Die Vermessung der Welt habe ich leider immer noch nicht gesehen, den Film gibt es weder bei iTunes (immerhin kann man dort für 11,99 Euro die Filmmusik kaufen) noch irgendwo sonst im Netz. Aber zumindest begegnet einem Gauß’ 19th-century-Mathematik auch durchaus bei der Beschäftigung mit heutigerer Topologie immer wieder mal. Zum Beispiel bei der letzte Woche besprochenen klassifizierenden Abbildung von Geradenbündeln. Die nämlich kommt – jedenfalls für im \mathbb R^3 eingebettete Flächen und im Spezialfall des Normalenbündels – im Prinzip schon in Gaußens Disquisitiones generales circa superficies curvas vor.


Bei Gauß geht es um Flächen im (3-dimensionalen) euklidischen Raum. Für die hat man in jedem Punkt x eine Tangentialebene sowie einen zu dieser senkrechten Vektor, den Normalenvektor N(x), rot im Bild oben.
(Per Definition betrachtet Gauß nur sogenannte “reguläre Flächen”, für die dieser Normalenvektor N(x) niemals Null ist, und für die benutzte er dann die Normalenvektoren unter anderem, um die Gaußsche Krümmung zu bestimmen.)

Jedenfalls ist die Gesamtheit der Normalenvektoren ein Vektorfeld, das Normalenvektorfeld, das dann aussieht wie im Bild unten.

Die sogenannte Gauß-Abbildung ist die Abbildung, die jedem Punkt der Fläche den auf 1 normierten Normalenvektor zuordnet, also \frac{N(x)}{\parallel N(x)\parallel}. Man vergisst sozusagen den Betrag des Normalenvektors und interessiert sich nur für seine Richtung.

Die Bildmenge der Gauß-Abbildung sind also Einheitsvektoren im \mathbb R^3, die Gauß-Abbildung definiert mithin eine Abbildung von der Fläche in die Einheitssphäre S^2. Das Video unten (nur 12 Sekunden) zeigt ein Beispiel.

Was hat das jetzt mit der klassifizierenden Abbildung des Geradenbündels (in diesem Falle des Normalenbündels) von letzter Woche zu tun?

Diese war ja eigentlich eine Abbildung in die projektive Ebene \mathbb RP^2, also in die Menge aller Geraden im \mathbb R^3, während die Bildmenge der Gauß-Abbildung die Sphäre S^2, also die Menge der Einheitsvektoren im \mathbb R^3 ist. Aber man hat natürlich eine offensichtliche Abbildung S^2\rightarrow \mathbb RP^2, die jedem Einheitsvektor die durch ihn bestimmte Gerade zuordnet. Dabei entsprechen zwei Vektoren N und -N derselben Gerade, weshalb S^2\rightarrow \mathbb RP^2 eine 2-fache Überlagerung ist. (Hier in TvF 155 schon mal diskutiert.)

Durch Verknüpfung mit dieser Überlagerung S^2\rightarrow \mathbb RP^2 kann man die Gauß-Abbildung jedenfalls als Abbildung von unserer Fläche in den \mathbb RP^2\subset \mathbb RP^\infty auffassen und die so erhaltene Abbildung ist dann gerade die klassifizierende Abbildung des Normalenbündels, welche dann wiederum (siehe letzte Woche) zur Definition der charakteristischen Klassen des Geradenbündels benutzt wird.

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Kommentare (7)

  1. #1 Heinrich Hofauer
    10. Februar 2013

    Bitte nicht den Kehlmann hofieren!
    Ein läppisches Werk, bei dem mir schleierhaft ist, weswegen es eine solch hohe Auflage erzielt hat.
    DIE Referenz über den Princeps Mathematicorum – so viele gibt es ja nicht – ist
    Hubert Mania – Gauß
    bei Rowohlt 2008 erschienen.

  2. #2 Thilo
    10. Februar 2013

    Als Referenz zu Gauss hatte ich die Vermessung eigentlich auch nie gesehen, eher als Satire auf deutsche Klassik und deutsche Professoren.

  3. […] ein Beispiel hatten wir letzte Woche beschrieben, wie man die Gauß-Abbildung aus der Differentialgeometrie als klassifizierende […]

  4. […] hatten in den letzten Wochen einige Geradenbündel angesehen, z.B. vor 2 Wochen das Normalenbündel einer Fläche, dessen klassifizierende Abbildung gerade die […]

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