Einmal oder zweimal differenzierbar? Numerische Konstruktionen, flache Tori im euklidischen Raum und fraktale Normalenvektoren.

Differenzierbare Flächen

In den letzten Monaten hatten wir häufig die Differenzierbarkeit von Flächen benutzt. Zum Beispiel hatten wir vor 2 Wochen die Klassifikation der Flächen mittels Morsetheorie bewiesen.
Dieser morsetheoretische Beweis (via Henkelzerlegung) funktioniert eigentlich nur für differenzierbare Flächen, denn die Morsetheorie benutzt Morse-Funktionen, die per Definitionem (TvF 209) mindestens zweimal differenzierbar sein müssen, denn sie definieren sich ja über die Nicht-Entartetheit der 2.Ableitung in ihren kritischen Punkten.
Mit Morse-Theorie bekommt man also eigentlich erstmal nur eine Klassifikation der glatten Flächen. Aber weil wir in TvF 187 ja gesehen hatten, dass jede Fläche eine differenzierbare Struktur hat, liefert einem das dann automatisch auch eine Klassifikation der Flächen überhaupt.

Umgekehrt bekommt man aus der morsetheoretischen Klassifikation der differenzierbaren Flächen automatisch auch, dass es auf jeder Fläche nur eine eindeutige Differentialstruktur gibt (und nicht mehrere wie z.B. auf Milnors exotischen Sphären).

Es gibt also aus topologischer Sicht eigentlich keinen Unterschied zwischen topologischen oder glatten Flächen, und auch nicht z.B. zwischen 1- oder 2-mal differenzierbaren.

Trotzdem gibt es in der Geometrie durchaus Unterschiede zwischen 1-maliger und 2-maliger Differenzierbarkeit, zum Beispiel wenn man sich für die Frage der Einbettbarkeit von Flächen in den euklidischen Raum interessiert.

Einbettungen des flachen Torus

In TvF 63 hatten wir mal gesehen, dass es auf dem Torus eine flache Metrik gibt (d.h. eine Metrik, deren Krümmung überall 0 ist) und dass man diese flache Metrik z.B. mit einer Einbettung des Torus in den R4 bekommt.

Kann man eine flache Metrik auch mit einer Einbettung in den R3 bekommen?

Natürlich kann man einen Torus in den 3-dimensionalen euklidischen Raum einbetten:
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Aber bei dieser Einbettung gibt es auf jeden Fall Punkte mit positiver Krümmung, wie bei jeder in den R3 (2-mal differenzierbar) eingebetteten geschlossenen Fläche: Man nehme einen Punkt mit maximaler z-Koordinate, d.h. den “obersten Punkt” der Fläche. Es folgt dann leicht aus der Formel für die Krümmung (TvF 48), daß die Krümmung in diesem Maximum positiv ist.

Nun kommen in der Formel für die Berechnung der Krümmung zweite Ableitungen vor und insofern funktioniert der Beweis im vorigen Absatz nur für 2-mal differenzierbare Einbettungen. D.h. wenn man eine 2-mal differenzierbare Einbettung einer geschlossenen Fläche in den R3 hat, dann ist die Krümmung in den Extrempunkten positiv.

Insbesondere gibt es keine 2-mal differenzierbare isometrische Einbettung eines flachen Torus in den R3.

Man sollte annehmen, dass das auch für 1-mal differenzierbare Einbettungen so ist, dass man nur den Beweis etwas modifizieren muss. Das ist aber nicht der Fall:

Nach einem (allgemeineren) Satz von Nash und Kuiper gibt es 1-mal differenzierbare isometrische Einbettungen des flachen Torus in den R3.

Einen ähnlichen Effekt hatten wir mal (in TvF 198) für Einbettungen der hyperbolischen Ebene in den R3. Die kann es (aus anderen Gründen, nämlich dem Satz von Hilbert bzw. dessen Verfeinerung durch Klotz-Milnor) nicht 2-mal differenzierbar geben (Hilberts ursprünglicher Beweis lieferte nur die Unmöglichkeit einer 4-mal differenzierbaren Einbettung), es gibt aber 1-mal differenzierbare isometrishe Einbettungen der hyperbolischen Ebene in den R3.

Konvexe Integration

Gromov formulierte Anfang der 70er Jahre ein allgemeines h-Prinzip, d.h. einen allgemeinen Satz über die Lösbarkeit bestimmter in der Geometrie vorkommender Partieller Differential (Un)Gleichungen. Als Spezialfall seines h-Prinzips ergab sich auch der Satz von Nash-Kuiper über 1-mal differenzierbare Einbettungen des Torus in den R3.

Eine der von Gromov entwickelten Methoden zum Beweis von h-Prinzipien war die sogenannte “konvexe Integration”, die im Prinzip auch ein iteratives Verfahren zur Konstruktion der Lösungen liefert. Trotzdem hatte wohl 40 Jahre lang niemand versucht, eine 1-mal differenzierbare Einbettung des Torus in den R3 auch explizit zu konstruieren.

Numerische Umsetzung

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In einer in der aktuellen Ausgabe der Proc.Nat.Acad.Sci. veröffentlichten Arbeit “Flat tori in three-dimensional space and convex integration” von Borrelli-Jabrane-Lazarus-Thibert (aus der auch obiges Bild stammt) wird nun mittels konvexer Integration ein Algorithmus zur expliziten Konstruktion eines einmal differenzierbaren flachen Torus im R3 entwickelt. Das ist wohl überhaupt das erste Mal, dass in einer Arbeit “konvexe Integration” numerisch umgesetzt wurde.
(Einen populärwissenschaftlichen Einstieg in die Arbeit gibt dieser Artikel von Vincent Borrelli, auf Französisch).
Weil der eingebettete Torus ja nur einmal, nicht zweimal differenzierbar sein darf, sehen die Bilder zwangsweise etwas ‘fraktal’ aus. (Die Autoren schreiben, dass in einem präziseren Sinne die Normalvektoren des Torus fraktales Verhalten zeigen.)
Das Bild unten zeigt die ersten 4 Iterationsschritte der Konstruktion.
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Kommentare (5)

  1. #1 Olaf aus HH
    27. Juli 2012

    Hallo Herr Kuessner,

    warum wird mir immer so tüttelig, wenn ich so etwas gelesen habe ? Das meine ich vor allem nicht abwertend, aber ich bin einfach kein “mathematischer Mensch” und verstehe nur Krümelkram. Allein in formaler Logik und Binärsystem war ich in der Schule gut.
    Ich bewundere Menschen, die sich all das offenbar verstehen und sich aneignen können, was Sie referieren.
    Gibt es eine instruktive Homepage zum Thema Mathematik oder ein Buch, mit der/ dem ein “Anfänger” mit Hochschulabschluß (Jura) sich das ganze doch noch im Alter von 56 Jahren einigermaßen aneignen kann ? Es macht mich unzufrieden, daß ich es “nicht verstehe”. Habe bislang noch nichts gefunden – haben Sie eventuell eine Empfehlung ?

    Beste Grüße und Dank vorab.

  2. #2 Olaf aus HH
    27. Juli 2012

    sorry: …die all das offenbar verstehen und sich aneignen können…
    😉

  3. #3 Thilo
    27. Juli 2012

    Da fällt mir jetzt spontan auch nichts ein. Dieser Beitrag hier und auch die vorhergehenden setzen natürlich voraus, daß man schon mal Vorlesungen in einem mathematik-nahen Fach gehört hat, das ist nicht zu bestreiten. Die ersten Folgen der Reihe sind ja vielleicht auch ohne Vorkenntnisse zu verstehen, auf die aktuelleren Folgen trifft das natürlich nicht mehr so zu. Die Leserzahlen sind aber trotzdem noch ganz ordentlich 🙂

  4. #4 Olaf aus HH
    27. Juli 2012

    Danke für die Antwort – und daß die Leserzahlen ganz ordentlich sind, stimmt mich ja auch froh. Don’t worry about me.
    Aber gibt es wirklich keinen Buchtip zur Einführung oder dergleichen ? Kann vielleicht ein Leser helfen ? Altersstatistisch habe ich (hoffentlich) noch etwa 20 Jahre “Nutzzeit” und ein wenig mehr als bisher möchte ich doch noch von Naturwissenschaften und Mathematik verstehen.
    Jedenfalls freue ich mich, daß es die ScienceBlogs gibt und danke allen Beteiligten dafür.

    Beste Grüße 😉

  5. #5 Chrys
    28. Juli 2012

    Es hat da einen genialen russischen Klassiker:
    http://books.google.com/books?id=ikMAzFXpFOsC

    Nash-Kuiper etwa findet darin Erwähnung. Für die Fortschritte der jüngeren Vergangenheit weiss ich leider nichts Vergleichbares.