Auf Martin Eichler geht das Bonmot zurück, Modulformen seien die fünfte Grundrechenart nach Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.

Schon im 19. Jahrhundert wußte man um die Anwendungen von Modulformen in der Zahlentheorie. So sind die Anzahlen der ganzzahligen Lösungen einer quadratischen Gleichung Koeffizienten einer Modulform, der Beweis von Jacobis Vierquadratesatz folgt aus der Identität zweier Modulformen.
In den 1930er Jahren arbeitete Carl Ludwig Siegel an einer quantitativen Verschärfung der qualitativen Aussage im Lokal-Global-Prinzip, also einer Aussage über Lösungsanzahl statt nur Lösungsexistenz quadratischer Gleichungen, und betonte dabei den Zusammenhang zwischen quadratischen Formen und Modulfunktionen – dieser transzendente Weg entspräche der inneren Natur quadratischer Formen. (Andere Zahlentheoretiker schrieben seine analytischen Argumente mit algebraischen Methoden um.) Er entwickelte eine Theorie symplektischer Modulformen und konnte beispielsweise die Identität einer Eisensteinreihe mit einer gewichteten Summe von Thetafunktionen für den Beweis qualitativer Aussagen zu quadratischen Formen benutzen. Das zeigte auch die Nützlichkeit automorpher Formen zu anderen Gruppen als Untergruppen von SL(2,R), hier für Untergruppen von Sp(2n,R).

Gleichzeitig entwickelte Hecke die Theorie der später nach ihm benannten Hecke-Operatoren. Das sind miteinander kommutierende Operatoren Tm (auf Funktionen der oberen Halbebene), deren gemeinsame Eigenfunktionen gerade die Spitzenformen sind. Zu einer Spitzenform f definierte er ihre L-Reihe L(f,s)=\Sigma_m \frac{a_m}{s^m}, wobei am der Eigenwert zu Tm ist. Die L-Funktionen der Modulformen haben zahlentheoretische Bedeutung, zum Beispiel entstehen die L-Reihen imaginärquadratischer Zahlkörper auf diese Weise. Mit Heckes Arbeit wurde die Theorie der Modulformen von der Funktionentheorie in die Zahlentheorie verschoben. Es dauerte aber noch, bis sie dort Anwendungen fand.

In den 40er Jahren arbeiteten Siegel und Maaß mit unterschiedlichen Methoden an der Konstruktion von Eigenfunktionen des Laplace-Operators auf der Modulkurve. Maaß‘ Konstruktion von Wellenformen lieferte eine Theorie „nicht-holomorpher Modulformen“.
1952 löste Kurt Heegner das Gaußsche Klassenzahlproblem mit Hilfe von Modulformen. Seine Arbeit fand aber zunächst keine Anerkennung, die Experten hielten sie für falsch.

In den 1950er Jahren arbeitete außerhalb Japans nur noch Eichler über Modulformen. Er bewies eine von Ramanujan vermutete Abschätzung der Koeffizienten im Spezialfall der Modulformen vom Gewicht 2 und auch einige andere Vermutungen. Für die die Hecke-Operatoren definierende Korrespondenz berechnete er die Schnittmultiplizität mit der Diagonalen auf zweierlei Weise und bekam damit insbesondere eine Spurformel, mit der man die Spur der Hecke-Operatoren auf dem Raum der Spitzenformen aus endlichen geometrischen Informationen ausrechnen konnte. Auf einer Tagung in Bombay, wo er darüber vorgetragen hatte, hatte Selberg einen analytischen Beweis derselben Spurformel vorgetragen. Selbergs Beweis war analytischer Natur und benutzte eine Spektralzerlegung. Dagegen war Eichlers Beweis mit den Fixpunktformeln der algebraischen Geometrie verwandt und das Resultat hatte eine gewisse Ähnlichkeit mit Lefschetzs Fixpunktsatz. Selbergs analytischer Ansatz hatte aber den Vorteil, sich auf andere Gruppen als SL(2,R) verallgemeinern zu lassen.

Während anderswo die analytische Zahlentheorie etwas aus der Mode gekommen waren, hatten sich in Japan Taniyama und andere jüngere Mathematiker mit dem Gebiet der Modulformen beschäftigt. Für eine über den ganzen Zahlen definierte elliptische Kurve E kann man die Anzahl an der Lösungen modulo n betrachten. Eichler hatte sich mit der elliptischen Kurve y2+y=x3-x2 beschäftigt und die erstaunliche Entdeckung gemacht, dass für Primzahlen p die Anzahl ap gerade der Koeffizient von qp in der Reihenentwicklung des unendlichen Produkts q\Pi_{k=1}^\infty (1-q^k)^2(1-q^{11k})^2 ist. Dieses Produkt ist eine Modulform. Taniyama fand einige weitere Modulformen, deren Koeffizienten zu einer elliptischen Kurve gehören. Auf einem Symposium in Tokio schlug er eine allgemeine Vermutung vor, die aber nicht korrekt war. Shimura gab eine korrigierte Formulierung und propagierte im weiteren die Vermutung über die Entsprechung zwischen elliptischen Kurven und Modulformen. Die meisten Mathematiker außerhalb Japans waren skeptisch. André Weil meinte, für die Vermutung spreche nicht viel mehr als dass elliptische Kurven und Modulformen jeweils abzählbare Mengen bildeten und so gesehen nichts gegen eine Bijektion zwischen beiden spreche.

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Kommentare (2)

  1. #1 user unknown
    https://demystifikation.wordpress.com/
    3. Januar 2021

    Deine Artikel machen mir immer schmerzhaft bewusst, dass ich von Mathematik, in der Schule mein Lieblingsfach, Null Ahnung habe. Bei “Modulformen” musste ich schon passen. 🙂

    Frohes Neues Jahr.

    Und ich werde stur weiter versuchen, die Artikel zu lesen, bis zu dem Punkt, da ich nur noch mit den Ohren schlacker. 🙂
    Ab und zu stoße ich ja auf Wörter, die ich als Programmierer schon mal gehört habe, Bijektion zum Beispiel.

  2. #2 Wir Suchen
    5. Januar 2021

    Wird
    Modulformen Einsteiger
    bei der Suchmaschine DuckDuckGo eingegeben, findet sie den Artikel
    https://scienceblogs.de/mathlog/2010/03/26/topologie-von-flachen-cix/
    in dem auf den Artikel
    https://scienceblogs.de/mathlog/2010/03/12/topologie-von-flachen-cvii/
    verlinkt wird, in dem WIR ein paar Mal (z.B. in TvF 100) erwähnt hatten, dass Modulformen auf mysteriöse Weise zahlentheoretische Zusammenhänge kodieren.
    Interessant ist, dass die Maschine Thilo’s Blog fand, obwohl in seinen 2 Artikeln das Wort Einsteiger fehlt!
    Daraus folgt, dass die Maschine für jedes deutsche Wort eine Synonym-Tabelle durchsucht, um mindestens eine Ergebnismenge, die ungleich der leeren Menge ist, zu präsentieren.
    Einsteiger ist ein Synonym für Blog und das Wort Blog ist ein Teilwort des Worts scienceblogs, et voila, (minimal) success!
    Warum transformiert die Maschine DuckDuckGo die menschliche Frage
    Modulformen Einsteiger
    nicht automatisch in
    Modulformen inurl:blog site:.de
    um, um die deutsche Frage präzise zu beantworten?
    Weil die Schnittmenge der Interessen der Suchmaschinenbetreiber und der Interessen des Suchenden minimal ist.

    Ein anderes Synonym für Einsteiger oder Math Noob ist Biologist und auch hier erfahren WIR, dass
    Can one explain schemes to biologists?
    oder
    Grothendieck Biologist
    nicht zu vielen Blogs, sondern nur zum Blog von Fieldsmedaillengewinner David Mumford führt.
    Shimura Biologists führt sogar ins Nichts

    Was also tun?
    Jeder kann programmieren!
    Für jene, die nicht exzellent programmieren können, gibt es die einfachste Lösung, die n Webadressen ausländischer Mathe-Blogs (e.g.Top 100 Math Blogs) selber zu finden, um sie in die simple Batch-Datei wirsuchen.bat einzutragen:
    firefox.exe -new-tab -url https://www.google.com/search?q=Modular%20Forms+site%3A%5BURL1%5D
    firefox.exe -new-tab -url https://www.google.com/search?q=Modular%20Forms+site%3A%5BURL2%5D
    usw.
    wobei [URLi] durch die jeweilige Mathe-Blog-Webadresse[i] ersetzt wird (i=1,…n) z.B. scienceblogs.de

    Ein Doppelklick auf wirsuchen.bat und dann die gelesenen Ergebnisse in diesem Artikel posten.
    Achtung, nicht zu viele Anweisungen eintragen und ausführen lassen bzw. zwischen den Anweisungen eine Sleep-Anweisung einbauen, weil Google im Fall eines Fragenhagels streikt und der Fragenhagel-Firefox temporär von Google ausgesperrt wird.

    Ein Programmierer könnte alle Hochschulwebseiten nach dem Vorlesungsskript Modulformen durchsuchen und erstaunt feststellen, dass nicht auf andere Vorlesungsskripte dieser Hochschule verlinkt wird, die man als Grundlage für ein Verständnis von Modulformen braucht, sondern immer mindestens kostenpflichtiges Buch über Modulformen bzw. Modular Forms and Elliptic Functions empfohlen wird.
    Was für jeden, insbesonders Asperger, eigentlich keinen Sinn ergibt, der/die 3000 Euro (Studentenwohnheim, etc.) ausgeben soll für ein Semester Modulformen, wenn für 300 Euro die von Modulformen-Vorlesungs-Professoren empfohlenen Einsteiger-Bücher über Modulformen gekauft werden können, die auch Aufgaben enthalten, die genau wie die (3000 Euro teuren) Hochschulaufgaben selber gelöst werden sollen.

    WIR sind gespannt auf die Such-Ergebnisse der Programmierer.

    Warum gibt es in Deutschland nur einen TUTOR, der einen Mathe-Blog betreibt, in dem auch Modulformen behandelt werden, obwohl jedes stoffverdichtete deutsche Hochschulstudium des 3ten Jahrtausends aus verfassungsgemäßen Gleichbehandlungs-Gründen (nicht jeder kann sich einen privaten Master-Tutor leisten) ehrenamtliche Tutoren braucht?
    Aus Gründen.