original

Ein Leser hat mich per Mail auf diesen Artikel zum vorletzten Video der Numberphile-Reihe
hingewiesen, in dem die angeblich in der Stringtheorie verwendete (?) Identität \sum_{i=1}^\infty i =-\frac{1}{12} “bewiesen” wird.

Wer schon mal eine Erstsemestervorlesung zur Mathematik gehört (oder solche Definitionen noch im Abitur gelernt hat) wird natürlich den Fehler im Beweis sofort erkennen: es ist das Herumrechnen mit divergenten Reihen, mit dem man, wenn man sich (un)geschickt anstellt, praktisch jeden Unsinn beweisen kann – was im Video leider zu erklären versäumt wurde. Zum Beispiel kann man eine konvergente, aber nicht absolut konvergente, Reihe wie \sum_{i=1}^\infty (-1)^i\frac{1}{i} durch passende Umordnung der Summanden jeden reellen Wert annehmen lassen.

Nun haben in der Geschichte Mathematiker durchaus solche Rechnungen benutzt, um damit völlig richtige Ergebnisse zu erhalten, Leonhard Euler etwa galt als Meister im Rechnen mit divergenten Reihen, der offenbar immer genau wußte, welche Rechnungen zu korrekten Ergebnissen führen und welche nicht. Anfang des 19. Jahrhunderts begann man solche Beweise in Zweifel zu ziehen, exemplifiziert am Zitat von Niels Henrik Abel

The divergent series are the invention of the devil, and it is a shame to base on them any demonstration whatsoever. By using them, one may draw any conclusion he pleases and that is why these series have produced so many fallacies and so many paradoxes …

In den 1820er Jahren wurde dann das Rechnen mit unendlichen Reihen auf eine klar definierte mathematische Grundlage gestellt, wie man sie heute im Analysis-Grundkurs lernt, und die Mathematiker verlernten das Rechnen mit divergenten Reihen. (Ausnahme: Ramanujan.)

Wie gesagt kann man durch geschicktes Umordnen divergenter Reihen praktisch jede mathematische Identität beweisen. Warum die “Identität” \sum_{i=1}^\infty i =-\frac{1}{12} trotzdem eine besondere Rolle spielt, das hat eine andere Ursache: die Riemannsche Zeta-Funktion.

Riemannsche Zeta-Funktion

Wenn s eine komplexe Zahl mit Realteil Re(s)>1 ist, dann konvergiert die unendliche Reihe
\zeta(s):=\sum_{n=1}^\infty  \frac{1}{n^s},
zum Beispiel ist \zeta(2)=\frac{\pi^2}{6} (siehe Mathematische Hausnummer).
Man kann zeigen, dass die Funktion komplex differenzierbar ist (im Bereich Re(s)>1).

Nun ist es ein allgemeines Prinzip, dass man eine auf einer offenen Teilmenge der Ebene definierte komplex-differenzierbare Funktion (unter gewissen Voraussetzungen) analytisch fortsetzen kann, so dass man eine auf der ganzen Ebene (mit Ausnahme einzelner isolierter Singularitäten) definierte komplex-differenzierbare Funktion erhält. Im Fall von \zeta(s) definiert diese analytische Fortsetzung die sogenannte Riemannsche Zeta-Funktion, für die sich Riemann seinerzeit wegen ihrer Anwendungen auf die Primzahlverteilung interessiert hatte (siehe 150 Jahre Riemann-Vermutung).

i1920_0

Wie die Reliefkarte (aus der Sammlung des Göttinger Mathematischen Instituts) zeigt, hat die Zeta-Funktion eine einzige Singularität in s=1, Nullstellen in -2,-4,-6,… und wahrscheinlich liegen alle weiteren Nullstellen auf der Geraden \frac{1}{2}+i{\mathbb R}. (Letzteres ist die berühmte Riemann-Vermutung, eines der Millenium-Probleme, auf deren Lösung das Clay-Institut 1 Million Dollar ausgesetzt hat.)

1+2+3+4+5+… = -1/12

Den Wert der Riemannschen Zeta-Funktion für s=-1 kann man ausrechnen. Es gibt nämlich eine Funktionalgleichung
\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s)
(wobei Γ die Gamma-Funktion ist).
Wenn man s= -1 einsetzt, erhält man
\zeta(-1)=-\frac{1}{2\pi^2}\Gamma(2)\zeta(2).
Wegen \zeta(2)=\frac{\pi^2}{6} (Basler Problem) und \Gamma(n)=(n-1)!, also \Gamma(2)=1, folgt daraus

\zeta(-1)=-\frac{1}{12}

Nun war ja die Riemannsche Zeta-Funktion eigentlich (für Re(s)>1) mal definiert als

\zeta(s)=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{5^s}+\ldots

und wenn man da formal s=-1 einsetzt, bekommt man

-\frac{1}{12}=\zeta(-1)=1+2+3+4+5+\ldots.

Der Punkt ist natürlich, dass ζ(s) eben nur für Re(s)>1 auf diese Weise definiert war, für andere Werte von s divergiert die Reihe und der Wert der analytischen Fortsetzung hat nichts mit dem (nicht existenten) Wert der unendlichen Reihe zu tun.

Mit Dank an Roland K. für den Hinweis auf das Video

Kommentare (63)

  1. #1 MisterX
    26. Januar 2014

    Hier der eine Link(hab ich schon oben gepostet, aber egal, ging eh unter):

    http://motls.blogspot.de/2014/01/sum-of-integers-and-oversold-common.html?m=1

  2. #2 MisterX
    26. Januar 2014

    Ach keine Ahnung, @Wappler: Guck dir einfach die beiden Links die ich ganz oben gepostet hab, bei dem Link “Why is the sum of integers equal to -1/12 ” beschreibt Lubos die Methode die Lenny im Video gezeigt hat. Und die hat nix mit der Zeta Funktion zu tun(schreibt er jedenfalls).

  3. #3 Frank Wappler
    http://einmal.mit.Profis.arbeiten...
    26. Januar 2014

    MisterX schrieb (#46, 26. Januar 2014):
    > Du hast gehört was er in dem Video gesagt hat? Das[s] dieser Term in besser definierten Stringtheorien, also in denen durch konforme Invarianz gezeigt wird[,] das[s] die bosonische Stringtheorien 24 Dimensionen brauchen[,] überhaupt nicht vorkommt und der Term einfach nur eine “unendliche Konstante” ist und durch einen unendlichen Term in der gleichung für die Energie ausgeglichen wird, (darauf hin erzählt er doch auch den Pauli[-]und[-]Dirac[-]Witz).

    Du hast also bemerkt, dass er [Leonard Susskind, a.k.a. Lenny] im besagten Video bei 1:32:12 an der Tafel etwas ändert? Im Gegensatz zu misterx (#41, 26. Januar 2014)? Alle Achtung!

    > Was soll “reg” [ in . http://arxiv.org/pdf/1207.3052.pdf, Gleichung (34) ] überhaupt heissen?

    Ich vermute: “regularized”.
    Das gesamte Symbol
    \, \stackrel{\text{reg}}{=} \,
    würde ich entsprechend
    “equivalent by regularization”
    aussprechen.

    Und das unterscheidet sich von “equal” (” = “) grob gesagt dadurch, dass im Rahmen der Rechnung Umformungen vorgenommen werden können, wie sie bei 1:32:12 zu sehen sind.

    (Übrigens werden auf der angegebenen Wikipedia-Seite auch Pauli und Dirac erwähnt. Man sollte sich im Zusammenhang damit den o.g. “Pauli-und-Dirac-Witz” vielleicht nochmal genauer anhören …)

    > Hier ist die Methode von Lenny noch mal von Lubos

    … sicherlich: Luboš (Luboš Motl) …

    > erklärt in Schriftform, und wie er sagt hat das nix mit der Zeta Funktion zu tun.
    > http://motls.blogspot.de/2011/07/why-is-sum-of-integers-equal-to-112.html?m=1

    Genau!, Danke — ich wusste doch, dass ich erst neulich über die “Exponential regulator method” gelesen hatte, und mir leider den genauen Begriff nicht gemerkt hatte, und/oder wo ich davon gelesen hatte; und gestern (bis #46, 26. Januar 2014) u.a. auf Wikipedia nicht mehr fündig wurde.

    Man sollte Luboš eigentlich zutrauen, dass er sowohl die gedankliche Beweglichkeit als auch das technisch-schriftsetzerische Vermögen besäße, um

    \, \stackrel{\text{reg}}{=} \,

    dort hin zu schreiben, wo es hingehört.
    (Lenny kann man sowas wohl nicht guten Gewissens vorwerfen. Aber bei Luboš, und ebenso bei Thilo, vermutet man eben einen absichtlichen Gag.)

  4. #4 Frank Wappler
    http://einmal.mit.Profis.arbeiten...
    26. Januar 2014

    [ p.s. — So wie von MisterX oben bemerkt, wird auch der Kommentar, den ich gerade eingereicht habe, nicht angezeigt; und auch keinerei Bemerkung, dass er möglicherweise erst später, nach erfolgter Moderation, angezeigt würde. Auch wenn ich das hier bisher kaum erlebt habe: Das ist ein Problem! Deshalb reiche ich meinen Kommentar hiermit ein weiteres Mal ansonsten unverändert ein. – FW ]

    MisterX schrieb (#46, 26. Januar 2014):
    > Du hast gehört was er in dem Video gesagt hat? Das[s] dieser Term in besser definierten Stringtheorien, also in denen durch konforme Invarianz gezeigt wird[,] das[s] die bosonische Stringtheorien 24 Dimensionen brauchen[,] überhaupt nicht vorkommt und der Term einfach nur eine “unendliche Konstante” ist und durch einen unendlichen Term in der gleichung für die Energie ausgeglichen wird, (darauf hin erzählt er doch auch den Pauli[-]und[-]Dirac[-]Witz).

    Du hast also bemerkt, dass er [Leonard Susskind, a.k.a. Lenny] im besagten Video bei 1:32:12 an der Tafel etwas ändert? Im Gegensatz zu misterx (#41, 26. Januar 2014)? Alle Achtung!

    > Was soll “reg” [ in . http://arxiv.org/pdf/1207.3052.pdf, Gleichung (34) ] überhaupt heissen?

    Ich vermute: “regularized”.
    Das gesamte Symbol
    \, \stackrel{\text{reg}}{=} \,
    würde ich entsprechend
    “equivalent by regularization”
    aussprechen.

    Und das unterscheidet sich von “equal” (” = “) grob gesagt dadurch, dass im Rahmen der Rechnung Umformungen vorgenommen werden können, wie sie bei 1:32:12 zu sehen sind.

    (Übrigens werden auf der angegebenen Wikipedia-Seite auch Pauli und Dirac erwähnt. Man sollte sich im Zusammenhang damit den o.g. “Pauli-und-Dirac-Witz” vielleicht nochmal genauer anhören …)

    > Hier ist die Methode von Lenny noch mal von Lubos

    … sicherlich: Luboš (Luboš Motl) …

    > erklärt in Schriftform, und wie er sagt hat das nix mit der Zeta Funktion zu tun.
    > http://motls.blogspot.de/2011/07/why-is-sum-of-integers-equal-to-112.html?m=1

    Genau!, Danke — ich wusste doch, dass ich erst neulich über die “Exponential regulator method” gelesen hatte, und mir leider den genauen Begriff nicht gemerkt hatte, und/oder wo ich davon gelesen hatte; und gestern (bis #46, 26. Januar 2014) u.a. auf Wikipedia nicht mehr fündig wurde.

    Man sollte Luboš eigentlich zutrauen, dass er sowohl die gedankliche Beweglichkeit als auch das technisch-schriftsetzerische Vermögen besäße, um

    \, \stackrel{\text{reg}}{=} \,

    dort hin zu schreiben, wo es hingehört.
    (Lenny kann man sowas wohl nicht guten Gewissens vorwerfen. Aber bei Luboš, und ebenso bei Thilo, vermutet man eben einen absichtlichen Gag.)

  5. #5 MisterX
    27. Januar 2014

    Ja genau, alles bestimmt ein Gag, überhaupt nicht ernst gemeint. Ich glaub hier kann man die Diskussion beenden, das wird sonst so eine Diskussion wie mit Kreationisten. Was nicht sein darf, darf nicht sein.

  6. #6 MisterX
    27. Januar 2014

    Die Richtige Antwort ist, die Summe der natürlichen Zahlen ist einfach -1/12

  7. #7 Frank Wappler
    http://www.aip.org/history/ohilist/4944.html#Was_doch_solch_ein_Eifer
    27. Januar 2014

    MisterX schrieb (#56, 27. Januar 2014):
    > die Summe der natürlichen Zahlen ist einfach -1/12

    Dem lässt sich hier wohl am deutlichsten anhand des Schlusssatzes des obigen ScienceBlog-Artikels widersprechen:

    Thilo schrieb (Januar 19, 2014):

    Der Punkt ist natürlich, dass ζ(s) eben nur für Re(s)>1 auf diese Weise definiert war, für andere Werte von s divergiert die Reihe und der Wert der analytischen Fortsetzung hat nichts mit dem (nicht existenten) Wert der unendlichen Reihe zu tun.

  8. #8 Frank Wappler
    http://skinning.another.cat
    28. Januar 2014

    Ergänzung:
    Um nochmals (vgl. #39, 25. Januar 2014) darauf zurückzukommen, dass
    TSK schrieb (#42, 22. Januar 2014):
    > Es ist also keineswegs eindeutig, dass das Symbol “+” im Video

    … bzw. in der beanstandeten Formel “1+2+3+4+5+6+… = -1/12” …

    > die natürliche Summe darstellt.

    Während es sicherlich indiskutabel ist, dass das Symbol “+”, das in der fraglichen Formel (mehrfach) jeweils zwischen zwei natürlichen Zahlen steht, in diesem Zusammenhang irgendetwas anderes bedeuten würde als schlicht die für natürliche und ganz analog für komplexe Zahlen definierte Summe von jeweils zwei Summanden,
    wobei sich

    “a+b+c usw.” natürlich als
    “(a+b)+c usw.” versteht,

    und es natürlich ganz ausgeschlossen ist, dass “der rechte Term der Formel”, also
    “-1/12”
    irgendetwas anderes bedeuten würde, als die entsprechende negative rationale Zahl,

    ist es natürlich stattdessen denkbar, dass (in bestimmten Zusammenhängen und/oder Notationsversuchen) “der linke Term der Formel”, also der gesamte Ausdruck
    “1+2+3+4+5+6+…”
    gar nicht den (nicht existenten) Wert der schlichten unendlichen Reihe bedeuten soll,
    also gar nicht schlicht
    $\latex \sum\limits_{n = 1}^{\infty}$,

    sondern “etwas” anderes, dessen Wert tatsächlich existiert und (im einfachen, üblichen, strikten Sinne) gleich der Zahl -1/12 ist.

    Die Notation für ein solches “Etwas” wäre dann selbstverständlich richtiger Weise anders als “1+2+3+4+5+6+…” bzw.
    anders als $\latex \sum\limits_{n = 1}^{\infty} n$, bzw.
    anders als $\latex \displaystyle \sum\limits_{\mathbb N}$,

    sondern stattdessen z.B. ( entsprechend http://physics.stackexchange.com/a/66486 ) als

    $\latex \displaystyle \sum\limits_{\mathbb{N}, \, Regularized}$,

    oder durch Notation entsprechend http://math.stackexchange.com/questions/251972/meaning-of-equality-in-zeta-regularization?rq=1#comment554525_251991
    je nachdem ob und welche Summations-Methode zutrifft.

  9. #9 Swanhild Bernstein
    31. Januar 2014

    Also als Zusammenfassung,
    1+2+… ist nicht -1/12,
    trotzdem gibt es verschiedene Erklärungen wie man, auch mathematisch auf diesen Wert kommt.
    Die erste Methode ist die Zeta-Funktion, wie hier schon beschrieben. Die zweite Methode ist die Summation nach Ramanujan. Auch hier besteht die Idee darin, einer im üblichen Sinne divergenten Reihe einen Wert zu zuordnen, so wie man es auch mit der Cesaro- oder Abel-Summation tut.
    Beide Methoden sind mathematisch exakt.
    Bei Numberphile wurde dagegen mit divergenten Reihen “klassisch” gerechnet, das geht so nicht. Insbesondere die Zuordnung 1-1+1-1+… = 1/2 entspricht der Cesaro-Summation und damit auch der Abel-Summation, aber eben nicht der Definition einer konvergenten Reihe.

  10. #10 Thilo
    15. Februar 2014

    Jetzt gibt es noch ein zweites Video, dreimal so lang wie das erste, in dem alles aufgeklart wird:

  11. […] es darum, weshalb die paradoxe Gleichung Sinn macht – darüber hatten wir im Januar mal was geschrieben. (Übrigens der meistgelesene Mathlog-Artikel bisher in diesem Jahr.) Ein anderes Beispiel […]

  12. #12 Troost
    Lüdenscheid
    12. Mai 2015

    Also, man sollte für einen korrekten mathematischen Beweis auf eine solche Summenbildung auch nur mathematische Operationen anwenden, die erlaubt sind. Ansonsten kann ich auch beweisen, dass 1 = 2 ist, nämich, indem ich zu Recht behaupte:
    1 x 0 = 2 x 0 und dann beide Seiten durch 0 teile:
    q.e.d:
    1 = 2
    Nene, das ist eben nicht erlaubt. Darum ist dieser “Beweis” verkehrt.
    Was weiß ich über die Summe der natürlichen (ganzen, positiven) Zahlen?

    Nun, ersten kenne ich die Formel des Ergebnisses:
    S(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + …. + n = n*(n+1)/2

    Zweitens kenne ich die Differenz zwischen zwei verschieden langen Summenreihen:

    S(n) – S(n+1) = n

    So, das kenne ich. Nun gehe ich wie folgt vor, um herauszufinden, wohin diese Summe bei Summation ins Unendliche sich hinbewegen wird:

    S(n) – S(n-1) = n
    lim (n -> ∞) [S(n)-S(n-1)] = lim(n -> ∞)[n] = ∞

    d.h. die Differenz der Summe (aller Glieder) – der Summe (ausgenommen des letzten Gliedes) strebt mit Anzahl der Summenglieder gegen ∞. Somit ist die Summe von unendlich vielen Summanden immer größer als die Summe von weniger als unendlich vielen Summanden, und damit ist diese Summe natürlich auch größer als die Summe aus nur einem Summanden, nämlich 1. (mathematisch: S(n) > S(m) für jedes m<n) Nun ist aber -1/12 definitiv < 1. Somit widerspricht das Ergebnis dem Postulat, dass die Summe mit der Anzahl der Summenglieder stetig ansteigend ist.
    Alle anderen Rechentricks sind Augenwischerei und mathematisch nicht korrekt (siehe mein Beispiel). Und das Beispiel im Video geht schon von dem falschen Axiom aus,. dass die Summe 1+-1+1+-1….. für unendlich viele Zahlen dieser Wechselfolge 1/2 sei. Denn zu keinem Zeitpunkt ist diese Summe 1/2 sondern entweder 0 oder 1. Und wenn ich schon eine falsche Vorgabe mache, werde ich auch ein falsches Ergebnis erhalten: Müll im Input = Müll im Output, das kennt man aus der Computerwissenschaft.

  13. #13 rolak
    13. Mai 2015

    Also, Lüdenscheider Troost, wenn Du den Artikel auch nur schmalanfänglich gelesen hättest, wäre Dir eventuell klar geworden, daß Dein Kommentar sinnleer ist.

    Müll im Input = Müll im Output

    ..das kennt man nicht aus der Computerwissenschaft, da es sich dort GIGO nennt und keine Ortsangabe, sondern eine Prozeßbeschreibung ist – was aber selbstverständlich auch keine universelle Regel ist, siehe Kompost oder Recycling.