portrait du mathŽmaticien allemand Adolf HURWITZ 1859-1919. ©MP/Leemage AA095258 dbdocumenti 239 343 300 2817 4056 Scala di grigio

Das Produkt zweier Summen von zwei Quadraten ist wieder eine Summe von zwei Quadraten: (a^2+b^2)(c^2+d^2)=  (ac-bd)^2+(ad+bc)^2 . Das kann man natürlich durch direktes Ausrechnen überprüfen, es folgt aber auch aus der Produktformel \parallel z\parallel^2\parallel w\parallel^2=\parallel zw\parallel^2 für Beträge komplexer Zahlen, wenn man z=a+bi, w=c+di setzt und dann den Betrag von zw=(ac-bd)+(ad+bc)i in die Produktformel einsetzt.
Von Bedeutung in der Zahlentheorie war diese als Brahmagupta-Identität bekannte Produktdarstellung für die Frage, welche natürlichen Zahlen Summen zweier Quadratzahlen sind. Für Primzahlen ist das der Fall, wenn sie nicht kongruent 3 modulo 4 sind, und mit der Produktformel beweist man dann, dass beliebige natürliche Zahlen Summe zweier Quadrate sind, wenn in ihrer Primfaktorzerlegung alle Primzahlen kongruent 3 modulo 4 in gerader Anzahl vorkommen.
Auf Gauß geht eine Kompositionstheorie binärer quadratischer Formen zurück, die den Hauptteil der Disquisitiones Arithmeticae ausmachte und aus späterer Sicht im Wesentlichen äquivalent ist zur Idealtheorie quadratischer Zahlkörper. Den Zwei-Quadrate-Satz bekommt man dabei aus der Gruppeneigenschaft der Idealklassengruppe.

Ähnlich konnte Euler die Darstellbarkeit natürlicher Zahlen als Summe von vier Quadratzahlen auf Primzahlen reduzieren. Auch in diesem Fall hat man eine Zerlegung des Produkts zweier Summen von je vier Quadraten als Summe von vier Quadraten, und auch in diesem Fall sah man im Nachhinein, dass man diese Zerlegung aus der Produktformel \parallel zw\parallel^2=\parallel z\parallel^2\parallel w\parallel^2 für Beträge von Quaternionen bekommt.

Quaternionen galten manchen Physikern als die Entdeckung des Jahrhunderts, Maxwell, der Begründer der Elektromechanik bezeichnete sie als die beste Erfindung seit geschnittenem Brot. Andere lehnten den Hype ebenso vehement ab. Ganzzahlige Quaternionen waren zunächst von Rudolf Lipschitz untersucht worden. Adolf Hurwitz stellte dann fest, dass man eine bessere Theorie bekommt, wenn man statt Quaternionen mit ganzzahligen Koeffizienten diejenigen mit halbzahligen Koeffizienten und ganzzahliger Koeffizientensumme betrachtet. (Analog zur Theorie der Zahlkörper, wo man zum Beispiel als Ganzheitsring in Q(√3) nicht Z[√3], sondern Z[(1+√3)/2] betrachtet.) Mit dieser Definition hatte man die richtigen idealtheoretischen Eigenschaften, beispielsweise die Eindeutigkeit der Faktorisierung in Primideale, und mit diesem Ansatz bekam Hurwitz auch einen verständlicheren Beweis des Vier-Quadrate-Satzes als es Lipschitz gelungen war.

Eine entsprechende Formel für Summen von drei Quadraten kann es nicht geben. Zum Beispiel sind 3=1+1+1 und 21=16+4+1 Summen dreier Quadratzahlen, das Produkt 63 aber nicht. (Das wurde 1830 von Legendre in seinem Buch zur Zahlentheorie erwähnt, war anscheinend aber Hamilton nicht bekannt, der trotzdem nach einer Multiplikation auf dem R3 suchte.)

Der Acht-Quadrate-Satz, also die Zerlegbarkeit des Produkts zweier Summen von 8 Quadraten als Summe von 8 Quadraten, wurde zunächst von Degen und dann mit Hilfe der Produktformel \parallel zw\parallel^2=\parallel z\parallel^2\parallel w\parallel^2 für Oktaven von Graves und Cayley gefunden. Degen und Graves glaubten, ihn auf 2n Summanden ausdehnen zu können, Roberts und Cayley veröffentlichten einen Beweis für 16 Summanden. Das kritisierte Adolf Hurwitz in seiner 1898 erschienenen Arbeit Über die Komposition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln:

Roberts und Cayley haben sich im 16. und 17. Bande des Quarterly Journal mit dem Nachweis beschäftigt, dass ein Produkt von zwei Summen von je 16 Quadraten nicht als Summe von 16 Quadraten darstellbar sei. Ihre äußerst mühsamen auf Probieren beruhenden Betrachtungen besitzen indessen keine Beweiskraft, weil ihnen bezüglich der Bilinearform Formen z1, z2,… spezielle Annahmen zugrunde liegen, die durch nichts gerechtfertigt sind.

Tatsächlich bewies Hurwitz in seiner Arbeit den Kompositionssatz, demzufolge es eine Gleichung (x_1^2+\ldots+x_n^2)(y_1^2+\ldots+y_n^2)=z_1^2+\ldots+z_n^2 (mit den zi‘s als Funktion der xj‘s und yk‘s) nur für n = 1, 2, 4 oder 8 geben kann.

Die Idee seines Beweises war wie folgt.
Er setzt an z_\alpha=a_{\alpha 1}y_1+\ldots+a_{\alpha n}y_n , wobei die Koeffizienten aij lineare homogene Funktionen in den x-Variablen sein sollen. Damit bekommt er eine Matrix A, deren Einträge Funktionen in x sind und für die man die Gleichung AAT=x12+…+xn2 hat.
Diese Matrix A ordnet er nach den Variablen, also A=x1A1+…+xnAn mit nicht von x abhängenden Ai und betrachtet dann Bi=AiAnT für i=1,…,n-1. Er zeigt dann, dass die Matrizen Bi schiefsymmetrisch sind und die Gleichungen
B_i^2=-1, B_iB_k=-B_kB_i
für i,k=1,…,n-1 erfüllen. Das ist ein Problem über nxn-Matrizen und er beweist in seiner Arbeit, dass es solche Systeme von Matrizen nur für n = 2, 4 oder 8 gibt.

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Kommentare (1)

  1. #1 H.Wied
    2. November 2019

    Da steckt viel Arbeit und Idealismus dahinter. Wo braucht man das praktisch?