Topologie von Flächen CCXLVIII

Die Stiefel-Mannigfaltigkeit V2(R3) – benannt nach Eduard Stiefel – ist die Menge aller geordneten Paare orthonormaler Vektoren im 3-dimensionalen Vektorraum R3. (Allgemein ist die Stiefel-Mannigfaltigkeit Vk(Rn) die Menge der geordneten k-Tupel orthonormaler Vektoren im n-dimensionalen Vektorraum Rn.)

Immersionen des Kreises und π1(V1(R2))

Vor 2 Wochen hatten wir gesehen, wie man die regulären Homotopieklassen regulärer Kurven im R2 (aka Immersionen S1–>R2) unterscheiden kann, nämlich durch die Kurve ihrer Tangentialvektoren. Letztere gibt, wenn man so will, eine Abbildung S1–>V1(R2), wenn man in jedem Punkt jeweils den Tangentialvektor auf Länge 1 normiert. Der Satz von Whitney-Graustein besagte dann gerade, dass diese Zuordnung eine Bijektion von der Menge der regulären Homotopieklassen von Immersionen S1–>R2 auf die Gruppe π1(V1(R2))=Z definiert.

Immersionen der Sphäre und π2(V2R3))

Auf ähnliche Weise kann man auch jeder Immersion S2–>R3 eine Abbildung S2–>V2(R3) zuordnen. Grob gesagt wählt man in jedem Punkt der Sphäre zwei orthonormale Basisvektoren der Tangentialebene (im R3) aus. (In Wirklichkeit ist es etwas komplizierter, wie wir letzte Woche erklärt hatten.)

Steven Smale hatte in seiner Dissertation bewiesen, dass man auf diese Weise eine Bijektion von der Menge der regulären Homotopieklassen von Immersionen S2–>R3 auf die Gruppe π2(V2R3)) bekommt.

Man hat das Problem der Unterscheidung der regulären Homotopieklassen von Immersionen S2–>R3 also zurückgeführt auf ein Problem aus der Algebraischen Topologie, nämlich die Berechnung der Homotopiegruppe π2(V2R3)).

Topologie der Stiefel-Mannigfaltigkeit

Um die Homotopiegruppe zu berechnen, muss man zunächst die Topologie der Stiefel-Mannigfaltigkeit verstehen.

Die Stiefel-Mannigfaltigkeit V2(R3) ist offenkundig dasselbe wie die SO(3). Denn zu je zwei orthonormalen Vektoren hat man eindeutig einen dritten Vektor, der mit den beiden anderen zusammen eine positiv orientierte Orthonormal-Basis bildet. Und jede positiv orientierte Orthonormal-Basis entspricht einer eindeutigen Drehung, die sie in die Standard-Basis überführt.

Berechnung der Homotopiegruppe

Man muß also nur noch die zweite Homotopiegruppe der SO(3) berechnen. Das geht recht einfach mit ein wenig Überlagerungstheorie.
Die SO(3) wird zweifach überlagert von der SU(2). Das kann man zum Beispiel mit der adjungierten Abbildung der SU(2) auf ihrer Lie-Algebra sehen, welche ein Skalarprodukt (die negative Killingform) invariant läßt und deshalb in SO(3) konjugiert werden kann. A und -A entsprechen dabei jeweils derselben adjungierten Wirkung. (Genauer in Proposition 3 auf Seite 13 in diesem Skript. Es gibt viele weitere Beweise, zum Beispiel mit Hilfe von Quaternionen.)
Die SU(2) ist aber auf recht offensichtliche Weise dasselbe wie die 3-dimensionale Sphäre: der erste Zeilenvektor der Matrix ist ein Einheitsvektor in C^2, der zweite Zeilenvektor ist durch den ersten festgelegt. (Die SO(3) ist dann der 3-dimensionale projektive Raum, welcher von der 3-dimensionalen Sphäre zweifach überlagert wird.)
In der Überlagerungstheorie kann man mit elementaren Mitteln zeigen, dass die Homotopiegruppen einer Überlagerung mit den Homotopiegruppen der Basis übereinstimmen. (Mit Ausnahme von π0 und π1 natürlich.) Also ist π2SO(3)=π2SU(2)=π2S3.
Letztere Homotopiegruppe hatten wir in dieser Reihe irgendwann schon mal berechnet, sie ist einfach 0. (Das Argument war: jede Abbildung ist homotop zu einer differenzierbaren Abbildung, letztere kann wegen Sard’s Lemma nicht surjektiv sein, lässt sich also auf einen Punkt zusammenziehen: man nehme etwa den antipodalen Punkt eines nicht im Bild liegenden Punktes.)

Konklusion

Wegen π2SO(3)=0 sind alle Abbildungen S2–>SO(3) zueinander homotop. Nach dem Satz von Smale sind dann alle Immersionen S2–>R3 regulär homotop zueinander. Insbesondere gilt das für die Standard-Einbettung der Sphäre und ihre Umstülpung.

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Kommentare

  1. #1 Lars
    1. Dezember 2012

    Thilo, es wäre zu überlegen ob du nicht irgendwie in ScienceBlogs deine Posts mit Tex aufhübschen kannst. Wäre für dich vermutlich einfacher und für die Leserschaft ästhetischer.

  2. #2 Thilo
    1. Dezember 2012

    Im Prinzip können wir seitdem Betreiberwechsel im August LaTeX verwenden und ich hatte das hier auch schon einige Male getan. Es gibt nur momentan Probleme mit unserer Jetpackinstallierung, die sich wohl nicht so einfach lösen lassen, und infolgederer das TeX zwar manchmal noch funktioniert, meistens aber nicht wie in http://scienceblogs.de/mathlog/2012/10/19/topologie-von-flchen-ccxlii/ oder http://scienceblogs.de/mathlog/2012/09/28/topologie-von-flchen-ccxxxix/ , weshalb ich jetzt vorsichtshalber erst mal drauf verzichte. Zumindest in diesem Artikel macht es ja eigentlich auch keinen großen Unterschied.

  3. #3 rolak
    1. Dezember 2012

    (hierlokal) Guten Morgen, Thilo – als Nebenlösung gäbe es ja noch die Einbindung extern aus LaTeX-Quellen generierter Grafiken á la codecogs.

    manchmal noch funktioniert

    Hättest Du auch einen link zu einem aktuell auf SB.de funktionierenden Versuch? Meiner bisherigen Wahrnehmung nach ist das ‘manchmal’ eher temporär als thread-räumlich.

  4. #4 Thilo
    1. Dezember 2012

    Ja, den Eindruck habe ich auch.

  5. [...] zur Sphäre, wo es letzte Woche darum ging, π2V2(R3) zu berechnen, muss man dann also auch für die anderen Flächen Sg mit g>0 [...]

  6. [...] anderen Richtung: sei V(F) die Stiefel-Mannigfaltigkeit (TvF 248) von F, also die Menge der (orthonormalen) Basen der Tangentialebenen. Die Basiswechsel definieren [...]

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  8. [...] Teil 238, Teil 239, Teil 240, Teil 241, Teil 242, Teil 243, Teil 244, Teil 245, Teil 246, Teil 247, Teil 248, Teil 249, Teil 250, Teil 251, Teil 252, Teil 253, Teil 254, Teil [...]

  9. [...] Teil 238, Teil 239, Teil 240, Teil 241, Teil 242, Teil 243, Teil 244, Teil 245, Teil 246, Teil 247, Teil 248, Teil 249, Teil 250, Teil 251, Teil 252, Teil 253, Teil 254, Teil 255, Teil 256, Teil 257, Teil [...]

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