Topologie von Flächen CCLXIX

Als Eklektizismus “bezeichnet man Methoden, die sich verschiedener entwickelter und abgeschlossener Systeme (z. B. Stile, Philosophien) bedienen und deren Elemente neu zusammensetzen”. In der Kunst spricht man wohl eher von “Postmoderne”. David Mumford hatte in seiner Eröffnungsrede zum ICM 1998 in Berlin die heutige Mathematik (speziell Wiles’ Beweis des Fermat-Theorems) mit der Postmoderne in der Kunst verglichen:

” [...] the solution of Fermat’s 300-year-old problem, is the quintessential post-modern theorem. The basic qualities of what is known as post-modern art and architecture are their conscious combination of idioms from every era in the past. And, indeed, Wiles’ proof combines ideas from almost every branch of classical mathematics – number theory proper, algebraic geometry, Lie group theory and analysis; and its roots go back to Kronecker’s famous vision, his `Jugendtraum’, in the 19th century.”

Ähnliches kann man sicher auch über den geometrischen (vor allem hyperbolischen) Zugang zur Topologie der Flächen und 3-Mannigfaltigkeiten sagen: er erlaubt es, Ideen (Philosophien, Stile) aus fast jedem Teil der Mathematik in mit der Topologie in Beziehung zu bringen.

Wir hatten diese Reihe ja mal begonnen, um die von Perelman bewiesene (3-dimensionale) Geometrisierungsvermutung am einfacheren Beispiel der (2-dimensionalen) Flächen zu diskutieren. Für diese hat man die seit mehr als 100 Jahren bekannte Klassifikation
- geschlossene, orientierbare Flächen werden eindeutig durch die Anzahl ihrer Henkel klassifiziert; zu jeder ganzen Zahl g\ge0 gibt es eine geschlossene, orientierbare Fläche mit g Henkeln.
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Den schwierigeren Teil des Beweises der Flächen-Klassifikation – dass es nur diese Flächen gibt, beweist man mit Triangulierungen, eleganter mit Morsetheorie oder wenn das zu einfach ist auch mit Riemann-Roch, den einfacheren Teil – dass die Flächen alle nicht homöomorph zueinander sind, mit geeigneten Invarianten, etwa Fundamentalgruppe (TvF 31) oder Euler-Charakteristik (TvF 6) oder hyperbolischem Volumen (TvF 70), wobei im Fall von Flächen letzteres bis auf einen Faktor -2\pi dasselbe ist wie die Euler-Charakteristik.

In Dimension 3 hat man zwar mit dem Beweis der Poincaré-Vermutung die Klassifikation der einfach zusammenhängenden 3-Mannigfaltigkeiten, die allgemeine Klassifikation ist aber mit Geometrisierung erstmal nur auf ein anderes Problem zurückgeführt, nämlich die Klassifikation der hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten. Für dieses hat man immerhin berechenbare Invarianten, etwa das hyperbolische Volumen (anstelle der in Dimension 3 stets trivialen Euler-Charakteristik) oder die Fundamentalgruppe, für die im hyperbolischen Fall das Isomorphismusproblem algorithmisch lösbar ist.

Die eigentliche Anwendung der Hyperbolisierung war sicherlich, daß man hyperbolische Geometrie und damit auch viele andere Themen der klassischen Mathematik für die Topologie nutzbar machen kann.

Zusammenfassungen der in dieser Reihe behandelten Anwendungen hyperbolischer Geometrie gab es in TvF 89 und TvF 158, einige der wichtigsten sind vielleicht beim mathematischen Verständnis des Chaos (geodätische Flüsse auf hyperbolischen Flächen sind das einfachste Beispiel von Anosov-Flüssen), in der Zahlentheorie (Modulformen), in der Gruppentheorie, wo Dehns Arbeiten über Fundamentalgruppen hyperbolischer Flächen das Vorbild für Gromovs Theorie der hyperbolischen Gruppen lieferten, und natürlich Thurstons Arbeit zur Klassifikation der Diffeomorphismen von Flächen als Beispiel dafür, wie man die Geometrie der hyperbolischen Metriken (und den entsprechenden Modulraum) benutzen kann, um ein rein topologisches Problem (die Klassifikation der Selbstabbildungen von Flächen bis auf Homotopie) zu verstehen.

Auch die in den letzten Wochen besprochene Euler-Klasse (von Bündeln) ist sicher noch mal ein Beispiel dafür, wie sich dasselbe mathematische Objekt unter vielen Blickwickeln betrachten läßt.

Schon für die Euler-Charakteristik hatte es ja viele verschiedene Interpretationsmöglichkeiten gegeben.
Für eine triangulierte Fläche konnte man sie definieren als E-K+F, mit E,K,F die Anzahlen der Ecken, Kanten, Flächen.
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Für eine hyperbolische Fläche konnte man sie berechnen als -\frac{1}{2\pi}Area, wobei Area den Flächeninhalt bezeichnet.
Oder allgemeiner für eine Fläche mit einer beliebigen Riemannschen Metrik konnte man sie berechnen als \frac{1}{2\pi}\int K, wobei K die Gausssche Krümmung bezeichnet. (Beide Formeln folgen aus dem Satz von Gauss-Bonnet.)

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Oder man nahm ein Vektorfeld auf der Fläche und berechnete die Summe der Indizes seiner Nullstellen – nach dem Satz von Hopf-Poincaré gab das die Euler-Charakteristik.
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Und es gab den Satz von Hopf über die Dimensionen der Homologiegruppen:
\chi(F)=\sum_{i=0}^2 (-1)^i dim H_i(F).
Und schliesslich kann man natürlich noch sagen, dass die Euler-Charakteristik einer geschlossenen, orientierbaren Fläche mit g Henkeln eben 2-2g ist.

Ähnlich hatten wir in den letzten Wochen zahlreiche unterschiedliche Zugänge zur allgemeineren Euler-Klasse von Bündeln über Flächen. (Die die Euler-Charakteristik verallgemeinert, denn letztere bekommt man mittels der Euler-Klasse des Tangentialbündels.)

Die bekommt man per Definition natürlich durch Zurückziehen einer Klasse mittels klassifizierender Abbildung des Bündels (TvF 257). Dann expliziter, indem man die Krümmungsform des Bündels in ein bestimmtes Polynom, die Pfaffsche Determinante einsetzt (TvF 261). Im Falle des Tangentialbündels gibt das gerade die rechte Seite des Gauß-Bonnet-Theorems, wie wir in TvF 263 gesehen hatten. Und dann kann man in Analogie zum Igelsatz die Nullstellen eines Schnittes über Simplizes zählen (TvF 264 und TvF 268) und im Falle flacher Bündel hat man verschiedene Definitionen innerhalb der Gruppenhomologie (TvF 265 und TvF 267) und die in der algebraischen Topologie eigentlich gebräuchliche Konstruktion mittels Thom-Raum und Thom-Klasse hatten wir noch nicht mal erwähnt.

Jedenfalls waren die verschiedenen Interpretationen von Euler-Charakteristik und Euler-Klasse sicher noch mal ein prägnantes Beispiel, wie man das selbe Objekt aus verschiedenen Blickwinkeln betrachten und diese verschiedenen Blickwinkel dann natürlich auch für mathematische Beweise, Formeln, Abschätzungen … nutzbar machen kann. Und sie zeigten noch einmal den Nutzen der Geometrisierung von Flächen, um deren Nützlichkeit es in dieser Reihe ja gehen sollte und insofern waren diese verschiedenen Interpretationen der Euler-Klasse sicher ein passender Abschluß für eine Reihe über Anwendungen der Geometrisierung in der Topologie von Flächen.

Was in dieser Reihe noch fehlt, weil es für den Schluß aufgehoben werden sollte, sind ein paar Worte zum eigentlichen Beweis der Geometrisierungsvermutung, die natürlich auch ein 2-dimensionales Analog hat. Das dann noch (in gebotener Kürze) zum Abschluß in der kommenden Woche.

Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4, Teil 5, Teil 6, Teil 7 , Teil 8, Teil 9 , Teil 10 ,Teil 11, Teil 12, Teil 13, Teil 14, Teil 15, Teil 16, Teil 17, Teil 18, Teil 19, Teil 20, Teil 21, Teil 22, Teil 23, Teil 24, Teil 25, Teil 26, Teil 27, Teil 28, Teil 29, Teil 30, Teil 31, Teil 32, Teil 33, Teil 34, Teil 35, Teil 36, Teil 37, Teil 38, Teil 39, Teil 40, Teil 41, Teil 42, Teil 43, Teil 44, Teil 45, Teil 46, Teil 47, Teil 48, Teil 49, Teil 50, Teil 51, Teil 52, Teil 53, Teil 54, Teil 55, Teil 56, Teil 57, Teil 58, Teil 59, Teil 60, Teil 61, Teil 62, Teil 63, Teil 64, Teil 65, Teil 66, Teil 67, Teil 68, Teil 69, Teil 70, Teil 71, Teil 72, Teil 73, Teil 74, Teil 75, Teil 76, Teil 77, Teil 78, Teil 79, Teil 80, Teil 81, Teil 82, Teil 83, Teil 84, Teil 85, Teil 86, Teil 87, Teil 88, Teil 89, Teil 90, Teil 91, Teil 92, Teil 93, Teil 94, Teil 95, Teil 96, Teil 97, Teil 98, Teil 99, Teil 100, Teil 101, Teil 102, Teil 103, Teil 104, Teil 105, Teil 106, Teil 107, Teil 108, Teil 109, Teil 110, Teil 111, Teil 112, Teil 113, Teil 114, Teil 115, Teil 116, Teil 117, Teil 118, Teil 119, Teil 120, Teil 121, Teil 122, Teil 123, Teil 124, Teil 125, Teil 126, Teil 127, Teil 128, Teil 129, Teil 130, Teil 131, Teil 132, Teil 133, Teil 134, Teil 135, Teil 136, Teil 137, Teil 138, Teil 139, Teil 140, Teil 141, Teil 142, Teil 143, Teil 144, Teil 145, Teil 146, Teil 147, Teil 148, Teil 149, Teil 150, Teil 151, Teil 152, Teil 153, Teil 154, Teil 155, Teil 156, Teil 157, Teil 158, Teil 159, Teil 160, Teil 161, Teil 162, Teil 163, Teil 164, Teil 165, Teil 166, Teil 167, Teil 168, Teil 169, Teil 170, Teil 171, Teil 172, Teil 173, Teil 174, Teil 175, Teil 176, Teil 177, Teil 178, Teil 179, Teil 180, Teil 181, Teil 182, Teil 183, Teil 184, Teil 185, Teil 186, Teil 187, Teil 188, Teil 189, Teil 190, Teil 191, Teil 192, Teil 193, Teil 194, Teil 195, Teil 196, Teil 197, Teil 198, Teil 199, Teil 200, Teil 201, Teil 202, Teil 203, Teil 204, Teil 205, Teil 206, Teil 207, Teil 208, Teil 209, Teil 210, Teil 211, Teil 212, Teil 213, Teil 214, Teil 215, Teil 216, Teil 217, Teil 218, Teil 219, Teil 220, Teil 221, Teil 222, Teil 223, Teil 224, Teil 225, Teil 226, Teil 227, Teil 228, Teil 229, Teil 230, Teil 231, Teil 232, Teil 233, Teil 234, Teil 235, Teil 236, Teil 237, Teil 238, Teil 239, Teil 240, Teil 241, Teil 242, Teil 243, Teil 244, Teil 245, Teil 246, Teil 247, Teil 248, Teil 249, Teil 250, Teil 251, Teil 252, Teil 253, Teil 254, Teil 255, Teil 256, Teil 257, Teil 258, Teil 259, Teil 260, Teil 261, Teil 262, Teil 263, Teil 264, Teil 265, Teil 266, Teil 267, Teil 268