Bei Math Overflow ist mir zufällig dieser alte Thread aufgefallen, der -obwohl längst geschlossen- es doch noch mal auf die Startseite geschafft hatte. Es ging um mathematische Beweise durch suggestive Bilder. Einige Beispiele:


1+2+…+(n-1) ist “n über 2”, d.h. die Anzahl der Möglichkeiten 2 Elemente aus einer n-elementigen Menge auszuwählen:

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Es gibt n blaue und 1+2+…+(n-1) gelbe Kugeln. Jedes Paar von blauen Kugeln entspricht einer eindeutigen gelben.


12+22+…+n2=n(n+1)(n+1/2)/3:

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Dieses Beispiel von Man Keung Siu ist vielleicht nicht so offensichtlich. Die drei Pyramiden bestehen jeweils aus 12+22+…+n2 Würfeln und sie passen genau zusammen zu einem Quader mit Kantenlängen n, n+1 und n+1/2.


Für die durch F0=1,F1=1, Fn=Fn-1+Fn-2 definierten Fibonacci-Zahlen gilt die Gleichung F02+F12+…+Fn2=FnFn+1:

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Das grosse Rechteck hat Flächeninhalt FnFn+1, die kleinen Quadrate haben jeweils Flächeninhalt Fi2 und der Grund, dass die kleinen Quadrate sich zu einem Rechtck zusammenfügen ist natürlich die Voraussetzung Fn=Fn-1+Fn-2.


x3/3+y3/3+z3/3 ≥ xyz:

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Auch in diesem Bild von Darsh Ranjan muss man sich natürlich erstmal klarmachen, dass alles zusammenpasst. Der Würfel Quader ist in der Vereinigung der 3 Pyramiden enthalten, sein Volumen ist also höchstens so gross wie die Summe der Volumina der 3 Pyramiden.


Jeder Topologe kennt den Beweis, dass Homotopiegruppen πn(X,x) (eines beliebigen Raumes X mit Basispunkt x) für n≥2 abelsch sind:

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f und g sind Abbildungen von Dn nach X, die auf dem Rand konstant x sind. Die Hintereinanderausführungen fg bzw. gf werden durch die Bilder links und rechts definiert. Dazwischen hat man die Homotopie, wobei Punkte ausserhalb der inneren Rechtecke alle auf x abgebildet werden.


Und dann ist da noch der Beweis (aus Kock: Frobenius Algebras and 2-D Topological Quantum Field Theories), dass in einer Frobeniusalgebra die Komultiplikation genau dann kokommutativ ist, wenn die Multiplikation kommutativ ist:

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Kommentare (7)

  1. #1 Engywuck
    21. August 2012

    sieht mir eher aus nach “man sieht, was man kennt”.
    abgesehen vom ersten und dem Fibonacci-Beispiel (das aber auch erst nach etwas Nachdenken) sagen mir erstmal nichts und sind dadurch als Beweis nur mit entsprechend umfangreicher Zusatzinformation nutzbar (insbesondere die letzten beiden. Was bitte ist eine Frobeniusalgebra und was hat die mit Abwasserrohren zu tun?)

    Nun gut, ich bin ja auch kein Mathematiker. Dem Spaghettimonster sei Dank 🙂

    Ach ja: x*y*z ist kein Würfel 😉

  2. #2 Lercherl
    22. August 2012

    Der Klassiker unter den wortlosen Beweisen ist Bhaskasras Beweis des Satzes von Pythagoras.

  3. #3 Name auf Verlangen entfernt
    22. August 2012

    Wie kindisch ihr Mathematiker seid, fast wie Neurologen neuerdings, diese Münchhausener Sumpfbewohner; brauchen auch ganz schön viele Worte, die “wortlosen” Beweise. Ersetz das Wort “Wort” durch das Wort “Begriff” – da ist bereits das =/Zeichen ein Begriff. λόγος läßt sich nicht überlisten – und ist halt nicht mathematisch, sondern dessen notwendige Grundlage.

  4. #4 Lercherl
    23. August 2012

    Auch jede Menge Sätze über Partitionen lassen sich graphisch beweisen, ohne viele Worte zu verlieren. Siehe Hardy & Wright, Theorem 342 ff.

  5. #5 Name auf Verlangen entfernt
    23. August 2012

    @ Lercherl: gar nichts läßt sich grafisch beweisen – ohne Worte und Begriffe ist die Grafik nichts. Sie versteht sich nicht vonselbst. Hier bitte einfach mal dem eigenen Anspruch gemäß exakt bleiben, und nicht mit irgendwelchen Theoremen fuchteln – immerhin spielt der Begriff Theo-rem mit der von Gott gegebenen Sache.

  6. #6 Thiemo Krebsbach
    29. Dezember 2016

    Ob Wort oder Bild … die Idee dahinter erzeugt doch erst der Mensch. Wieso sollte es da also einen Unterschied geben?

  7. #7 Thilo
    29. Dezember 2016

    Inzwischen gibt es auch ein Buch “proofs without words” und zu diesem witzigerweise auch eine deutsche Übersetzung http://scienceblogs.de/mathlog/2016/10/10/uebersetzung-ohne-worte-aber-nicht-sprachlos/