Theorema Magnum MCMVII: der Satz von Riesz-Fischer

Von Thilo / 2. Januar 2020 / 16 Kommentare / Seite 2 von 2 / Auf einer Seite lesen

Schließlich fand er den ultimativen Darstellungssatz mit Hilfe eines auf Stieltjes zurückgehenden allgemeineren Integralbegriffs: jedes stetige Funktional auf C₀(R) – dem Raum der im Unendlichen verschwindenden stetigen Funktionen – ist darstellbar durch Integration über ein geeignetes (Borel-reguläres) Maß. (Die Verwendung des Stieltjes-Integrals ist eigentlich nicht notwendig, wie Kakutani 1941 bewies.) Der Dualraum C₀(R)^* ist also der Raum dieser Maße.

Mit dem Darstellungssatz konnte Riesz das Momenten- und Approximationsproblem in C([a,b]) lösen. Auf einer grundsätzlicheren Ebene wurde durch den Darstellungssatz die Göttinger Theorie der Integralgleichungen mit der französischen Schule der reellen Funktionen zusammengeführt. Die Maß- und Integrationstheorie wurde zu einem Teil der Funktionalanalysis.

Bild: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Frigyes_Riesz.jpeg

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Kommentare (16)

#1 Frank Wappler
7. Januar 2020

Thilo schrieb (2. Januar 2020):
> Eine stetige Funktion $f$ auf einem kompakten Intervall […] kann man in eine Fourierreihe $f(t)=$ […] entwickeln.

Es versteht sich wohl, dass die betreffende, auf einem bestimmten kompakten Intervall definierte Funktion $f$ dabei in periodische trigonometrische Funktionen entwickelt wird, deren Perioden alle gleich der Länge dieses Intervalls sind (und die hinsichtlich Integration über dieses Intervall “orthogonal” sind).

Dabei ist es jedoch offenbar nicht zwingend erforderlich, dass die Funktion $f$ an den beiden Enden des Intervalls gleiche Werte hätte.
Sofern das aber nicht ausdrücklich gefordert bzw. garantiert ist, wäre mindestens einer dieser beiden (ungleichen) Funktionswerte an diesen beiden Stellen auch ungleich dem Wert der Fourierreihe an der selben Stelle.

Es erscheint folglich i.A. nicht ganz richtig, zwischen einer Funktion (für irgendeinen bestimmten Wert des Arguments $t$ , im Definitionsbereich) und “ihrer” Fourierreihe (für den selben Wert von $t$ ) ein Gleichheitszeichen zu setzen.
(Ein anderes, womöglich passenderes Zeichen findet sich z.B. dort eingesetzt.)
#2 Frank Wappler
7. Januar 2020

Thilo schrieb (2. Januar 2020):
> Eine stetige Funktion $f$ auf einem kompakten Intervall […] kann man in eine Fourierreihe $f(t)=$ […] entwickeln.

Es versteht sich wohl, dass die betreffende, auf einem bestimmten kompakten Intervall definierte Funktion $f$ dabei in periodische trigonometrische Funktionen entwickelt wird, die alle bzgl. der Länge dieses Intervalls periodisch sind (auch wenn sie jeweils noch kleinere “kleinste Periodenlängen” haben), und die hinsichtlich Integration über dieses Intervall “orthogonal” sind.

Dabei ist es jedoch offenbar nicht zwingend erforderlich, dass die Funktion $f$ an den beiden Enden des Intervalls gleiche Werte hätte.
Sofern das aber nicht ausdrücklich gefordert bzw. garantiert ist, wäre mindestens einer dieser beiden (ungleichen) Funktionswerte an diesen beiden Stellen auch ungleich dem Wert der Fourierreihe an der selben Stelle.

Es erscheint folglich i.A. nicht ganz richtig, zwischen einer Funktion (für irgendeinen bestimmten Wert des Arguments $t$ , im Definitionsbereich) und “ihrer” Fourierreihe (für den selben Wert von $t$ ) ein Gleichheitszeichen zu setzen.
(Ein anderes, womöglich passenderes Zeichen findet sich z.B. dort eingesetzt.)
#3 Thilo
8. Januar 2020

Ich hätte wohl sagen sollen, dass die Elemente in L^2 Strenggenommen keine Funktionen, sondern Äquivalenzklassen von Funktionen sind. Man betrachtet zwei Funktionen als äquivalent, wenn sie bis auf die Werte auf einer Nullmenge übereinstimmen. Damit kann man o.B.d.A. immer annehmen, dass f(a)=f(b).
#4 Frank Wappler
8. Januar 2020

Thilo schrieb (#3, 8. Januar 2020):
> Ich hätte wohl sagen sollen […]

Mich würde in diesem Zusammenhang noch interessieren, ob es Systeme von Funktionen gibt,

– in die sich jede auf Intervall $[a, \, b]$ definierte stetige Funktion so entwickeln ließe, dass in jedem Punkt des Definitionsbereiches der Funktionswert gleich dem entsprechenden Wert der Entwicklungsreihe wäre, und

– die bzgl. “schlichter (ungewichteter)” Integration orthogonal sind (was z.B. die Tschebyscheff Polynome über Intervall $[-1, \, 1]$ gerade nicht sind).
#5 Tox
9. Januar 2020

@Frank Wappler
Dafür müsstest du genauer definieren, was du unter einem “System von Funktionen” und dem “Entwickeln einer Funktion” (bzw. einer “Entwicklungsreihe” und deren “Wert”) verstehst.

Dass sich stetige Funktionen auf kompakten Intervallen gleichmäßig (d.h. nach der Supremumsnorm) durch Polynome approximieren lassen ist ja bekannt. Und dass es orthogonale Polynome gibt ist auch bekannt.
#6 Frank Wappler
9. Januar 2020

Tox schrieb (9. Januar 2020):
> Dafür müsstest du genauer definieren, was du unter einem “System von Funktionen” und dem “Entwickeln einer Funktion” (bzw. einer “Entwicklungsreihe” und deren “Wert”) verstehst.

Sicher … Jedenfalls vielen Dank: denn das erinnert mich schlagartig daran, dass “das Problem” des (geeignet definierten) “Entwickelns einer Funktion” ja sehr allgemein und gründlich durch (“das System der”) Dirac-Deltas erledigt werden kann. Dabei allerdings, soweit ich dem folgen kann, gleich dermaßen gründlich, dass Stetigkeit der entsprechend “zu entwickelnden” Funktion gar nicht erforderlich ist.

> Dass sich stetige Funktionen auf kompakten Intervallen gleichmäßig (d.h. nach der Supremumsnorm) durch Polynome approximieren lassen ist ja bekannt

Diese Aussage gehörte zwar nicht unbedingt zu meinen Aktivposten … (Ist z.B. “ $\text{Tan}[ \, x \, ]$ für $t \in [ \pi/2, \, \pi/2 ]$ ” überhaupt an den Intervallenden stetig ?? …)

> Und dass es orthogonale Polynome gibt ist auch bekannt.

Sehr richtig. Ich hatte bei meiner gestrigen Recherche nur leider die Legendre-Polynome $P_k$ übersehen (bzw. schon lange nicht mehr im aktiven Gedächtnis), und meine obige Frage (#8) entsprechend sehr allgemein gestellt.

Unter Nutzung einer sehr speziellen Eigenschaft aller Legendre-Polynome, nämlich $\forall k : P_k[ \, 1 \, ] = 1$ , kann ich “genauer nachhaken”:

Die “Legendre-Entwicklung” einer Funktion $f : [ -1, \, 1 ] \rightarrow \mathbb R$ im Argumentwert $x = 1$ ergibt sich damit doch als

$\sum_{k = 0}^{\infty}\left[ \left( \frac{2 k + 1}{2} \right) \left(\int_{-1}^{1} dt \, f[ \, t \, ] \, P_k[ \, t \, ] \right) \, P_k[ \, 1 \, ] \right] =$

$\sum_{k = 0}^{\infty}\left[ \left( \frac{2 k + 1}{2} \right) \left(\int_{-1}^{1} dt \, f[ \, t \, ] \, P_k[ \, t \, ] \right) \right] =$

… falls das nicht “zu naiv” ist …

$\int_{-1}^{1} dt \, f[ \, t \, ] \, \sum_{k = 0}^{\infty}\left[ \, \left( \frac{2 k + 1}{2} \right) \, P_k[ \, t \, ] \, \right].$

Was mich konkret interessiert ist, ob dieser Wert tatsächlich für beliebige (stetige) Funktionen $f$ jedenfalls gleich dem entsprechenden Funktionswert $f[ \, 1 \, ]$ sein soll.
(Immerhin lassen sich doch äußerst verschiedene Funktionen denken, die alle den gleichen Wert bei Argument $x = 1$ haben.)
#7 Tox
10. Januar 2020

@Frank Wappler
Die Tangens-Funktion ist in +-pi/2 nicht definiert, also kann sie dort auch nicht stetig sein. (Jedenfalls wenn man sie als eine Funktion in die reellen Zahlen betrachtet; man kann die reellen Zahlen um einen oder zwei unendliche Werte erweitern und dann darauf eine passende Topologie definieren. Dann kann tan stetig sein. Aber dann gelten u.U. andere Aussagen nicht mehr.)

Für jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall gibt es eine Folge von Polynomen, die gleichmäßig gegen die Funktion konvergiert. Das heißt aber nicht, dass die Partialsummenfolge der Legendre-Entwicklung diese Folge ist. Ich würde erwarten (habe aber keinen Beweis zur Hand), dass sie in der L^2-Norm konvergiert, im Allgemeinen aber nicht gleichmäßig oder punktweise.
#8 Frank Wappler
https://here.lie.the.bones
14. Januar 2020

Tox schrieb (13. Januar 2020):
> Wenn man Geradenstücke nicht als “Ur-Objekte” […] ansieht, die nicht zu definieren sind,

… also insbesondere in der (geometrisch-kinematischen Sektion der) Relativitätstheorie, in der (bekanntlich) »all unsere zeit-räumlichen Konstatierungen stets auf Bestimmungen zeit-räumlicher Koinzidenzen hinauslaufen« …

> dann stellt sich die Frage, wie man sie definiert.

Unbedingt.

> Ich sehe da im Wesentlichen zwei Möglichkeiten: Entweder darüber, dass auf ihnen die Beschleunigung gleich Null ist,

… womit allerdings wiederum die Frage verbunden wäre, ob und wie “Beschleunigung” zu definieren bzw. zu messen ist;
oder (hinsichtlich des Null-Wertes) damit zusammenhängend auch: welche Beteiligten (von vornherein) als “frei” gelten sollten, und welche nicht …

> oder darüber, dass sie bei festem Anfangs- und Endpunkt extremale Länge haben

… was wiederum gegebene (Verhältnis-)Werte von “Länge” (entweder im strikten Sinne, oder ggf. geeignet verallgemeinert) voraussetzt, die wiederum mit geeigneten Distanzen (oder Abständen) zwischen Paaren von Elementen zusammenhängt.

Hinsichtlich Paaren von (Koinzidenz-)Ereignissen, die zueinander zeitartig liegen (für die sich also Beteiligte denken und womöglich sogar finden lassen, die jeweils an beiden Ereignissen teilgenommen hatten), sind die sogenannten Lorentzschen Distanzen, $\ell$ geeignet.
Drei (Koinzidenz-)Ereignisse, an denen ein bestimmter Beteiligter, $A$ , teilnahm (jeweils in Koinzidenz mit diversen weiteren Beteiligten), $\varepsilon_{AJ}, \varepsilon_{AK}$ und $\varepsilon_{AP}$ , heißen schlicht dann “zueinander gerade”, falls

$\left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{AJ},\, \varepsilon_{AK} \, ]}{\ell[ \, \varepsilon_{AJ},\, \varepsilon_{AP} \, ] \right) + \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{AK},\, \varepsilon_{AP} \, ]}{\ell[ \, \varepsilon_{AJ},\, \varepsilon_{AP} \, ] \right) = 1.$

(Bestimmte Extremal-Eigenschaften gelten natürlich aufgrund des Zusammenhangs zwischen “Lorentzscher Distanz” und “Dauer” bzw. “Raumzeit-Kurvenlänge”.)

> […] nicht unmittelbar klar, dass solche Wege tatsächlich möglich sind, und wie sie ggf. physikalisch zu realisieren sind.

Das betrifft Raumzeit-Regionen, die “punktiert” bzw. “begrenzt” bzw. “gelöchert” (gedacht) sind …
(Was wiederum die Frage aufwirft, wie die entsprechende “Topologie” überhaupt zunächst zu messen wäre.)

> […] dass das “auf der Erde bleiben” einem Geradenstück (im Sinne extremaler Eigenzeit) in der Raumzeit entspricht, ist meiner Meinung nach nicht trivial.

In Anbetracht von (messbaren) “Umläufen der Erde um die Sonne” ist das womöglich sogar falsch.
#9 Frank Wappler
14. Januar 2020

[…] heißen schlicht dann “zueinander gerade”, falls

$\left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{AJ},\, \varepsilon_{AK} \, ]}{\ell[ \, \varepsilon_{AJ},\, \varepsilon_{AP} \, ]} \right) + \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{AK},\, \varepsilon_{AP} \, ]}{\ell[ \, \varepsilon_{AJ},\, \varepsilon_{AP} \, ]} \right) = 1.$
#10 Tox
18. Januar 2020

@Frank Wappler
Im Blog verrutscht?
#11 rolak
18. Januar 2020

Im Blog?

Imho relativ irrelevant gegenüber dem, was ihm sonst noch wo verrutscht ist, Tox.
#12 Frank Wappler
https://there.are.no.fools--like.old.fools
20. Januar 2020

Tox schrieb (18. Januar 2020):
> [Sind Deine (Frank Wapplers) obige Kommentare #8 und #9] Im Blog verrutscht?

Naja — sie sind so “gerutscht”, dass sie als meine Antwort auf Deinen Kommentar (vom 13. Januar 2020) immerhin öffentlich und für Dich auffindbar sind;
worin ich mir zugegebenermaßen auch einen Seitenhieb auf diejenigen erlaubt habe, die das in #8 zitierte Axiom der Relativitätstheorie nicht kennen, oder nicht wollen.

p.s.
Eine Gegenfrage: Seit wann liest Du schon (zumindest einige) “ScienceBlogs”-Artikel bzw. die jeweils anschließenden Kommentare (oder zumindest einige davon) ?

Für hinsichtlich meines “Rutschens” relevant halte ich insbesondere die Kommentare zu
https://scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2013/05/13/warum-wir-nie-etwas-andern-sollten/

und der Vollständigkeit halber (und noch nicht ganz so lange her) auch noch die zu
https://scienceblogs.de/ihrefrage/2018/12/03/eine-frage-des-zwischenstands/
#13 Tox
21. Januar 2020

@Frank Wappler

Naja — sie sind so “gerutscht”, dass sie als meine Antwort auf Deinen Kommentar (vom 13. Januar 2020) immerhin öffentlich und für Dich auffindbar sind;

Warum wäre eine Antwort im selben Thread nicht öffentlich und/oder für mich nicht auffindbar?

das in #8 zitierte Axiom der Relativitätstheorie

Welches Axiom wäre das?

Seit wann liest Du schon (zumindest einige) “ScienceBlogs”-Artikel bzw. die jeweils anschließenden Kommentare (oder zumindest einige davon) ?

Warum ist das relevant?
#14 Frank Wappler
21. Januar 2020

Tox schrieb (#13, 21. Januar 2020):
> [»das in #8 zitierte Axiom der Relativitätstheorie«] Welches Axiom wäre das?

Das war im Kommentar #8 zwar schon ziemlich unübersehbar formatiert und zum Nachlesen in Einsteins entsprechendem Originalartikel verlinkt dargestellt, aber ich wiederhole es gerne:

»Alle unsere zeiträumlichen Konstatierungen laufen stets auf Bestimmungen zeiträumlicher Koinzidenzen hinaus.«

Einstein nennt dort im Anschluss das Anwendungs-Beispiel (von Koinzidenz-Bestimmungen hinsichtlich) “Begegnungen mehrerer [identifizierbarer] materieller Punkte” (wie sie z.B. in der “Marzke-Wheeler-Uhren-Konstruktion” ausdrücklich benutzt werden);
ein ergänzendes Anwendungs-Beispiel sind Koinzidenz-Bestimmungen hinsichtlich mehrerer unterscheidbarer Wahrnehmungen jeweils eines bestimmten Beobachters (insbesondere in Einsteins Definition zur Feststellung von Gleichzeitigkeit, und z.B. auch in Synges “Five-Point Curvature Detector”).

Für die “zeiträumlichen” (geometrischen bzw. kinematischen) Messgrößen bzw. Begriffe der Relativitätstheorie, wie z.B. dem von Dir zuerst aufgegriffenen Begriff “Geradenstück”, müssen also jeweils konkrete Definitionen festgesetzt sein, die ausdrücklich auf Koinzidenz-Bestimmungen hinauslaufen (und somit, um Einstein erneut zu zitieren, “die Methode an die Hand gibt, nach welcher im vorliegenden Falle aus Experimenten entschieden werden kann, ob” z.B. jeweils ein “Geradenstück” vorlag, oder nicht).

p.s.
> Warum wäre eine Antwort im selben Thread nicht öffentlich und/oder für mich nicht auffindbar?

Eine (Kommentar-)Antwort im selben Thread in Martin Bäkers ScienceBlog, in dem Du zuerst (9. Januar 2020) kommentiert hattest, wäre zweifellos (ebenfalls) öffentlich und für Dich auffindbar (sicherlich mindestens so gut wie mein Antwort-Kommentar #6 hier).
Aber ich habe meinen betreffenden Antwort-Kommentar eben nun mal nicht dort sondern hier (#6) eingereicht;
entsprechend meiner Absicht, in Martin Bäkers ScienceBlog bis auf Weiteres nicht (mehr) zu kommentieren,
die ich seit 2013 aufgrund der oben (#12) verlinkten Kommentare Martin Bäkers habe und verfolge. Hätte ich stattdessen versucht, meinen Kommentar dort einzureichen, wäre nämlich zu erwarten, dass er daraufhin nicht öffentlich und für Dich nicht als Antwort auffindbar geworden wäre.

> [»Seit wann liest Du schon (zumindest einige) “ScienceBlogs”-Artikel bzw. die jeweils anschließenden Kommentare (oder zumindest einige davon) ?«] Warum ist das relevant?

Diese meine Frage war eher eine rhetorische Brücke zu meinem Hinweis auf Kommentare, die schon vor einigen Jahren abgegeben wurden und die dem einen oder anderen ScienceBlogs-Leser deshalb nicht mehr erinnerlich oder noch ganz unbekannt gewesen sein mögen.
#15 Tox
22. Januar 2020

@Frank Wappler

[…] ich habe meinen […] Antwort-Kommentar […] nicht dort sondern hier […] eingereicht; entsprechend meiner Absicht, in Martin Bäkers ScienceBlog […] nicht (mehr) zu kommentieren, …

Das hättest du auch von Anfang an schreiben können. Das hätte uns beiden eine Menge Zeit gespart.

»Alle unsere zeiträumlichen Konstatierungen laufen stets auf Bestimmungen zeiträumlicher Koinzidenzen hinaus.«

Das ist nun wirklich kein “Axiom der Relativitätstheorie”.

Nachdem ich nun hier und bei den von dir verlinkten Artikeln ein paar Kommentare von dir gelesen habe, habe ich mich entschlossen, die Kommunikation mit dir einzustellen. Und anscheinend haben vor mir bereits andere die selbe Entscheidung getroffen. Du könntest dir vielleicht einmal überlegen, woran das liegen könnte, und ob dein Kommunikationsverhalten vielleicht nicht ganz optimal ist.
#16 Theorema Magnum – Mathlog
31. Januar 2021

[…] Der Wohlordnungssatz Schurs Lemma Der Spektralsatz für beschränkte Operatoren Der Satz von Riesz-Fischer Das Ritz-Verfahren Borels Gesetz der großen Zahlen Der algebraische Abschluß von Körpern […]