„Eine Kurve ist eine Länge ohne Breite“ heißt es bei Euklid, was wohl ausdrücken sollte, dass Kurven 1-dimensional sind. Felix Klein meinte einmal, jeder wisse, was eine Kurve sei – bis er genug Mathematik studiert habe um von den zahllosen Ausnahmen verwirrt zu sein.

Kurven definiert man heute als Bilder stetiger Abbildungen eines (endlichen oder unendlichen) Intervalls. Nicht alle solcher Kurven entsprechen der ursprünglichen Vorstellung von 1-Dimensionalität. Es gibt die von Peano und Hilbert konstruierten ebenen– bzw. raumfüllenden Kurven, die man also als 2- bzw. 3-dimensionale Objekte ansehen sollte. Es gibt die Seen des Wada, ein irritierendes Beispiel dreier disjunkter, offener und zusammenhängender Teilmengen der Ebene, die alle dieselbe Randkurve haben und die also zeigen, dass nicht jede Kurve in der Ebene diese in nur zwei Komponenten zerlegt. Oder es gibt von Osgood konstruierte Kurven von positivem Flächeninhalt:

Alle diese Kurven sind stetige Bilder eines unendlichen Intervalls. Vermeiden kann man solche Pathologien mit dem auf Camille Jordan zurückgehenden Kurvenbegriff: eineJordankurve ist das Bild einer stetigen und injektiven Abbildung S1—->X des Kreises in einen topologischen Raum. Für diese Klasse von Kurven hatte Jordan den Kurvensatz bewiesen: jede Jordankurve in der Ebene R2 zerlegt die Ebene in zwei Zusammenhangskomponenten. Die Vollständigkeit seines Beweises wurde lange angezweifelt, da er den Satz für polygonale Kurven als selbstverständlich ansah und nur die Verallgemeinerung von polygonalen auf beliebige Jordankurven ausführte. Viele Mathematiker gaben andere Beweise des Kurvensatzes, motiviert durch seine grundlegende Bedeutung in niedrigdimensionaler Topologie und komplexer Analysis. Beispielsweise war der Kurvensatz das wesentliche Ingredient in Bendixssons Beweis des von Poincaré (in einem Spezialfall) ohne Beweis behaupteten Satzes von Poincaré: eine Differentialgleichung in der Ebene hat nur endlich viele geschlossene Integralkurven und alle anderen verbinden kritische Punkte oder wickeln sich um Asymptoten oder beides. Mit anderen Worten: eine beschränkte Bahn, die keine Fixpunkte verbindet (und kein Fixpunkt ist), muß gegen eine periodische Bahn konvergieren (oder eine periodische Bahn sein). Der Kurvensatz wird im Beweis benötigt, um die Monotonie von Poincarés Rückkehrabbildung zu zeigen.

Luitzen Brouwer hatte sich in seiner Dissertation noch mit dem Zusammenhang oder eher der Unterscheidung von Mathematik und Logik befaßt, begann aber nach dem Internationalen Mathematikerkongreß in Rom seine Beschäftigung mit der Topologie. In einer Arbeit Zur Analysis Situs formulierte er die grundlegenden Definitionen und Sätze der Topologie in einer mengentheoretischen Sprache. Zum Beispiel gab er dem von zahlreichen Vorgängern verwendeten Begriff stetiger Deformationen eine präzise Bedeutung: zwei Abbildungen f,g:X—>Y heißen homotop, wenn es eine stetige Abbildung H:Xx[0,1]—>Y gibt mit H(x,0)=f(x), H(x,1)=g(x) für alle x.

Bezugnehmend auf das Erlanger Programm formulierte er, dass die Analysis Situs die Wissenschaft derjenigen Begriffe sei, die invariant unter Homöomorphismen (in damaliger Sprache stetigen und univalenten Abbildungen) sind. Moritz Schoenflies hatte am Beginn des Jahrhunderts die Grundlagen der Mengenlehre systematisiert und mit der Entwicklung einer mengentheoretischen Topologie begonnen. Die mengentheoretische Topologie hatte aber noch nicht ihre später durch Hausdorff ausgearbeitete axiomatische Grundlegung. Brouwer fand Gegenbeispiele zu manchen intuitiv formulierten Theoremen.
Schoenflies war sehr aktiv in der Weiterentwicklung von Cantors Mengenlehre, aber seine Ansätze zur mengentheoretischen Topologie setzten sich letztlich nicht durch. In einem Brief an Hilbert berichtete Brouwer über Unzulänglichkeiten in topologischen Arbeiten, etwa denen von Schoenflies, der kurz zuvor eine Verbesserung des Kurvensatzes bewiesen hatte: die beiden Zusammenhangskomponenten einer geschlossenen Kurve ohne Selbstschnitte sind topologisch dieselben wie beim Einheitskreis. Brouwers widerlegte manche von Schoenflies’ Argumenten und zeigte so, dass man andere Beweise benötigte.

Mit seinem Homotopiebegriff konnte Brouwer den simplizialen Approximationssatz formulieren und beweisen: eine stetige Abbildung zwischen Simplizialkomplexen ist (nach einer hinreichend guten Verfeinerung des Bildkomplexes) homotop zu einer simplizialen Abbildung. Insbesondere bekommt man damit zu jeder stetigen Abbildung einen Homomorphismus der Homologiegruppen. Das würde man später als Funktorialität bezeichnen, zur damaligen Zeit betrachtete man allerdings nur Bettizahlen und Torsionskoeffizienten als numerische Invarianten und noch nicht die Homologiegruppen als algebraische Invariante. Jedenfalls erhält man aus dem Approximationssatz, dass zwei als topologische Räume homöomorphe Simplizialkomplexe dieselben Betti-Zahlen und Torsionskoeffizienten haben – diese Folgerung allerdings findet sich nicht in Brouwers Arbeit, sie wird erst einige Jahre später von James Alexander gefunden. Man benötigt also nicht mehr die “Hauptvermutung“, um die Unabhängigkeit der Homologiegruppen von der Triangulierung nachzuweisen.

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Kommentare (25)

  1. #1 Robert
    30. Januar 2020

    Mit dem Hype der Fraktale ist wieder der Begriff der Dimension in den Mittelpunkt gerückt. Gemeint ist hier die Hausdorff- Dimension, mit der sich die Fraktale gut ordnen lassen.
    Mit dessen Definition ist die Dimension invariant.Bemerkenswert ist, dass nur der Dimension 3 eine Realität zukommt, alle anderen Dimensionen sind nur Abstraktionen, also nur mathematisch real.
    So gibt es Kurven unendlicher Länge, die auf einer Fläche endlicher Größe Platz finden.

  2. #2 Markus Termin
    Nürnberg/Prag
    30. Januar 2020

    “Nicht alle solcher Kurven entsprechen der ursprünglichen Vorstellung von 1-Dimensionalität. Es gibt die von Peano und Hilbert konstruierten ebenen– bzw. raumfüllenden Kurven, die man also als 2- bzw. 3-dimensionale Objekte ansehen sollte.”

    Sollte man? Besser nicht: in der echten Realität gibt es nämlich keine 1- bzw. 2-dimensionalen Objekte, wie auch einem Mathematiker nach zwei Minuten Denken klar werden könnte.

    Nichts zeigt so deutlich, wie eure Dimensionsschwurbelei – dass Mathematik im besten Fall ein brauchbares Werkzeug, im Schlimmsten jedoch ein direktes Einfallstor ins Reich des Wahnsinns ist.

    Um den Unterschied nicht aus dem Auge zu verlieren, wäre es geraten, dem Mathematik-Studium begleitend und verpflichtend ein paar Seminare in Psychoanalyse anzuhängen.

    Überhaupt ist der einzig wirklich interessante Topos an der Mathematik die Wissenschaft von der Unterscheidung zwischen Mathematik und Wirklichkeit. Die Frage lautet also: was genau hat Mathematik mit Wirklichkeit zu tun? Eine MathematikerIn, die diese grundsätzliche Frage nicht geklärt hat, fischt im Trüben.

  3. #3 Robert
    30. Januar 2020

    Markus Termin,
    Mathematik und Wirklichkeit zusammenzubringen ist eine Aufgabe der Physik. Hausdorff war ja so klug , seinen Dimensionsbegriff als Quotient von der Anzahl der Kugeln zum Radius der Kugeln darzustellen. Genauer D = – lim r gegen 0 ( log n / log r. )
    Wenn man also annimmt, , dass die Anzahl von Teilchen unveränderlich ( invariant) ist und der Radius r auch unveränderlich ist, dann ist auch die Dimension unveränderlich.
    Wenn wir jetzt die Mathematik verlassen und schauen, was die Physik dazu sagt, dann wird es schwierig. In der Physik gilt der Radius als veränderlich, weil bei steigender Gravitation, die Maße verzerrt werden.
    In der Physik könnte man also die Dimension als variant ansehen.

  4. #4 Tox
    30. Januar 2020

    @Robert:
    “Gemeint ist hier die Hausdorff- Dimension, mit der sich die Fraktale gut ordnen lassen. Mit dessen Definition ist die Dimension invariant.”

    Ist das so? Wenn ja, dann ist das meiner Meinung nach überhaupt nicht offensichtlich. Mit “invariant” ist im Artikel “invariant unter Homöomorphismen” gemeint, d.h zwei homöomorphe topologische Räume haben die selbe Dimension.

    Und mit ein bisschen Google’n stößt man schnell auf ein Gegenbeispiel: Unterschliedliche Cantor-Mengen sind homöomorph, haben aber unterschiedliche Hausdorff-Dimension. Die Hausdorff-Dimension kann also nicht invariant sein.

  5. #5 Robert
    31. Januar 2020

    Tox,
    der kleine Unterschied machts.
    Was ist das für Dimensionsbegriff im Zusammenhang mit Homöomorphismen ?
    Hausdorff hat seinen Dimensionsbegriff vielleicht als invariant angesehen. Jetzt tendiere ich auch dazu, dass die Hausdorffdimension variant ist, weil ja Masse , Zeit und Entfernung variant sind, weil sie vom Bezugssystem abhängig sind.

  6. #6 Thilo
    31. Januar 2020

    Die Hausdorff-Dimension ist tatsächlich keine topologische Invariante, denn sie hängt davon ab, wie eine Kurve oder Fläche im Raum eingebettet ist. Die Cantor-Mengen sind das einfachste Beispiel, andere bekannte Beispiele sind fraktale Kurven, deren Hausdorff-Dimension größer ist als 1, obwohl natürlich eine Kurve topologischen Dimension 1 hat. Die https://de.wikipedia.org/wiki/Koch-Kurve hat Hausdorff-Dimension log4/log3, also größer als 1.

  7. #7 uyfpsoyfpaae
    31. Januar 2020

    33872 http://www.street4life.info/index.php?topic=27101.new#newhttp://password.viper-7.com/f/viewtopic.php?f=3&t=25521http://renouveausocietal.fr/forum/viewtopic.php?f=10&t=10577&p=241216#p241216http://imsober.ru/viewtopic.php?f=2&t=9300http://uicos.org/forum/viewtopic.php?f=4&t=521359http://forums.cacheonix.org/viewtopic.php?f=2&t=389620http://forum.warofgalaxy.eu/viewtopic.php?f=15&t=42101http://atodamakina.com/foro/viewtopic.php?f=2&t=169594http://community.galak-z.com/viewtopic.php?f=3&t=701912http://atodamakina.com/foro/viewtopic.php?f=2&t=169598http://www.americanparkour.com/smf/index.php/topic,267808.new.html#newhttp://www.joenna.cc/bbs/viewtopic.php?pid=1395831#p1395831http://getcars.ru/communication/forum/index.php?PAGE_NAME=read&FID=1&TID=8&MID=1066http://getcars.ru/communication/forum/index.php?PAGE_NAME=read&FID=1&TID=8&MID=1065 https://80.26.155.59/mediawiki/index.php/Usuario:LinneaGlaspie8https://80.26.155.59/mediawiki/index.php/Usuario:LoreenTempletonhttps://80.26.155.59/mediawiki/index.php/Usuario:LorettaMcclintochttps://80.26.155.59/mediawiki/index.php/Usuario:LorrieThm7781673https://80.26.155.59/mediawiki/index.php/Usuario:LouisaAkehursthttps://80.26.155.59/mediawiki/index.php/Usuario:MOXFranchescahttps://80.26.155.59/mediawiki/index.php/Usuario:MaddisonLovelyhttps://80.26.155.59/mediawiki/index.php/Usuario:MagdaHager2https://80.26.155.59/mediawiki/index.php/Usuario:MaisieLade10https://80.26.155.59/mediawiki/index.php/Usuario:MargeryTerrell8https://80.26.155.59/mediawiki/index.php/Usuario:MarilynAbel97

  8. #8 Markus Termin
    Nürnberg/Prag
    31. Januar 2020

    @ Robert: “Mathematik und Wirklichkeit zusammenzubringen ist eine Aufgabe der Physik.”

    Sie sind ein Spaßvogel. Von der Wirklichkeit weiß die Physik nichts, sie ist eine Sklavin der Mathematik und erfindet sich mit deren Hilfe bislang noch jedes Kaninchen aus dem Hut, damit das auch so bleibt.

    Einzig zuständige Wissenschaft für die Wirklichkeit ist die Philosophie, denn bekanntlich kann die Physik “nicht denken”. Nur messen. Damit fehlt ihr jede Definitionshoheit.

  9. #9 rolak
    31. Januar 2020

    Welch ein Armutszeugnis, wenn der spam nicht wesentlich weiter vom Thema entfernt, wenn er nicht inhaltsleerer ist als der Beitrag von Markus Termin

  10. #10 Markus Termin
    Nürnberg/Prag
    31. Januar 2020

    @ rolak: “‘Eine Kurve ist eine Länge ohne Breite“ heißt es bei Euklid, was wohl ausdrücken sollte, dass Kurven 1-dimensional sind.'” – das sollte es eben gewiss nicht ausdrücken, weil der gute Euklid kein Dimensionsschwurbler war, sondern ein Mensch bei Verstand, dem klar war, dass er an einer Hilfswissenschaft aus der Metaphysik arbeitete – das haben seine zeitgenössischen Kollegen leider vergessen und nehmen sich heute daher raus, die klaren Aussagen des Meisters mit ihrer Ideologie zu korrigieren.

  11. #11 Tox
    1. Februar 2020

    @Robert:
    Es gibt mehrere Dimensionsbegriffe, die unter Homöomorphismen invariant sind. Ich bin mir nicht 100% sicher, welcher im Artikel gemeint ist, würde aber vermuten, dass es der für Mannigfaltigkeiten ist.

    “Hausdorff hat seinen Dimensionsbegriff vielleicht als invariant angesehen.”

    Ziemlich sicher nicht. Jedenfalls nicht im Sinn einer topologischen Invarianz.

    “Jetzt tendiere ich auch dazu, dass die Hausdorffdimension variant ist, weil ja Masse , Zeit und Entfernung variant sind, weil sie vom Bezugssystem abhängig sind.”

    Das hat gar nichts mit dem Thema zu tun. Noch einmal, mit “invariant” ist hier “invariant unter Homöomorphismen” gemeint. Du kannst natürlich andere Arten von Invarianz untersuchen. Aber dann musst du vorher klar definieren, was genau du meinst.

    (Außerdem kommen Masse und Zeit in der Definition der Hausdorff-Dimension nicht vor, und “Entfernung” nur in einem abstrakt-mathematischen Sinn. Ich bin mir auch nicht sicher, ob man die Hausdorff-Dimension ohne weiteres auf Situationen aus der speziellen oder allgemeinen Relativitätstheorie anwenden kann. Denn die Raumzeit ist ja kein metrischer Raum.)

  12. #12 Thilo
    1. Februar 2020

    Ja, es geht bei Brouwer um Mannigfaltigkeiten und deren Dimension.

  13. #13 Frank Wappler
    1. Februar 2020

    Thilo schrieb (30. Januar 2020):
    > Kurven definiert man heute als Bilder stetiger Abbildungen eines (endlichen oder unendlichen) Intervalls. Nicht alle solcher Kurven entsprechen der ursprünglichen Vorstellung von 1-Dimensionalität. Es gibt die von Peano und Hilbert konstruierten ebenen– bzw. raumfüllenden Kurven, die man also als 2- bzw. 3-dimensionale Objekte ansehen sollte. […]

    Diese heutige Definition von Kurven, basierend auf der gängigen Definition von stetigen Abbildungen, ermöglicht wohl auch Kurven, die man als 0-dimensionale Objekte ansehen sollte;

    etwa die aus nur drei Elementen bestehende (Bild-)Menge Y := \{ -1, 0, 1 \},

    versehen mit der Topologie \mathcal T_Y := \{ Y, \{ -1, 1 \}, \{ -1 \}, \{ 1 \}, \emptyset \} ,

    auf die das unendliche Intervall (\mathbb R), mit “seiner üblichen Topologie”,

    z.B. durch die Vorzeichenfunktion \text{sgn} : \mathbb R \rightarrow \{ -1, 0, 1 \}

    im Sinne der obigen Definition stetig abgebildet wird.

    > Vermeiden kann man solche Pathologien mit dem auf Camille Jordan zurückgehenden Kurvenbegriff: […]

    … der allerdings Bilder jeglicher “Wege, die sich selbst schneiden (oder berühren)” als Kurven ausschließt.

  14. #14 Robert
    1. Februar 2020

    Tox,
    meine Antwort war auch im Hinblick auf Mitkommentator M. Termin gemeint.
    Als Nichtmathematiker ging ich beim Begriff “variant” von der Bedeutung aus = veränderlich.
    Ihr dürft nicht voraussetzen , dass Nichtmathematiker mit den Fachbegriffen vertraut sind.
    Der Blog nennt sich übrigens “populärwissenschaftlich”. Deswegen sollte man schon etwas verständlicher werden.

    M.T.
    Die Physik misst , aber sie interpretiert auch.
    Und wenn eine mathematische “Konstruktion” keine Anwendung in der Realität findet, dann verschwindet sie auch wieder.
    Den Atombegriff gab es schon vor 2000 Jahren bei den Griechen. Er ist dann wieder verschwunden, weil man keine Anwendung für ihn fand. So ist das gemeint.

  15. #15 Markus Termin
    Nürnberg/Prag
    1. Februar 2020

    @ Robert: “Und wenn eine mathematische “Konstruktion” keine Anwendung in der Realität findet, dann verschwindet sie auch wieder.” – das ist leider falsch; die Lorentz-Transformationen z.B. haben umgekehrt dazu geführt, dass eine Realität konstruiert wurde und die Wirklichkeit durch die vermeintliche “Anwendung” einem mathematischen Hochsicherheitstrakt gleicht, in dem vor mathematischem Betrug nicht zurückschreckt wird, hier objektiv nachvollziehbar dargestellt (natürlich nur im Kommentarbereich):

    https://scilogs.spektrum.de/relativ-einfach/gleichzeitigkeit-ist-relativ/

  16. #16 Markus Termin
    Nürnberg/Prag
    1. Februar 2020

    @ Tox; “Denn die Raumzeit ist ja kein metrischer Raum.” – es gibt mit “c” als Eichgröße für Alles keinen nicht-metrischen Raum in der aktuellen Systemphysik.

  17. #17 Robert
    1. Februar 2020

    Markus Termin,
    Die RT ist eine Theorie, die Lorentz-Transformation ist eine Koordinatentransformation, der Minkowski-Raum beruht auf der RT, die Raum-Zeit-Krümmung ist eine Theorie.
    Man darf sich da nicht verrückt machen lassen und denken, das ist die blanke Realität. Das ist sie nicht,

    Wer das behauptet, das ist ein Wissenschaftsideologe = Wissenschaftsgläubiger.

    Weisen Sie die Leute immer wieder darauf hin, die Naturwissenschaft ist nur ein Baustein im Gebäude der Weltanschauung. Andere Bausteine sind die Geisteswissenschaften, die Religion, und Bereiche, die wir noch gar nicht kennen. Die Menschheit hat erst begonnen, die Welt zu erkunden.

  18. #18 Herr Senf
    2. Februar 2020

    “Die Menschheit hat erst begonnen, die Welt zu erkunden.”
    Der erste Gescheiterte ist #17, #18 sieht noch Geister.

  19. #19 tomtoo
    2. Februar 2020

    @robert
    Die Theorie ist so gut das ihre Vorhersagen messbar richtig sind. Sollte @MT sowas auch mal schaffen, dann Hut ab.

  20. #20 Robert
    2. Februar 2020

    tomtoo,
    sehr gut ! Die Vorhersehbarkeit, die Vorausberechenbarkeit ist der Sinn jeder Theorie.
    MT ist nicht für die Theorien wichtig, er ist wichtig, dass wir nicht vergessen, worin die Theorien eingebettet bleiben müssen. Und das ist der Sinn des Lebens. In memento mori, so steht es an jeder Barockkirche geschrieben.

    Herr Senf,
    Sie sollten einmal eine Barockkirche am Sonntag betreten. Dann werden Sie merken, dass sich unsere Existenz nicht vollständig mit Formeln beschreiben lässt. Dann werden Sie den unaufhörlichen Verfall des menschlichen Körpers sehen können, wenn Menschen , die noch mit einer Krücke gekommen sind, in der Folgewoche zwei Krücken brauchen, dann ein Arm gelähmt ist und kurz darauf im Pflegeheim liegen.

  21. #21 Tox
    2. Februar 2020

    @Robert:
    “Als Nichtmathematiker ging ich beim Begriff “variant” von der Bedeutung aus = veränderlich.”

    Genau das bedeutet “variant” auch in der Mathematik. Entscheidend ist aber, unter welchen Bedingungen etwas veränderlich ist (oder eben nicht). Unveränderlichkeit der Dimension eines topologischen Raums unter Homöomorphismen ist etwas anderes als Unveränderlichkeit eines physikalischen Objekts in der Zeit.

    “Ihr dürft nicht voraussetzen , dass Nichtmathematiker mit den Fachbegriffen vertraut sind. ”

    Das macht ja auch niemand. Ich wollte nur darauf hinweisen, dass du diesen Begriff nicht richtig verstanden hast, und darum möglichweise falsche Schlüsse ziehst.

  22. #22 Robert
    2. Februar 2020

    Tox,
    du hast Recht, die falschen Schlüsse kommen vom unterschiedlichen Verständnis der Begriffe.
    Ein praktisches Anwendungsbeispiel bei Gleichungen würde hier schon weiterhelfen.

  23. #23 Frank Wappler
    3. Februar 2020

    Thilo schrieb (30. Januar 2020):
    > […] mit dem auf Camille Jordan zurückgehenden Kurvenbegriff:
    > eine Jordankurve ist das Bild einer stetigen und injektiven Abbildung S^1 \rightarrow X des Kreises in einen topologischen Raum.

    Zum Beispiel (insbesondere aufbauend auf dem obigen Kommentar #13)
    das Bild dieser stetigen und injektiven (und sogar bijektiven) Abbildung

    j : \{ \phi \in \mathbb R \, | \, -\pi \leq \phi < \pi \} \leftrightarrow K \equiv \{ y in \mathbb R \, | \,  (-(\pi + 1) \leq y < -1) \lor  \{ y = 0 \} \lor { 1 < y < (\pi + 1) \},

    j[ \, \phi \, ] \mapsto \phi + \text{Sgn}[ \, \phi \, ]

    des Kreises (mit “seiner natürlichen Topologie”)
    in den topologischen Raum (K, \mathcal T_K) mit der Topologie

    \mathcal T_K := \{ O \in \text{Powerset}[ \, K \, ] \, |
    \quad \quad \quad (O \equiv K) \lor (O \equiv \emptyset) \lor
    \quad \quad \quad ((x \not \in O) \land  (\exists S in T_I \, | \, (S = O \cup \{ -1, 1 \})) \} ,

    wobei T_I “die natürliche Topologie” des halb-offenen Intervalls [-\pi, \pi) bezeichnen soll.

    > Für diese Klasse von Kurven hatte Jordan den Kurvensatz bewiesen: jede Jordankurve in der Ebene \mathbb R^2 zerlegt die Ebene in zwei Zusammenhangskomponenten. […]

    Dabei versteht sich wohl die zusätzliche Forderung, dass einer “Jordankurve in der Ebene \mathbb R^2” gerade jene Topologie zugewiesen würde, die ihr durch “die natürliche Topologie” der (topologischen) Ebene induziert wird.

    p.s. — ScienceBlogs-Kommentar-HTML-Test:

    “S<sup>1</sup>” wird dargestellt als: “S1”.

  24. #24 Frank Wappler
    3. Februar 2020

    Thilo schrieb (30. Januar 2020):
    > […] mit dem auf Camille Jordan zurückgehenden Kurvenbegriff:
    > eine Jordankurve ist das Bild einer stetigen und injektiven Abbildung S^1 \rightarrow X des Kreises in einen topologischen Raum.

    Zum Beispiel (insbesondere aufbauend auf dem obigen Kommentar #13)
    das Bild dieser stetigen und injektiven (und sogar bijektiven) Abbildung

    j : \{ \phi \in \mathbb R \, | \, -\pi \leq \phi < \pi \} \longleftrightarrow
    \, \, \, \, \, \, \, \, K \equiv \{ y \in \mathbb R \, | \,  (-(\pi + 1) \leq y < -1) \lor (y = 0) \lor (1 < y < (\pi + 1)) \},

    j[ \, \phi \, ] \mapsto \phi + \text{Sgn}[ \, \phi \, ]

    des Kreises (mit “seiner natürlichen Topologie”)
    in den topologischen Raum (K, \mathcal T_K) mit der Topologie

    \mathcal T_K := \{ O \in \text{Powerset}[ \, K \, ] \, |
    \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, (O \equiv K) \lor (O \equiv \emptyset) \lor
    \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ((0 \not \in O) \land  (\exists S \in T_I \, | \, (S = O \cup \{ x \in \mathbb R \, | \, -1 \leq x \leq 1 \})) \} ,

    wobei T_I “die natürliche Topologie” des halb-offenen Intervalls [-\pi, \pi) bezeichnen soll.

    > Für diese Klasse von Kurven hatte Jordan den Kurvensatz bewiesen: jede Jordankurve in der Ebene \mathbb R^2 zerlegt die Ebene in zwei Zusammenhangskomponenten. […]

    Dabei versteht sich wohl die zusätzliche Forderung, dass einer “Jordankurve in der Ebene \mathbb R^2” gerade jene Topologie zugewiesen würde, die ihr durch “die natürliche Topologie” der (topologischen) Ebene induziert wird.

    p.s. — ScienceBlogs-Kommentar-HTML-Test:

    “S<sup>1</sup>” wird dargestellt als: “S1”.

  25. #25 Thilo
    3. Februar 2020

    Mit R2 ist-wenn nicht anders gesagt- immer der R2 mit der Topologie der euklidischen Metrik gemeint.