In Korea (und auch in anderen Ländern) ist heute der Tag des Baumes. Bis 2005 war das ein offizieller Feiertag, inzwischen nicht mehr, aber jedenfalls werden heute nachmittag wie jedes Jahr vor unserem Institut neue Bäume gepflanzt.

In der Mathematik kennt man Bäume als Graphen ohne Kreise. Trotz ihrer Einfachheit eine erstaunlich nützliche mathematische Struktur, unter anderem weil man auf Bäumen eine partielle Ordnung hat. image_thumb_5032

Auf Kreisen hat man zwar keine Anordnung, auch keine partielle, aber eine zirkuläre (zyklische) Anordnung. So etwas gibt es offenkundig nur auf 1-dimensionalen Objekten, es würde keinen Sinn machen, auf einer Fläche eine Anordnung definieren zu wollen. (Zum Beispiel kann man leicht beweisen, dass es auf der komplexen Zahlenebene keine mit der Multiplikation verträgliche Anordnung gibt.)
Jedenfalls kann man (darum wird es nächste Woche gehen) die zyklische Anordnung auf dem Kreis benutzen, um eine einfache kombinatorische Formel für die Eulerklasse zu geben. Eigentlich zwar für Kreisbündel, aber Tangentialbündel von Flächen lassen sich auf diese reduzieren.

Curvature2-3N
Bildquelle

Das Tangentialbündel einer Fläche war ja ein 2-dimensionales Vektorraumbündel, seine Strukturgruppe ist die lineare Gruppe GL(2,R). Zu einem Atlas mit Kartenwechseln φiφj-1:
dibujo20100210_manifold_atlas_charts_definition
sind die Kartenwechsel des Tangentialbündels gerade die punktweisen Differentiale D(\phi_i\phi_j^{-1}):U_i\cap U_j\rightarrow GL(2,\mathbb R).

Wenn man auf der Fläche eine Metrik hat, kann man sich den Einheitskreis in jedem Tangentialraum ansehen und bekommt so ein Kreisbündel über der Fläche:
circbuns

Wenn man keine Metrik hat oder benutzen will, kann man das Kreisbündel auch definieren, indem man benutzt, daß der Kreis ja dasselbe ist wie die Menge der Geraden durch den Nullpunkt des \mathbb R^2:
lines_1
In TvF 254 hatten wir beschrieben, dass P^1\mathbb R, die Menge der Geraden durch den Nullpunkt, gerade einem Kreis entspricht.
Lineare Abbildungen bilden natürlich eine Gerade durch den Nullpunkt wieder in eine Gerade durch den Nullpunkt ab. Wir bekommen also eine wohldefinierte Wirkung von GL(2,R) auf dem Kreis P^1\mathbb R.
Man kann diese Wirkung auch in Formeln beschreiben: wenn man P^1\mathbb R mit \mathbb R\cup\left\{\infty\right\} identifiziert (jede Gerade ist eindeutig bestimmt durch ihren Anstieg, die y-Achse entspricht Anstieg \infty), dann wirkt die Matrix (\begin{array}{cc}  a&b\\  c&d\end{array}) auf \mathbb R\cup\left\{\infty\right\} durch die “gebrochen-lineare Transformation”
f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}.

Man kann also statt des Bündels der Vektorräume das entsprechende Bündel der projektiven Räume betrachten, d.h. man nimmt in jeder Faser die Menge der Geraden durch den Nullpunkt. Das liefert statt des Vektorbündels ein Kreisbündel.

Die Euler-Klasse des Kreisbündels entspricht gerade der Euler-Klasse des Vektorbündels. (Beide werden ja mit Hilfe der Euler-Klasse in H^2(BSO(2))\simeq H^2(BGL(2,\mathbb R)) definiert.) Damit liegt es dann nahe, das einfachere Kreisbündel zur Berechnung der Eulerklasse zu nutzen und tatsächlich gibt es für die Euler-Klasse von Kreisbündeln eine überraschend einfache Berechnungsmöglichkeit, die sozusagen die zirkuläre Ordnungsstruktur auf dem Kreis ausnutzt, also rein kombinatorisch ist – dazu nächste Woche.

Die Wirkung von GL(2,R) auf dem Kreis P^1\mathbb R gehört eigentlich in die projektive Geometrie. (Die Wirkung faktorisiert über die projektiv-lineare Gruppe PGL(2,R)=PSL(2,R).) Projektiv-lineare Abbildungen sind dadurch charakterisiert, dass sie das Doppelverhältnis aller 4-Tupel von Punkten erhalten.

Das höherdimensionale Analogon ist die Wirkung von PGL(n+1,R) auf P^n\mathbb R, also z.B. von PGL(3,R) auf der projektiven Ebene, das Thema der klassischen projektiven Geometrie.

Man kann auch projektive Strukturen auf Flächen definieren als einen Atlas (mit Karten in der projektiven Ebene), dessen Kartenübergänge in PGL(3,R) sein sollen. Projektive Strukturen auf Flächen sind ein Forschungsgebiet mit Verbindungen zu zahlreichen Gebieten, hier eine kurze Einführung von Goldman.

Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108, Teil 109, Teil 110, Teil 111, Teil 112, Teil 113, Teil 114, Teil 115, Teil 116, Teil 117, Teil 118, Teil 119, Teil 120, Teil 121, Teil 122, Teil 123, Teil 124, Teil 125, Teil 126, Teil 127, Teil 128, Teil 129, Teil 130, Teil 131, Teil 132, Teil 133, Teil 134, Teil 135, Teil 136, Teil 137, Teil 138, Teil 139, Teil 140, Teil 141, Teil 142, Teil 143, Teil 144, Teil 145, Teil 146, Teil 147, Teil 148, Teil 149, Teil 150, Teil 151, Teil 152, Teil 153, Teil 154, Teil 155, Teil 156, Teil 157, Teil 158, Teil 159, Teil 160, Teil 161, Teil 162, Teil 163, Teil 164, Teil 165, Teil 166, Teil 167, Teil 168, Teil 169, Teil 170, Teil 171, Teil 172, Teil 173, Teil 174, Teil 175, Teil 176, Teil 177, Teil 178, Teil 179, Teil 180, Teil 181, Teil 182, Teil 183, Teil 184, Teil 185, Teil 186, Teil 187, Teil 188, Teil 189, Teil 190, Teil 191, Teil 192, Teil 193, Teil 194, Teil 195, Teil 196, Teil 197, Teil 198, Teil 199, Teil 200, Teil 201, Teil 202, Teil 203, Teil 204, Teil 205, Teil 206, Teil 207, Teil 208, Teil 209, Teil 210, Teil 211, Teil 212, Teil 213, Teil 214, Teil 215, Teil 216, Teil 217, Teil 218, Teil 219, Teil 220, Teil 221, Teil 222, Teil 223, Teil 224, Teil 225, Teil 226, Teil 227, Teil 228, Teil 229, Teil 230, Teil 231, Teil 232, Teil 233, Teil 234, Teil 235, Teil 236, Teil 237, Teil 238, Teil 239, Teil 240, Teil 241, Teil 242, Teil 243, Teil 244, Teil 245, Teil 246, Teil 247, Teil 248, Teil 249, Teil 250, Teil 251, Teil 252, Teil 253, Teil 254, Teil 255, Teil 256, Teil 257, Teil 258, Teil 259, Teil 260, Teil 261, Teil 262, Teil 263, Teil 264, Teil 265

Kommentare (3)

  1. #1 Jay
    Wien
    5. April 2013

    “Auf Kreisen hat man zwar keine Anordnung, auch keine partielle, aber eine zirkuläre (zyklische) Anordnung.”
    Ist das nicht dasselbe, wie “Mein Freund hat zwar keine Haare, aber schwarze Locken”?

  2. #2 Thilo
    5. April 2013

    Naja, unter einer Ordnung versteht man in der Mathematik eigentlich, dass man sagen kann, dass ein Element kleiner ist als ein anderes. (und a>b soll natürlich b>a ausschließen, wenn a,b unterschiedliche Elemente sind) in diesem Sinne ist eine Anordnung auf einem Kreis keine Ordnung http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_order

  3. […] Teil 256, Teil 257, Teil 258, Teil 259, Teil 260, Teil 261, Teil 262, Teil 263, Teil 264, Teil 265, Teil 266, Teil 267, Teil 268, Teil […]