die innere Reibung die Entstehung von Singularitäten/Diskontinuitäten aus glatten Anfangsbedingungen behindert?

  2. #2 Thilo
    12. März 2021

    Gut, ich bin da jetzt nicht vom Fach, aber so wie ich es verstehe, wird die Euler-Gleichung deshalb als schwieriger angesehen, weil ihre Lösungen Singularitäten haben können. Bei den Navier-Stokes-Gleichungen hofft man ja immer noch, dass sie glatte Lösungen haben. Physikalisch erklärt man das wohl damit, dass die Viskosität die Diskontinuitäten glätten würde. So steht es jedenfalls in https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_equations_(fluid_dynamics)#Discontinuities

  3. #3 Thilo
    12. März 2021

    im 3-dimensionalen Fall

  4. #4 Karl Mistelberger
    mistelberger.net
    12. März 2021

    “It is common knowledge that, as the Reynolds number increases, flows lose their ability to damp out disturbances and they are increasingly composed of swirling eddies or vortices. This work proposes that the formation of inviscid flow arrangements is the mechanism that is responsible for these observations. Inviscid flow arrangements are flows of viscous fluids in which viscous forces vanish, not to be confused with inviscid fluids which have zero viscosity.”

    http://www.dl.begellhouse.com/journals/71cb29ca5b40f8f8,7e92c40d54c78fca,31b8b7df7aa9a99f.html

  5. #5 Fluffy
    12. März 2021

    @ #1
    Interessante Frage, deren Beantwortung (auch mir) nicht offensichtlich ist. Existenz und Eindeutigkeitsbeweise sind für nichtlineare Systeme (durch den konvektiven Term (v∇) v) sowieso nicht trivial. Die Navier-Stokes Gleichung sind prinzipiell ein anderer Gleichungstyp (räumliche Ableitungen zweiter Ordnung) durch den Laplace-Term bezüglich der Geschwindigkeit), In den Eulergleichungen gibt es nur Ableitungen erster Ordnung, wenn auch im Quadrat.
    Bei der Eulergleichung kann es bei Umströmungen im Überschall zu Stoßwellen, also exakten Sprüngen, kommen, Viskosität ist ein Diffusionsterm, der diese Sprünge wegdämpft. (s. #2) Die Energie dissipiert, wird also in Wärme umgewandelt.
    Auch sind die Randbedingungen für das Geschwindigkeitsfeld unterschiedlich. Navier-Stokes v(Rand) = 0, Euler vn(Rand)=0 (vn -Normalkomponente der Geschwindigkeit.

  6. #6 Fluffy
    12. März 2021

    #4 erschien, während ich schrieb.

    It is common knowledge that, as the Reynolds number increases, flows lose their ability to damp out disturbances and they are increasingly composed of swirling eddies or vortices

    deepl:

    Es ist allgemein bekannt, dass Strömungen mit zunehmender Reynoldszahl ihre Fähigkeit verlieren, Störungen zu dämpfen, und dass sie zunehmend aus wirbelnden Wirbeln oder Wirbeln bestehen.

    Diese Antwort ist etwa so gut, wie die auf die Frage:
    Warum ist der Himmel blau? …
    Weil das blaue Licht stärker gestreut wird.

  7. #7 Karl Mistelberger
    mistelberger.net
    12. März 2021

    > Diese Antwort ist etwa so gut, wie die auf die Frage:

    Vielleicht hilft noch einmal lesen weiter.

  8. #8 Fluffy
    12. März 2021

    Ich hab das schon weitergelesen.

    This work proposes that the formation of inviscid flow arrangements is the mechanism that is responsible for these observations. Inviscid flow arrangements are flows of viscous fluids in which viscous forces vanish, not to be confused with inviscid fluids which have zero viscosity.

    Diese Arbeit schlägt vor, dass die Bildung von invisziden (d.i. nichtviskos, Fluffy) Strömungsanordnungen der Mechanismus ist, der für diese Beobachtungen verantwortlich ist. Inviszide Strömungsanordnungen sind Strömungen viskoser Flüssigkeiten, in denen die viskosen Kräfte verschwinden, nicht zu verwechseln mit invisziden Flüssigkeiten, die eine Viskosität von Null haben.

    Zur Erhellung trägt das nicht gerade bei. Auch finde ich, dass ein Sinn des Kommentierens hier nicht nur darin besteht möglichst ausländische Zitate garniert mit einem Link und dann RTFM zu bringen, sondern mit eigenen Worten kurz den Inhalt und seine persönliche Meinung wiederzugeben.

    Das Wirbelprinzip ist übrigens ein sehr beliebtes Narrativ bei den Esoterikern.

    p.s.
    Ich habe in den Artikel reingesschaut, hat sich mir nicht erschlossen. Im vorderen Teil wird erklärt, wie die Lösung einer radialsymmetrischen Laplace-Gleichung aussieht (wenn auch nicht völlig trivial, so doch kein großes Ding), im hinteren Teil wird die Navier-Stokes mit einem numerischen Programm ANSYS(R)-CFX(R) für diesen Fall gelöst. Der Zusammenhang zwischen beiden hat sich mir nicht erschlossen. Zumal der Autor schreibt, in Wandnähe werden die Lösungen extrem ungenau. Das wäre meiner Meinung nach sowieso der Todesstoß.

  9. #9 Karl Mistelberger
    mistelberger.net
    13. März 2021

    > Zur Erhellung trägt das nicht gerade bei. Auch finde ich, dass ein Sinn des Kommentierens hier nicht nur darin besteht möglichst ausländische Zitate garniert mit einem Link und dann RTFM zu bringen, sondern mit eigenen Worten kurz den Inhalt und seine persönliche Meinung wiederzugeben.

    Der Satz ist so schwierig nicht formuliert. Reibungsfrei kann eine Strömung sein, wenn das Produkt des Reibungsterm verschwindet. Es kann sein, dass die Viskosität zu vernachlässigen ist oder aber die viskosen Kräfte im zweiten Faktor des Terms:

    The fluid itself need not have zero viscosity for inviscid flow to occur. It is also possible to arrange the flow of a viscous fluid so that viscous forces vanish. Such a flow has no viscous resistance to its motion. These “inviscid flow arrangements” are vortex-like and may play a key role in the formation of the tornado, the tropical cyclone, and turbulence.

    https://en.wikipedia.org/wiki/Inviscid_flow

    Im in Kommentar #4 zitierten Artikel wird diese Möglichkeit untersucht. Meinungen zu formulieren ist zwar möglich, aber selten sinnvoll wenn sie schon von anderen formuliert wurden.

    Übrigens ziehe ich ein gut leserliches ‘fucking manual’ vor. Steifgeschwurbelten Käse lasse ich lieber links liegen.

  10. #10 Fluffy
    14. März 2021

    Es kann sein, dass die Viskosität zu vernachlässigen ist oder aber die viskosen Kräfte im zweiten Faktor des Terms:
    Such a flow has no viscous resistance to its motion. These “inviscid flow arrangements” are vortex-like and may play a key role in the formation of the tornado, the tropical cyclone, and turbulence.

    Von diesem Genannten ist im verlinkten Artikel kaum die Rede. Die demonstrierte numerische Genauigkeit is mit 3%-5% für den relativ unkomplizierten Fal einer zentralsymmetrischen Rohrströmung ziemlich schlecht und am Rand quasi katastrophal. Im übrigen bedeutet die Vernachlässigung des viskosen Terms den Übergang von einer elliptischen zu einer hyperbolischen Gleichung. Das Konzept gibt es schon lange und kann dann am Rand über sogenannte Grenzschichttheorie (boundary layer) vermittelt werden, auch turbulent und führt dort zu parabolischen Gleichungen. Eine neue Methodik oder Systematik ist mir zumindest in dem erwähnten Artikel nicht erkennbar.

    Meinungen zu formulieren ist zwar möglich, aber selten sinnvoll wenn sie schon von anderen formuliert wurden.

    Das oben war mal meine Meinung. Wenn du also keine eigene Meinung hast, oder deine Meinung schon von jemand mir unbekanntem formuliert wurde, und das also deine Meinung zum Artikel ist, — o.k.
    Für micht ist ein Artikel aber keine Meinungsäußerung, sondern sollte sowas wie eine Herleitung oder Ableitung sein.
    p.s.
    den Wikipedialink finde ich gelinde gesagt katastrophal bedenklich.
    p.p.s
    rtfm bedeutet eigentlich, statt auf die Frage zu Antworten lies gefälligst den ***** Artikel