Are you such a dreamer
To put the world to rights?
I’ll stay home forever
Where two and two always makes a five

Radiohead: 2+2=5

Eine Abstimmung auf Twitter

Ich habe einen Würfel geworfen und ihn noch nicht angeschaut. Dann gilt mit mehr als 83 Prozent Wahrscheinlichkeit

Wenn die geworfene Augenzahl mit 2+2 übereinstimmt, dann ist sie gleich 5.

Für den Mathematiker nicht weiter aufregend, aber Timothy Gowers, der das am 18. Oktober als Frage auf Twitter stellte, bekam bemerkenswerte 67,8 Prozent falscher Antworten. Anscheinend folgen ihm nicht nur Mathematiker.

Nicht A oder B

In der Mathematik jedenfalls könnte man ohne die korrekte Definition der Subjunktion A\Longrightarrow B nicht arbeiten. Wenn man etwa sehen will, dass der {\bf R}^n ein topologischer Raum ist, muss man beweisen, dass die leere Menge offen ist. Dafür muss man beweisen, dass es zu jedem x\in\emptyset ein \epsilon>0 mit B(x,\epsilon)\subset\emptyset gibt…

Vor Jahrzehnten (in den 70er Jahren?) gab es mal in einer Mathematikolympiade eine Aufgabe, in der gefordert war zu zeigen, dass aus einer Ungleichung A verschiedener geometrischer Größen in einem 3-dimensionalen Objekt (ich glaube, ein Quader?) eine andere Ungleichung B folgt. Tatsächlich konnte man mit nichttrivialen Argumenten B aus A herleiten, man konnte aber auch einfach zeigen, dass Ungleichung A nie erfüllt sein kann. Reingefallen waren diejenigen Teilnehmer, die nur die Unmöglichkeit von Ungleichung B bewiesen und damit scheinbar die Aufgabe widerlegt hatten. (Auf https://mathematikalpha.de/wp-content/uploads/2019/09/Loesungen_MaOlympiade.pdf findet man – auf 2418 Seiten! – die Aufgaben und Lösungen der Olympiaden von 1960 bis 1994. Aber ich habe es nicht geschafft, die Aufgabe – an die ich mich noch aus einer alten „Alpha“ erinnere – dort wiederzufinden.)

Zwiedenk

Die Rechnung 2+2=5 ist heute vor allem bekannt als Motiv aus George Orwells Roman “1984”. Am Anfang der Handlung meint der Protagonist Winston Smith noch, Freiheit sei die Freiheit zu sagen, dass zwei plus zwei vier ergeben. Am Ende des Romans sitzt er in einem Café und zeichnet „2 + 2 = 5“ in den Staub auf seinem Tisch.

Positive Deutungen

Tatsächlich ist 2+2=5 als Mem schon sehr viel älter, es kommt bei Descartes und Bakunin vor, bei Moliére, Balzac und Dostojewski. Die englisch-sprachige Wikipedia (wie auch die meisten anderen Sprachversionen, jedoch nicht die deutsch-sprachige) hat einen langen Artikel über 2+2=5.

Bemerkenswert ist die positive Umdeutung von 2+2=5 für den sowjetischen Fünfjahrplan:

“Арифметика встречного промфинплана” heißt “Arithmetik des industriellen Finanzplans”, “плюс энтузиазм рабочих” bedeutet “plus Enthusiasmus der Arbeiter”. Gemeint sind Jahre, der Fünfjahrplan sollte in vier Jahren erfüllt werden. Es soll dieses Plakat gewesen sein, was Orwell zur Verwendung der Gleichung motivierte.

Eine andere positive Deutung stammt von Antonio Spadaro, einem der Autoren von “Amoris laetitia”, dem Schreiben, mit dem Papst Franziskus 2016 “mehr Barmherzigkeit in der Anwendung der kirchlichen Morallehre zulassen” wollte. Er erkl\”arte damals auf Twitter: “Theologie ist nicht Mathematik. 2 + 2 kann in der Theologie 5 ergeben. Weil sie mit Gott und dem wirklichen Leben der Menschen zu tun hat”.

Eine ganz andere Debatte hat vor drei Monaten Laurie Rubel (Professorin für Mathematikdidaktik an der City University of New York) angesto\ss en, ebenfalls auf Twitter: “2+2=4 reeks of White supremacist patriarchy”. [2+2=4 stinkt nach weißer supremazistischer Hierarchie]

Auch bei Vadim Shershenevich hatte die Falschrechnung eine positive Bedeutung. Bei ihm war es allerdings nicht die Addition, sondern die Multiplikation: “2 x 2 = 5” nannte er sein 1920 erschienenes Manifest des Imaginismus, der kurzlebigen russischen Variante des Imagismus.

Und “deux et deux font cinque” ist der Titel einer Textsammlung von Alphonse Allais (1895), in der dann aber überhaupt keine Zahlen vorkommen.

Fehler im Weltgewebe

Gewollte Falschrechnungen in der Werbung sind wohl nicht so häufig. Leser der scienceblogs wiesen immerhin auf dieses Plakat aus dem Jahr 1955 hin. Es ging um einen Dreizylinder, der sich fahre wie ein Sechszylinder.

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Kommentare (39)

  1. #1 Engywuck
    12. Dezember 2020

    Das Problem ist in der eingangs gestellten Frage eher, dass die Mathematiker Umgangssprache verwenden und dann von der Normalbevölkerung verlangen, das so zu interpretieren, wie es ein Mathematiker nach etlichen Jahren Ausbildung interpretiert.
    (eigentlich ist die Prämisse ja sogar immer falsch, da ein Standard-Würfel nicht “2+2” sondern “4” (bzw. 4 Punkte) anzeigt)

  2. #2 Jolly
    12. Dezember 2020

    “2+2=4 reeks of White supremacist patriarchy”

    So ist es, wie man hier sehen kann: Alternative Math (Kurzfilm, ca. 9 min). 2 + 2 = 22

    PS. Thilo, ein Hinweis auf deine beiden Beiträge zum gleichen Thema im Oktober und November könnte möglicherweise noch mehr Verwirrung verhindern, glaubte ich selbst zunächst an ein Déjà-vu.

    PPS.
    Dank an @viktualia für den Hinweis zum Film (erst gestern, an anderem Ort, in anderem Zusammenhang).

  3. #3 Thilo
    12. Dezember 2020

    Ja, ich hatte die meisten der Themen hier schon. Das hier ist ein Entwurf für einen Artikel in den DMV-Mitteilungen, wo ich immer eine Kolumne mit einigen meiner Blogthemen der jeweils letzten drei Monate habe,

  4. #4 Markus
    13. Dezember 2020

    Es tut mir ja echt Leid, aber auch mit abgeschlossem Informatikstudium verstehe ich die Frage nicht. Leider versucht ja auch der Autor nicht im geringsten zu erklären wo der Fehler der 67,8% liegt. Es muss also völlig offensichtlich, ich daher dumm, sein…

    Wäre bitte jemand so nett mir zu erklären, wir die Aussage 2+2 = 5 zu interpretieren ist, damit sie “wahrscheinlich wahr” ist?

  5. #5 rolak
    13. Dezember 2020

    erklären, wir wie

    Leichte Übung, wird in jenem Kommentar ganz ohne kocken dargelegt.

  6. #6 Thilo
    13. Dezember 2020

    Die Aussage ist ja nicht 2+2=5, sondern “wenn ich 2+2 gewürfelt habe, dann habe ich 5 gewürfelt”, also “wenn ich 4 gewürfelt habe, habe ich 5 gewürfelt”. Das ist mit 83-prozentiger Wahrscheinlichkeit richtig, denn so groß ist die Wahrscheinlichkeit keine 4 zu würfeln.

  7. #7 Christian
    13. Dezember 2020

    Ich verstehe es immer noch nicht.
    Wenn der erste Teil der Wenn-Dann-Aussage (also der Wenn-Teil), wahr ist, kann doch der Dann-Teil nicht wahr sein, da 4 ungleich 5
    Wenn der Wenn-Teil jedoch falsch ist (ich also keine 4 gewürfelt habe), dann ist der Dann-Teil irrelevant, weil sich die Aussage nur auf Würfelausgänge mit 4 beschränkt.
    Ich versteh es einfach nicht… *seufz

    Und jetzt habe ich auf rolaks Verlinkung in #5 nachgeschaut.
    Logisch erscheint mir diese Aussagenlogik immer noch nicht, aber ich kann sie als Grundlage akzeptieren.
    Hilft mir das weiter?
    Ich hoffe nur, meine Jungs wollen sowas mal nicht erklärt haben. Weil ich dann nur antworten kann: “Ist halt so definiert.”

  8. #8 Andromed
    13. Dezember 2020

    Selbst bei einem “Aussagenlogik-Problem” stimmt die 83 %ige Wahrscheinlichkeit nicht, das daraus 5 hervorgeht. Wenn eine 83 %ige Wahrscheinlichkeit hervorgeht, das nicht 4 hervorgeht, dann bleiben immernoch x andere Möglichkeiten, die wiederum nicht 5 ergeben.

    Das bei der Annahme, das, wenn nicht eine Aussage korrekt ist, dann alle anderen Aussagen gleich korrekt sind, funktioniert auch mathematisch nicht. Aber vielleicht funktioniert sie “politisch”?

    Das wäre dann die Variante aus “1984”, wo es vollkommen egal ist, was irgendwer darüber sagt (oder denkt), sondern immer die Aussage wahr ist, die der jeweilige Aussagende gerade nicht präferiert – es sei denn, es ist der Herrschende, der aussagt, das die logische Aussage eben falsch sei.

    @ #7 Christian
    13. Dezember 2020

    Ist halt so definiert

    Nein, in der 1984-Szenerie geht es ja praktisch darum, das die (Logik-)Definition keine Rolle spielt. Eigenmächtige Definitionen sind in autoritären Verhältnissen auch unter Anwendung der logischsten Logik nämlich unerwünscht. Denn es herrscht das Diktat, das der einzelne nie Definitionshoheit haben darf. Ausser vielleicht der Diktator selbst.

    Insofern die Fortführung der theologischen Dogma-Ideologie, in der alles von Gott ausgeht, woraufhin der Einzelne leider hinnehmen muß, was sein soll (und nicht, was ist).

  9. #9 Andromed
    13. Dezember 2020

    @ #1 Engywuck
    12. Dezember 2020

    Das Problem ist in der eingangs gestellten Frage eher, dass die Mathematiker Umgangssprache verwenden …

    Ich bin nicht sicher, ob die Lösung aus dieser Szenerie die Sache besser macht. Denn eine mögliche Auflösungsvariante gibt es hier: https://scienceblogs.de/mathlog/2020/10/20/unwahrscheinlich-wahrscheinlich

    … und sie macht es kaum besser verständlich:

    Auflösung: … Hier noch mal offiziell (die Auflösung): die Implikation “wenn A, dann B” ist logisch äquivalent zu “(nicht A) oder B”. Zum Beispiel wäre “”wenn 2+2=5, dann X” korrekt für jede Aussage X, unabhängig von deren Wahrheitsgehalt. Im Fall, dass eine von 4 verschiedene Zahl geworfen wird, ist die Aussage “wenn die geworfene Augenzahl mit 2+2 übereinstimmt, dann X” also wahr. Wenn eine 4 beworfen wird, ist sie natürlich falsch. Die Wahrscheinlichkeit, eine 4 zu werfen, beträgt 1/6, die Wahrscheinlichkeit für eine andere Zahl 5/6. Mit Wahrscheinlichkeit 5/6 ist die Antwort also richtig.

    Mathematisch kann man ausgezeichnet “beweisen”, das der Unterschied zwischen Formallogik und Wirklichkeitslogik nicht trivial ist. Und das es immer einen “Besserwisser” gibt, der es besser zu wissen glaubt. Was den Mathematiker natürlich nicht ausschliesst.

  10. #10 HerrXYZ
    13. Dezember 2020

    Sorry, trotz aller Erklärungen und einem naturwissenschaftlichen Studium verstehe ich das immer noch nicht. In “meiner” Logik ist eine Aussage “wenn a, dann b” grundsätzlich richtig oder falsch, unabhängig davon, ob und wie wahrscheinlich a auftritt.
    Wenn ich einen Würfel nehme, auf dem nur die Zahl 2 ist, dann wäre “wenn ich 2+2 gewürfelt habe, dann habe ich 5 gewürfelt” also falsch. Aber je mehr Zahlen auf dem Würfel sind, desto ” richtiger” wird die Aussage? Die Aussage “wenn ich ein Schnitzel esse, verwandelte ich mich in ein Schwein” wird dadurch richtig, dass ich Vegetarier bin? Klingt für mich alles unlogisch. 😉

  11. #11 Thilo
    13. Dezember 2020

    Wenn Sie eine andere Zahl als 4 gewürfelt haben, dann ist die Aussage „Wenn ich eine 4 gewürfelt habe, habe ich eine 5 gewürfelt“ richtig. Und das tritt mit 83-prozentiger Wahrscheinlichkeit ein.

  12. #12 hwied
    13. Dezember 2020

    Das ist das Elend der Mathematik, dass sie immer und immer nur abstrahiert und nicht in die Zukunft schaut.
    Jedes Liebespaar weiß, dass 1 + 1 = 3 ist.
    Oder ganz aktuell, die Geburt von Jesus in Nazareth.
    Hier galt 1 + 1 = 3

    Bei 2 + 2 = 3 müssen wir schon etwas mehr Phantasie aufbringen um das Ergebnis plausibel werden zu lassen. Wir nehmen 2 (Meeresschildkröten) + 2 (Hunde). Die Meeresschildkröten legen 2 x 100 Eier = 200 Eier.
    Der eine Hund frisst 100 Eier und stirbt daran. Der zweite Hund frißt 97Eier und stirbt. Die zwei Schildkröte werden von Tierfängern gefangen und im sterben im Hamburger Zoo. aber das alles interessiert den Mathematiker nicht, der stellt nur fest
    2 (Schildkröten) + 2 (Hunde) = 3 (Eier)
    Das Drama , dass sich im Pluszeichen verbirgt, das erfährt der Leser nicht.
    Was sich hinter 2 + 2 = 5 verbirgt, das erfährt der geneigte Leser beim nächsten Kommentar.

  13. #13 Christian
    13. Dezember 2020

    Danke für die Erklärung @ Thilo #11 und rolak #5

    Da ist in meiner Schulausbildung und angewandt-naturwissenschaftlichem Studium etwas an mir vorbeigegangen.

    Frage: Kann für mathematische Laien es verständlich erklärt werden, wie es zu dieser Definition oder Konvention in der Aussagenlogik kommt?
    Die Bedingung enthält eine Unmöglichkeit (wenn 4 gewürfelt, dann habe ich eine 5 gewürfelt); andererseits hat das Alternativereignis (ich habe keine 4 gewürfelt) beim Würfeln 5 verschiedene Ausprägungen, von denen die 5 nur eine ist.
    Wäre somit die Aussage “wenn ich 2+2 gewürfelt habe, dann habe ich 5 gewürfelt” einfach nicht definiert (analog zur Division durch 0)?

    @Thilo: Kannst Du eine gute Einführung in Aussagenlogik für Nichtmathemathiker empfehlen? Vielen Dank dafür.

    @Andromed #8: Es geht mir nicht um “1984”.

  14. #14 HerrXYZ
    13. Dezember 2020

    @Thilo (#11): das habe ich verstanden. Mein Problem ist ein anderes. Da ich mein Problem immer noch habe und du dies nicht verstehst, befürchte ich, dass Mathematiker und Nicht-Mathematiker (oder nur ich?) auf verschiedenen Ebenen reden.

  15. #15 Thilo
    13. Dezember 2020

    Auf einem Würfel, der nur eine 2 hat, wäre die Aussage zu 100% richtig. auf einem Würfel, der die Zahlen 1 bis 4 hat, wäre sie mit 75% Wahrscheinlichkeit richtig. Die Aussage “aus A folgt B” ist nur dann zu widerlegen, wenn A eintrifft, B aber nicht. Hier also, wenn eine 4 gewürfelt wird.

  16. #16 HerrXYZ
    13. Dezember 2020

    Danke, Thilo, für die ständigen Antworten. Auch das habe ich verstanden. Mein Problem ist, dass es für mich nicht logisch ist. In meiner beschränkten Welt ist etwas richtig oder falsch. Ob es richtig oder falsch ist, hängt für mich nicht vom Würfel ab, den ich benutze oder welche Zahl ich gerade werfe. Das sollte mein ausgedachtes Schnitzel-Beispiel sagen. Entweder ich verwandele mich oder nicht, es sollte keinen Unterschied machen, ob ich Vegetarier bin oder nicht.

  17. #17 Wilhelm Leonhard Schuster
    Ansbach
    13. Dezember 2020

    Ich habe soeben ein großes Problem .
    Dieses scheint mir, sowohl mit, als auch ohne Mathematik nicht lösbar.
    Es ärgert mich maßlos eine Fliege.
    Frage : Wie erwische ich das Miststück?
    Ich kann die Flugbahn dieses Objektes nicht berechnen. Im Fluge erwischen?- Mein Radar sowie “Abwehrrakete ” (erwischen von Hand während des Fluges) sind nicht genügend flink.
    Es bleibt also : Fliegenklatsche , wenn sich das Objekt irgendwo auf etwa ebene Fläche hinsetzt.
    Aber wo sich das Biest demnächst niederläßt,
    kann ich nicht wissen, berechnen, oder erahnen!
    Ein Lockmittel, habe ich im Moment nicht zur Hand!

    Früher , war ich noch reaktions schnell.
    Jede sitzende Fliege, habe ich per schließen der Hand und schneller Armbewegung in der hohlen Hand, gefangen und ersäuft.-(Aber das war einmal!)
    Nach Jahren ist mir soeben erstmals gelungen das Vieh einzusperren.
    Aber Oweh , da ich mathematisch und der Wahrscheinlichkeitsrechnung nach, nicht mehr an Erfolg geglaubt habe, ist mir das Vieh wieder entkommen.
    Und wie mich das Luder auslacht !
    Vor meinen Augen schnurrt und brummt es hin und her!
    (Die Feuchtigkeit des Auges mag sie und zieht sie an.)

    Eins erstaunt mich immer wieder: Wie schnell die kleinen Viecher doch reagieren können, so sie angegriffen werden. Die müssen einen extrem kleinen guten Computer haben, der ” 2+2=5 ” , nicht zuläßt!

    lol

  18. #18 hwied
    14. Dezember 2020

    Christian,
    Wenn es um Logik geht, dann glaubt jeder kompetent zu sein, denn Denken kann jeder.
    Hier geht es jedoch um Aussagenlogik und die stimmt nicht immer mit der Alltagslogik überein.
    Um gleich mal mit der Axt zu kommen. Die Aussage:
    „Wenn der Himmel gelb ist, dann geht meine Uhr nach“, diese Schlussfolgerung (Implikation) ist richtig (wahr), wenn der Himmel tatsächlich gelb ist und die Uhr tatsächlich nachgeht.
    Geht die Uhr aber genau, dann ist die Schlussfolgerung falsch. (Verrückt oder ?) Und jetzt wird es noch toller.
    Wenn der Himmel nicht gelb ist und deshalb die Uhr nicht nachgeht, dann ist die Schlussfolgerung richtig. Anmerkung , klingt noch logisch, Sie ist aber auch richtig, wenn der Himmel nicht gelb ist und die Uhr genau geht. ??
    Du siehst mit Alltagslogik bist du noch kein Logiker.
    Und jetzt kommt die Auflösung.
    Bei der Aussagenlogik geht es gar nicht um den Inhalt der Aussage , sondern es geht nur um die Beziehung der Eingangsbehauptung zur Folgebehauptung.
    Grundregel: Wenn die Eingangsbehauptung falsch oder gelogen ist, dann ist die Schlussfolgerung immer richtig.
    Wenn die Eingangsbehauptung wahr ist und die Folgebehauptung als wahr angesehen wird, dann ist die Schlussfolgerung auch wahr. (Das ist der häufigste Fall, der auch mit der Alltagslogik übereinstimmt)
    Wenn aber die Eingangsbehauptung wahr ist und die Folgebehauptung falsch ist, dann gilt die Schlussfolgerung als falsch.
    Jetzt mal ein Test
    Behauptung A : Der Himmel ist blau. Folgebehauptung B es donnert. Beide Behauptungen sind wahr.

    Du musst jetzt entscheiden ob die Schlussfolgerung richtig oder falsch ist.
    1) Wenn der Himmel nicht blau ist, donnert es. Richtig oder falsch ?
    2) Wenn der Himmel nicht blau ist , donnert es nicht.
    3) Wenn der Himmel blau ist, donnert es.
    4) Wenn der Himmel blau ist, donnert es nicht.

    Tipp: nur in einem Fall ist die Schlussfolgerung falsch.

    Und jetzt zu 2+2=5
    Ist diese Eingangsbehauptung richtig oder falsch ?
    Und was folgerst du daraus ?

  19. #19 Jolly
    14. Dezember 2020

    Brandaktuelle Falschrechnung:

    Offizielle Nachspielzeit (Minuten): 5
    Der Nachschlag in der WWK-Arena soll 180 Sekunden betragen.

    Quelle: Spiegel Liveticker

  20. #20 HerrXYZ
    14. Dezember 2020

    @hwied: dein Post war zwar nicht an mich gerichtet, hat mir aber trotzdem sehr geholfen! Der (nochmalige) Hinweis, dass sich Aussagen- und Alltagslogik unterscheiden können, war der entscheidende Tipp. Das waren glaube ich die unterschiedlichen Ebenen von denen ich oben sprach und die ich nicht verstanden habe. Ich glaube, jetzt habe ich es verstanden. Danke!

  21. #21 Engywuck
    14. Dezember 2020

    das war es was ich meinte: die Mathematiker verwenden Alltagssprache, meinen aber Aussagenlogik

    Warum sich Mathematiker darauf versteifen, ihre Konzepte falsch in Alltagssprache zu übersetzen und dann erstaunt darüber zu sein, dass der Alltagsmensch diese Übersetzung falsch versteht habe ich bis heute nicht verstanden.

    (btw: ich bleibe dabei, dass die aussagenlogische Variante der Aussage sogar zu 100% korrekt ist, da ein Würfel eine “4” und keine “2+2” anzeigt…)
    (Anmerkung2: wie sähe es mit “genau dann, wenn die geworfene Augenzahl eine ‘4’ ist, ist sie eine ‘5’” aus?)

  22. #22 rolak
    14. Dezember 2020

    die Mathematiker verwenden

    Annersrum: Die Lesenden einer MatheAufgabe interpretieren das Gelesene fälschlich als Alltagssprache. Entspricht dem ewigdämlichen und dennoch andauernd zu hörenden ‘aber das ist doch nur eine Theorie’ im NawiBereich.
    Kannste doch oben bewundern: “für mich nicht logisch” ist auch bloß eine ad ig-Variante.

  23. #23 hwied
    14. Dezember 2020

    Herr XYZ,
    Mit dieser Einsicht, können wir logische Spiele machen.

    Ausgangspunkt 2 + 2 = 5
    Die findet ihre Entsprechung bei den Kammmachern.
    Vor 40 Jahren hat man noch damit geworben, dass ein Kamm gesägt und nicht gepresst wurde.
    “Echt Zelluloid gesagt”, das waren die teuren Kämme.
    Wenn ich also mit einem Sägeschnitt beginne, dann gilt 1 = 2 (Ich habe 2 Zinken, außen mitgerechnet) mache ich zwei Sägeschnitte, dann bekomme ich 3 Zinken , es gilt 2 (Sägeschnitte) = (ergeben ) 3 (zinken)
    Bei 2 + 2 (Sägeschnitten) sind es 5 (Zinken)
    2 + 2 = 5
    Und jetzt lassen wir die Mathelogik ran.
    Wir multiplizieren beide Seiten mit 10
    20 + 20 = 50
    Mit 40 Sägeschnitten bekommen wir 50 Zinken. Ist doch mathematisch richtig !
    Wenn wir die Zinken aber nachzählen, dann sind es nur 41. Wo steckt der Fehler ?

  24. #24 HerrXYZ
    14. Dezember 2020

    @rolak: nicht, dass meine Posts falsch rüberkommen… Ich wollte mit “für mich nicht logisch” nicht die Falschheit “beweisen”, sondern aufzeigen, dass es für mich Widersprüche gibt, ich also etwas nicht ganz verstanden habe.

    @hwied: ich bin raus. Muss jetzt schließlich mal arbeiten. 😉

  25. #25 hwied
    14. Dezember 2020

    Thilo ,
    alternative Erklärung zur Weihnachtszeit,
    Wenn man Kleinkinder in einem Spiel vor die Wahl stellt: Willst du lieber 2 Würfel mit einer 2 oder willst du lieber 1 Würfel mit einer 5 ? Dann nehmen 83 % der Kinder die zwei Würfel mit je einer 2.
    Vorbedingung: Man braucht 100 Kinder und 200 Würfel für diesen Versuch. Wenn nur 17 Würfel übrig bleiben, dann kann man sicher sein, dass man eine 5 gewürfelt hat. (Sollte man mal ausprobieren )
    Thema: Kinder und die Wahrscheinlichkeit.

  26. #26 Frank Wappler
    14. Dezember 2020

    Thilo schrieb (12. Dezember 2020):
    > […] Wenn man etwa sehen will, dass der {\bf R}^n ein topologischer Raum ist,

    Der {\bf R}^n” (als Grundmenge) zusammen mit konkret welchem auf der Grundmenge festgelegtem System “offener Mengen” (als “dessen” Topologie) ??

    > muss man beweisen, dass die leere Menge offen ist.

    (Zumindest ist ein ausdrücklicher Beweis dafür erforderlich, falls die Festlegung des in Betracht gestellten Mengensystems die leere Menge nicht von vornherein ausdrücklich einschließt.)

    > Dafür muss man beweisen, dass es zu jedem x \in \emptyset ein \epsilon > 0 mit B(x,\epsilon)\subset\emptyset gibt…

    Diese Aussage bzw. Schlussfolgerung wäre als Beweis (für die Mitgliedschaft der leeren Menge im in Betracht gestellten Mengensystem) relevant, falls dieses Mengensystem \mathcal T beispielweise folgendermaßen definiert bzw. festgesetzt wäre:

    \mathcal T := \{ t \in \text{Potenzmenge}[ \, {\bf R}^n \, ] \, | \, \forall \, x \in t \, \exists \, \epsilon > 0 : B[ \, x, \epsilon \, ] \subset t \}.

  27. #27 Thilo
    14. Dezember 2020

    mit der üblichen Definition offener Mengen im R^n, die Ihnen ja offensichtlich bekannt ist

  28. #28 Frank Wappler
    15. Dezember 2020

    Thilo schrieb (#27, 14. Dezember 2020):
    > [ » “Der {\bf R}^n” (als Grundmenge eines topologischen Raumes) zusammen mit konkret welchem auf der Grundmenge festgelegtem System “offener Mengen” (als “dessen” Topologie) ?? « …] mit der üblichen Definition offener Mengen im R^n, die Ihnen ja offensichtlich bekannt ist

    Offensichtlich bekannt ist die Möglichkeit Topologien aus einer (bestimmten, geeigneten, jeweils vorab definierten) Basis offener Mengen zu konstruieren; und zwar durch die Konstruktionsvorschrift, dass jedes Element der Topologie als die Vereinigung (Union) jeweils einer bestimmten (aber nicht unbedingt eindeutig bestimmten) Auswahl von Basis-Mengen (ausdrücklich einschl. der Auswahl gar keiner dieser Basis-Mengen) konstruiert ist.

    Die leere Menge gehört damit zwangsläufig zu der/jeder derart konstruierten bzw. definierten Topologie, weil die Definition der Vereinigung (von bestimmten Mengen) einschließt, dass die Vereinigung gar keiner Menge(n) die leere Menge ergibt/ist.

    (Und nicht etwa weil, wie im obigen ScienceBlog-Artikel angegeben, sich beweisen ließe, “dass es zu jedem x \in \emptyset ein \epsilon > 0 mit B(x,\epsilon)\subset\emptyset gibt…”.)

  29. #29 hwied
    15. Dezember 2020

    Frank Wappler,
    x \in \emptyset , das gibt es nicht. Das Wesen der leeren Menge ist, das sie keine Objekte “beherbergt”.
    In meiner Vorstellung hat sie nur 2 Eigenschaften: Sie ist leer und es gibt sie nur einmal.

  30. #30 Thilo
    15. Dezember 2020

    Klassisch definiert man offene Mengen im R^n als diejenigen, bei denen es um jeden Punkt eine epsilon-Kugel gibt. Und man will dann gerne wissen, dass diese klassische Definition mit anderen Definitionen übereinstimmt.

  31. #31 Frank Wappler
    15. Dezember 2020

    Thilo schrieb (#30, 15. Dezember 2020):
    > Klassisch definiert man offene Mengen im R^n als diejenigen, bei denen es um jeden Punkt eine epsilon-Kugel gibt. […]

    Gemeint ist vermutlich nicht: “Es gibt um jeden Punkt epsilon-Kugeln; also ist jede beliebige Menge von Punkten eine offene Menge”;
    sondern eher: “Für jeden Punkt des R^n und jeden positiven Wert epsilon ist die epsilon-Kugel um diesen Punkt jeweils eine offene Menge”.

    Letzteres beschreibt das Mengensystem offener \epsilon-Kugeln, das, als Basis-Mengensystem genommen, die Euklidische_Topologie (auf {\bf R}^n) erzeugt.

    Und zwar vermittels der schon oben (#28) verlinkten Erzeugungs- bzw. Konstruktionsvorschrift (“Vereinigung von Basis-Mengen; einschl. Vereinigung gar keiner Mengen” ); vgl. auch https://de.wikipedia.org/wiki/Basis_(Topologie)#Definition.

    > Und man will dann gerne wissen, dass diese klassische Definition mit anderen Definitionen übereinstimmt.

    Sofern es darum geht, dass zu den aus dem o.g. Basis-Mengensystem erzeugten Mengen auch die leere Menge gehört (und die Gesamtheit der so erzeigten Mengen in dieser Hinsicht die Eigenschaften einer Topologie hat und deshalb auch mit denkbaren anderen Topologien übereinstimmt), ist das eine direkte Konsequenz der Erzeugung von Mengen durch Anwendung der genannten Vorschrift, in Anwendung der oben (#28) verlinkten Definition des Begriffes bzw. der Operation “Vereinigung (von bestimmten Mengen, bzw. von gar keiner Menge)”.

    Ein zusätzlicher Beweis ist dafür weder erforderlich, noch durch die im obigen ScienceBlog-Artikel angegebene Aussage “dass es zu jedem x \in \emptyset ein \epsilon > 0 mit B(x,\epsilon)\subset\emptyset gibt…” geleistet.

  32. #32 Frank Wappler
    15. Dezember 2020

    hwied schrieb (#29, 15. Dezember 2020):
    > Frank Wappler, x \in \emptyset , das gibt es nicht.

    Ich weise darauf hin, dass die LaTeX-Befehl-Phrase “x \in \emptyset” schon im obigen ScienceBlog-Artikel auftritt, und ich sie lediglich (mehrfach) daraus zitiert habe, und zwar ausnahmslos im Zusammenhang des insgesamt zitierten Halbsatzes, der sie enthält.

    Im Übrigen habe ich auch die LaTeX-Befehl-Phrase “\subset \emptyset” aus dem obigen ScienceBlog-Artikel auf diese Weise zitiert, obwohl ich deren ausdrücklichen Gebrauch für mich selbst möglichst vermeiden würde.

    > Das Wesen der leeren Menge ist, das sie keine Objekte “beherbergt”.

    Stimmt zwar.
    Wenn aber Aussagen über “keine Objekte” gemacht werden sollen (wie im nahegelegten Beispiel: »Keine Objekte werden von der leeren Menge beherbergt.«), dann bietet sich die (als LaTeX-Befehl-Phrase formatierte) Formulierung “\forall x \in \emptyset” zumindest als Symbolik for “keine Objekte” an.

    Die Gesamtaussage »Keine Objekte werden von der leeren Menge beherbergt.&#171 wäre entsprechend als

    \forall \, x \in \emtyset : x \in \emtyset

    symbolisierbar;
    und es ließe sich gewiss noch etliches Weitere über “keine Objekte” aussagen und aufschreiben.

    Nun kann man sich zwar vornehmen, zumindest den ausdrücklichen Gebrauch der genannten Phrasen zu vermeiden, und stattdessen konsequent z.B.

    \forall \, x \in \{ 1, 2, 3 \} : \text{ not}[ \, x \in \emtyset \, ]

    und

    \emptyset \subseteq \emptyset

    zu schreiben. Aber es treten ja auch “Variable” auf …
    … also Symbole, die insbesondere jeweils eine bestimmte Menge symbolisieren (sollen), von der zunächst oder überhaupt gar nicht bekannt ist, ob diese Variable durch den Wert “leere Menge” instanziiert werden könnte. Bis jemand eine bessere Idee hat, scheint deshalb an dieser Stelle Toleranz geboten.

  33. #33 Frank Wappler
    15. Dezember 2020

    hwied schrieb (#29, 15. Dezember 2020):
    > Frank Wappler, x \in \emptyset , das gibt es nicht.

    Ich weise darauf hin, dass die LaTeX-Befehl-Phrase “x \in \emptyset” schon im obigen ScienceBlog-Artikel auftritt, und ich sie lediglich (mehrfach) daraus zitiert habe, und zwar ausnahmslos im Zusammenhang des insgesamt zitierten Halbsatzes, der sie enthält.

    Im Übrigen habe ich auch die LaTeX-Befehl-Phrase “\subset \emptyset” aus dem obigen ScienceBlog-Artikel auf diese Weise zitiert, obwohl ich deren ausdrücklichen Gebrauch für mich selbst möglichst vermeiden würde.

    > Das Wesen der leeren Menge ist, dass sie keine Objekte “beherbergt”.

    Stimmt zwar.
    Wenn aber Aussagen über “keine Objekte” gemacht werden sollen (wie im nahegelegten Beispiel: »Keine Objekte werden von der leeren Menge beherbergt.«), dann bietet sich die (als LaTeX-Befehl-Phrase formatierte) Formulierung “\forall x \in \emptyset” zumindest als Symbolik for “keine Objekte” an.

    Die Gesamtaussage »Keine Objekte werden von der leeren Menge beherbergt.« wäre entsprechend als

    \forall \, x \in \emptyset : x \in \emptyset

    symbolisierbar;
    und es ließe sich gewiss noch etliches Weitere über “keine Objekte” aussagen und aufschreiben.

    Nun kann man sich zwar vornehmen, zumindest den ausdrücklichen Gebrauch der genannten Phrasen zu vermeiden, und stattdessen konsequent z.B.

    \forall \, x \in \{ 1, 2, 3 \} : \text{ not}[ \, x \in \emptyset \, ]

    und

    \emptyset \subseteq \emptyset

    zu schreiben. Aber es treten ja auch “Variable” auf …
    … also Symbole, die insbesondere jeweils eine bestimmte Menge symbolisieren (sollen), von der zunächst oder überhaupt gar nicht bekannt ist, ob diese Variable durch den Wert “leere Menge” instanziiert werden könnte. Bis jemand eine bessere Idee hat, scheint deshalb an dieser Stelle Toleranz geboten.

  34. #34 hwied
    16. Dezember 2020

    F.Wappler,
    die leere Menge gibt es nur einmal ! Man darf deshalb keine Gleichung schreiben in der Form leere Menge = leere Menge.(Meine Meinung)
    Die leere Menge hat sich auch nicht selbst als Element.
    Element ist der Fachbegriff! Ich habe fälschlicherweise Objekt geschrieben.

  35. #35 Aspie Hopping
    16. Dezember 2020

    Spielregeln:
    Eine Kandidatin sieht 3 geschlossene Türen.
    Hinter einer Tür ist ein nobles Tesla-Auto.
    Hinter den 2 anderen Türen ist jeweils eine Ziege.
    Wenn die Kandidatin sich für ihre Tür entscheidet, bleibt diese geschlossen und der Moderator muss eine andere Tür öffnen, hinter der eine Ziege ist.

    Kandidatin wählte Tür 1.
    Moderator öffnete Tür 3 und zeigt ihr eine Ziege, was mathematisch-abkürzend als M3 bezeichnet wird.
    Kandidatin beobachtete somit M3.

    Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dassTür 2 (A2) zum noblen Auto führt?

    Mathematische Formel für die Bayes-Lösung des Rätsels:
    p(A2|M3) = N1 / N2
    N1= p(M3|A2) * p(A2)
    N2= p(M3|A2) * p(A2) + p(M3|A1) * p(A1) + p(M3|A3) * p(A3)

    p(M3|A2) = 1 weil der Moderator wegen der Spielregeln nur Tür 3 öffnen darf
    p(A2) = p(A1) = p(A3) = 1/3 weil sich 1 Auto hinter einer von 3 Türen befinden muss
    p(M3|A1) = ½ weil der Moderator zufällig Tür 2 oder Tür 3 wählt
    p(M3|A3) = 0 weil der Moderator der Kandidatin das Auto nicht schenken darf

    p(A2|M3) = 1/3 / ( 1/3 + 1/6) = 2/3

    Das noble Auto hinter der vom Moderator nicht gewählten Tür 2 zu finden, ist doppelt so groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass sich das noble Auto hinter der von der Kandidatin gewählten Tür 1 befindet.

    Wählte die Kandidation Tür 2 und verhinderte der Moderator das sofortige Öffnen von Tür 2 mit psychologischen verunsichernden Monologen, strebt die Betrugswahrscheinlichkeit gegen 1, je öfter das Hinhalte-Spiel gespielt wird, was letztendlich einen Staatsanwalt triggert, der aus 2 Gründen inoffiziell für die Absetzung dieses Spiels sorgt, und der 2te Grund ist, dass Gewinne von Spielen, die keine Glücksspiele sind, zu versteuern sind.

    Aus Gleichberechtigungsgründen spielt Thilo in einem modifizierten Spiel als der Kandidat mit.
    Hinter jeder Tür liegt 1 idealer sechsseitiger Mathe-Würfel auf dem Boden, mit dem er jeweils würfeln muss.
    Er würfelt mit verbundenen Augen hinter 6 geschlossenen Türen.
    Die Moderatorin notiert jedes Würfel-Ergebnis.
    Dann wird er vor die geschlossenen Türen geführt, wo ihm die Augenbinde abgenommen wird.
    Moderatorin: „Thilo, hinter einer der verschlossenen Türen, die du öffnen sollst, stimmt eine gewürfelte Augenzahl mit 2+2 überein.
    Thilo wählt eine Tür, die vorerst geschlossen bleibt.
    Die Moderatorin, die Thilo’s Würfel-Ergebnisse kennt, weil sie keine Augenbinde trug, öffnet eine Tür, hinter der wegen der Spielregeln nicht 2+2 aber die Augenzahl 5 beobachtet wird.
    Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Thilo mit seiner gewählten Tür 2+2 findet oder wird Thilo sich anders entscheiden und sich für eine der 4 nicht ausgewählten Türen entscheiden, weil er eine höhere Wahrscheinlichkeit berechnet hat?

    Wetten, dass Thilo weder die Formel noch das Ergebnis in seinem Blog bloggen darf?

  36. #36 hwied
    16. Dezember 2020

    Aspie Hopping,
    Bei dieser Show geht es um Geld, Liebe und Wahrscheinlichkeit.
    Soll der männliche Moderator gewinnen ? Nein, denn es geht ja um die Glaubwürdigkeit der Show.
    Also, die Information ,hinter welcher Tür die 4 versteckt ist, die steckt in der Aufforderung „Thilo, hinter einer der verschlossenen Türen, die du öffnen sollst……“
    Steht Thilo an erster Stelle, dann ist es Tür 1, steht er an letzter Stelle, dann ist es Tür 6.
    Lässt sie Thilo weg und spricht ihn im Nebensatz mit du an, dann ist es Tür 2, spricht sie ihn mit Sie an , dann ist es Tür 3.
    Jetzt sind noch 2 Türen unbestimmt, Tür 4 und 5.

    eine davon hat die Moderatorin geöffnet . Sie sagt dann: „klugerweise hat Thilo die 5 hinter der Tür 5 plaziert „,um ihm ein Ansehen zu geben, und mich würde es nicht wundern, wenn er hinter der Tür 4 auch die 4 gewürfelt hat.
    Hier kann sich jetzt der Leser austoben und die Show mit Sex würzen, denn hinter der Tür 4 liegt kein Würfel, sondern steht eine bekannte Schönheit.

  37. #37 Frank Wappler
    16. Dezember 2020

    hwied schrieb (#34, 16. Dezember 2020):
    > […] die leere Menge gibt es nur einmal !

    In jedem Fall, im dem (gewissenhaft) von “der leeren Menge” oder von “einer leeren Menge” die Rede ist, sollte stets und eindeutig die selbe Menge gemeint und verstanden sein (nämlich diejenige, die keine Elemente, keinen Inhalt, nichts Identifizierbares außer ihrer Konstitution als “Menge” und als “leer” hat).

    (Ließe sich zum Beispiel vergleichbar sagen: “Die Zahl 5 gibt es nur einmal !” ? —
    Ich neige dazu anzunehmen: Ja; Zahlen kann und soll man sich so eindeutig vorstellen.)

    > Man darf deshalb keine Gleichung schreiben in der Form leere Menge = leere Menge.(Meine Meinung)

    Jedenfalls bin ich (auch) dafür, mit den Bezeichnungen “ein und dasselbe” und “verschieden, aber gleich” sorgfältig umzugehen; es ist besser (und richtig und üblich) zu sagen:

    “Mein Nachbar hat das gleiche Fahrrad wie ich.”

    und

    “zwei gleiche Portionen der selben Suppe aus dem selben Topf, auf zwei verschiedenen Tellern”

    usw.

    Die Fähigkeit zur Gegenüberstellung von “das Selbe” und “Verschiedenes” erscheint von vornherein selbstverständlich und notwendig.
    Ich wüsste nicht, wie man sie jemandem erklären bzw. beibringen könnte, von dem man nicht schon von vornherein voraussetzen könnte, diese Fähigkeit schon zu haben (zumindest im Prinzip, zumindest in eigener Terminologie, die ggf. nur noch passend zu übersetzen wäre); man kann sie wohl nur beispielhaft vorführen: »”Verschiedenes” und “das Selbe” ist nicht das selbe, sondern verschieden.”&#171

    Der Begriff “Gleichheit (von bestimmten Verschiedenen)” bzw. “Ungleichheit (von bestimmten Verschiedenen)” setzt dagegen i.A. die Definition und Festsetzung des jeweils betreffenden Maßes (Messgröße, Messoperation) voraus.

    Um Beispiele “aus der Mathematik” bzw. “wenigstens aus der Geometrie” zu nennen:

    – “Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines (ebenen) Dreiecks ist der selbe Punkt wie der Mittelpunkt des Inkreises dieses selben Dreiecks.”, bzw.

    – “Falls eine Seite eines bestimmten (ebenen) Dreiecks (o.B.d.A. Seite AB des Dreiecks \bigtriangle ABC) gleich lang wie eine Seite eines bestimmten anderen Dreiecks (o.B.d.A. Seite HJ des Dreiecks \bigtriangle HJK) ist, und falls die Dreiecks-Innenwinkel, die diesen beiden gleich langen Seiten jeweils gegenüberliegen (d.h. \angle ACB und \angle HKJ) gleich groß sind, dann haben die Umkreise dieser beiden Dreiecke gleich große Radien.”

    Es lässt sich auch entsprechend differenzierte Symbolik nutzen:

    – das Symbol = wird nun mal “ist gleich” gelesen, symbolisiert also den Vergleichsoperator (wie in \angle ACB = \angle HKJ),

    – und im Unterschied dazu benutze ich gerne das Symbol \equiv um “ist der selbe wie” usw. auszudrücken, also den Identitätsoperator zu symbolisieren
    (A \equiv A, A \not\equiv B).

    (Leider scheint diese Zuordnung aber z.B. nicht ganz derjenigen dieses historischen Vorbilds zu entsprechen …)

  38. #38 Aspie Hopping
    17. Dezember 2020

    Hwied,
    Timothy Gower definierte nicht, welchen Wert 2+2 haben soll.
    Auch im Nachhinein wurde uns die Definition des Mathematikers Timothy Gower durch den Mathematiker Thilo Kuessner nicht mitgeteilt, laut der p(A) größer als 0 und kleine als 1 sein soll, wobei A die Augenzahl ist, die wiederum eine von 6 Werten annehmen kann, solange man nicht hinschaut.

    Nicht-Mathematiker konnten nicht wissen, dass 2+2 ein Element der Menge {n: 1,2,3,4,5,6} sein muss, weil p(n) nicht gleich 0 sein soll, was für n>6 immer der Fall ist.
    Aus ihrer Sicht war die Antwort definitely false absolut richtig, weil bei fehlender Festlegung die Summe 2+2 gleich 18 sein darf und p(18) ist gleich 0 und somit ungleich 5 oder 1,2,3,4,6.

    Glücksspielkandidat Thilo weiß nicht, welchen Wert die Moderatorin aus der Menge {1,2,3,4,5,6} als Ergebnis für 2+2 definiert hat. Somit ist es egal, für welche Tür sich Thilo entscheidet, weil wegen Unwissens/Zufall die gleichgewichtende Wahrscheinlichkeitsrechnung für die 5 nicht geöffneten Türen gilt: p=1/5

    Wenn 2+2=B sein kann wobei B Element der Menge {1,2,3,4,5,6} sein muss, dann hat Timothy Gower von einem Rechenknecht (en: Minion) 36 Tabellen bzw. 216 Zeilen erstellen lassen und löschte 215 Zeilen bzw. ließ bei Twitter 1 von ihm zufällig ausgewählte Zeile interpretieren.

    Warum fallen in mündlichen Mathe-Prüfungen so viele durch?
    If interpretiert werden muss.

    Thilo kann uns nicht aufklären, dass offiziell nur 1+1 Falsches in Augsburg in einer mündlichen Mathe-Prüfung erlaubt ist, weil er das nicht darf 🙂
    Wer würde in Augsburg Mathe studieren, wenn 1 falsche Antwort gleich 3 Jahre Geldverschwendung ist? Richtig, nur GATTACA-Insel-Exzellenzen.

  39. #39 hwied
    17. Dezember 2020

    Aspie Hopping,
    viel zu kompliziert, das hier ist zwar ein blog für Mathematiker, aber der blogmaster hat Humor genug für andere unterhaltsame Lösungen.
    Zur Sache
    Für jeden Pasch , dargestellt hier als 2 +2 gilt die Wahrscheinlichkeit von 16,6 %, denn der Pasch ergibt sich nur, wenn eine Zahl nicht gewürfelt wird. (bei 6 maligem würfeln) . Für jede gewürfelte Zahl gilt ebenfalls 16,6 %, 2+2 = 5 ist somit allgemeingültig.
    Man hätte auch schreiben können 1 + 1 = 2, dann 2 + 2 = 4, 3+3 = 6, aber das erregt kein Aufsehen.
    Was von der Wahrscheinlichkeit gleichwertig ist, 3+3 = 2, 3+3 = 4, 3 +3 = 5 , oder 4 + 4 = 1, usw.

    Was jetzt das Spiel angeht, da muss man sich klar werden, was man will. Soll ein “Trick” die Grundlage bilden oder soll das Ergebnis eine mathematische Überraschung werden.
    Der Ausdruck 2 + 2 ist denkbar unklar, deshalb sollte man mit 2 +2 = 5 nicht für eine Spielshow werben.