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Als Eklektizismus “bezeichnet man Methoden, die sich verschiedener entwickelter und abgeschlossener Systeme (z. B. Stile, Philosophien) bedienen und deren Elemente neu zusammensetzen”. In der Kunst spricht man wohl eher von “Postmoderne”. David Mumford hatte in seiner Eröffnungsrede zum ICM 1998 in Berlin die heutige Mathematik (speziell Wiles’ Beweis des Fermat-Theorems) mit der Postmoderne in der Kunst verglichen:

” […] the solution of Fermat’s 300-year-old problem, is the quintessential post-modern theorem. The basic qualities of what is known as post-modern art and architecture are their conscious combination of idioms from every era in the past. And, indeed, Wiles’ proof combines ideas from almost every branch of classical mathematics – number theory proper, algebraic geometry, Lie group theory and analysis; and its roots go back to Kronecker’s famous vision, his `Jugendtraum’, in the 19th century.”

Ähnliches kann man sicher auch über den geometrischen (vor allem hyperbolischen) Zugang zur Topologie der Flächen und 3-Mannigfaltigkeiten sagen: er erlaubt es, Ideen (Philosophien, Stile) aus fast jedem Teil der Mathematik in mit der Topologie in Beziehung zu bringen.

Wir hatten diese Reihe ja mal begonnen, um die von Perelman bewiesene (3-dimensionale) Geometrisierungsvermutung am einfacheren Beispiel der (2-dimensionalen) Flächen zu diskutieren. Für diese hat man die seit mehr als 100 Jahren bekannte Klassifikation
– geschlossene, orientierbare Flächen werden eindeutig durch die Anzahl ihrer Henkel klassifiziert; zu jeder ganzen Zahl g\ge0 gibt es eine geschlossene, orientierbare Fläche mit g Henkeln.
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Den schwierigeren Teil des Beweises der Flächen-Klassifikation – dass es nur diese Flächen gibt, beweist man mit Triangulierungen, eleganter mit Morsetheorie oder wenn das zu einfach ist auch mit Riemann-Roch, den einfacheren Teil – dass die Flächen alle nicht homöomorph zueinander sind, mit geeigneten Invarianten, etwa Fundamentalgruppe (TvF 31) oder Euler-Charakteristik (TvF 6) oder hyperbolischem Volumen (TvF 70), wobei im Fall von Flächen letzteres bis auf einen Faktor -2\pi dasselbe ist wie die Euler-Charakteristik.

In Dimension 3 hat man zwar mit dem Beweis der Poincaré-Vermutung die Klassifikation der einfach zusammenhängenden 3-Mannigfaltigkeiten, die allgemeine Klassifikation ist aber mit Geometrisierung erstmal nur auf ein anderes Problem zurückgeführt, nämlich die Klassifikation der hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten. Für dieses hat man immerhin berechenbare Invarianten, etwa das hyperbolische Volumen (anstelle der in Dimension 3 stets trivialen Euler-Charakteristik) oder die Fundamentalgruppe, für die im hyperbolischen Fall das Isomorphismusproblem algorithmisch lösbar ist.

Die eigentliche Anwendung der Hyperbolisierung war sicherlich, daß man hyperbolische Geometrie und damit auch viele andere Themen der klassischen Mathematik für die Topologie nutzbar machen kann.

Zusammenfassungen der in dieser Reihe behandelten Anwendungen hyperbolischer Geometrie gab es in TvF 89 und TvF 158, einige der wichtigsten sind vielleicht beim mathematischen Verständnis des Chaos (geodätische Flüsse auf hyperbolischen Flächen sind das einfachste Beispiel von Anosov-Flüssen), in der Zahlentheorie (Modulformen), in der Gruppentheorie, wo Dehns Arbeiten über Fundamentalgruppen hyperbolischer Flächen das Vorbild für Gromovs Theorie der hyperbolischen Gruppen lieferten, und natürlich Thurstons Arbeit zur Klassifikation der Diffeomorphismen von Flächen als Beispiel dafür, wie man die Geometrie der hyperbolischen Metriken (und den entsprechenden Modulraum) benutzen kann, um ein rein topologisches Problem (die Klassifikation der Selbstabbildungen von Flächen bis auf Homotopie) zu verstehen.

Auch die in den letzten Wochen besprochene Euler-Klasse (von Bündeln) ist sicher noch mal ein Beispiel dafür, wie sich dasselbe mathematische Objekt unter vielen Blickwickeln betrachten läßt.

Schon für die Euler-Charakteristik hatte es ja viele verschiedene Interpretationsmöglichkeiten gegeben.
Für eine triangulierte Fläche konnte man sie definieren als E-K+F, mit E,K,F die Anzahlen der Ecken, Kanten, Flächen.
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Für eine hyperbolische Fläche konnte man sie berechnen als -\frac{1}{2\pi}Area, wobei Area den Flächeninhalt bezeichnet.
Oder allgemeiner für eine Fläche mit einer beliebigen Riemannschen Metrik konnte man sie berechnen als \frac{1}{2\pi}\int K, wobei K die Gausssche Krümmung bezeichnet. (Beide Formeln folgen aus dem Satz von Gauss-Bonnet.)

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Oder man nahm ein Vektorfeld auf der Fläche und berechnete die Summe der Indizes seiner Nullstellen – nach dem Satz von Hopf-Poincaré gab das die Euler-Charakteristik.
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Und es gab den Satz von Hopf über die Dimensionen der Homologiegruppen:
\chi(F)=\sum_{i=0}^2 (-1)^i dim H_i(F).
Und schliesslich kann man natürlich noch sagen, dass die Euler-Charakteristik einer geschlossenen, orientierbaren Fläche mit g Henkeln eben 2-2g ist.

Ähnlich hatten wir in den letzten Wochen zahlreiche unterschiedliche Zugänge zur allgemeineren Euler-Klasse von Bündeln über Flächen. (Die die Euler-Charakteristik verallgemeinert, denn letztere bekommt man mittels der Euler-Klasse des Tangentialbündels.)

Die bekommt man per Definition natürlich durch Zurückziehen einer Klasse mittels klassifizierender Abbildung des Bündels (TvF 257). Dann expliziter, indem man die Krümmungsform des Bündels in ein bestimmtes Polynom, die Pfaffsche Determinante einsetzt (TvF 261). Im Falle des Tangentialbündels gibt das gerade die rechte Seite des Gauß-Bonnet-Theorems, wie wir in TvF 263 gesehen hatten. Und dann kann man in Analogie zum Igelsatz die Nullstellen eines Schnittes über Simplizes zählen (TvF 264 und TvF 268) und im Falle flacher Bündel hat man verschiedene Definitionen innerhalb der Gruppenhomologie (TvF 265 und TvF 267) und die in der algebraischen Topologie eigentlich gebräuchliche Konstruktion mittels Thom-Raum und Thom-Klasse hatten wir noch nicht mal erwähnt.

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