Falschrechnungen

Von Thilo / 12. Dezember 2020 / 40 Kommentare / Seite 2 von 2 / Auf einer Seite lesen

Häufiger sind dann schon unbeabsichtigte Fehler wie dieser.

Oder wie dieser Tweet vom 3. März, der immerhin von einem bekannten Nachrichtenmoderator und von einer Herausgeberin der New York Times retweetet wurde.

Oder etwas anspruchsvoller der aus einem Spot, mit dem die Training and Development Agency for Schools 2011 Lehrer anwerben wollte: an der Tafel löste eine Lehrerin mit auf.

Ließe sich noch lange fortsetzen.

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Kommentare (40)

#1 Engywuck
12. Dezember 2020

Das Problem ist in der eingangs gestellten Frage eher, dass die Mathematiker Umgangssprache verwenden und dann von der Normalbevölkerung verlangen, das so zu interpretieren, wie es ein Mathematiker nach etlichen Jahren Ausbildung interpretiert.
(eigentlich ist die Prämisse ja sogar immer falsch, da ein Standard-Würfel nicht “2+2” sondern “4” (bzw. 4 Punkte) anzeigt)
#2 Jolly
12. Dezember 2020

“2+2=4 reeks of White supremacist patriarchy”

So ist es, wie man hier sehen kann: Alternative Math (Kurzfilm, ca. 9 min). 2 + 2 = 22

PS. Thilo, ein Hinweis auf deine beiden Beiträge zum gleichen Thema im Oktober und November könnte möglicherweise noch mehr Verwirrung verhindern, glaubte ich selbst zunächst an ein Déjà-vu.

PPS.
Dank an @viktualia für den Hinweis zum Film (erst gestern, an anderem Ort, in anderem Zusammenhang).
#3 Thilo
12. Dezember 2020

Ja, ich hatte die meisten der Themen hier schon. Das hier ist ein Entwurf für einen Artikel in den DMV-Mitteilungen, wo ich immer eine Kolumne mit einigen meiner Blogthemen der jeweils letzten drei Monate habe,
#4 Markus
13. Dezember 2020

Es tut mir ja echt Leid, aber auch mit abgeschlossem Informatikstudium verstehe ich die Frage nicht. Leider versucht ja auch der Autor nicht im geringsten zu erklären wo der Fehler der 67,8% liegt. Es muss also völlig offensichtlich, ich daher dumm, sein…

Wäre bitte jemand so nett mir zu erklären, wir die Aussage 2+2 = 5 zu interpretieren ist, damit sie “wahrscheinlich wahr” ist?
#5 rolak
13. Dezember 2020

erklären, ~~wir~~ wie

Leichte Übung, wird in jenem Kommentar ganz ohne kocken dargelegt.
#6 Thilo
13. Dezember 2020

Die Aussage ist ja nicht 2+2=5, sondern “wenn ich 2+2 gewürfelt habe, dann habe ich 5 gewürfelt”, also “wenn ich 4 gewürfelt habe, habe ich 5 gewürfelt”. Das ist mit 83-prozentiger Wahrscheinlichkeit richtig, denn so groß ist die Wahrscheinlichkeit keine 4 zu würfeln.
#7 Christian
13. Dezember 2020

Ich verstehe es immer noch nicht.
Wenn der erste Teil der Wenn-Dann-Aussage (also der Wenn-Teil), wahr ist, kann doch der Dann-Teil nicht wahr sein, da 4 ungleich 5
Wenn der Wenn-Teil jedoch falsch ist (ich also keine 4 gewürfelt habe), dann ist der Dann-Teil irrelevant, weil sich die Aussage nur auf Würfelausgänge mit 4 beschränkt.
Ich versteh es einfach nicht… *seufz

Und jetzt habe ich auf rolaks Verlinkung in #5 nachgeschaut.
Logisch erscheint mir diese Aussagenlogik immer noch nicht, aber ich kann sie als Grundlage akzeptieren.
Hilft mir das weiter?
Ich hoffe nur, meine Jungs wollen sowas mal nicht erklärt haben. Weil ich dann nur antworten kann: “Ist halt so definiert.”
#8 Andromed
13. Dezember 2020

Selbst bei einem “Aussagenlogik-Problem” stimmt die 83 %ige Wahrscheinlichkeit nicht, das daraus 5 hervorgeht. Wenn eine 83 %ige Wahrscheinlichkeit hervorgeht, das nicht 4 hervorgeht, dann bleiben immernoch x andere Möglichkeiten, die wiederum nicht 5 ergeben.

Das bei der Annahme, das, wenn nicht eine Aussage korrekt ist, dann alle anderen Aussagen gleich korrekt sind, funktioniert auch mathematisch nicht. Aber vielleicht funktioniert sie “politisch”?

Das wäre dann die Variante aus “1984”, wo es vollkommen egal ist, was irgendwer darüber sagt (oder denkt), sondern immer die Aussage wahr ist, die der jeweilige Aussagende gerade nicht präferiert – es sei denn, es ist der Herrschende, der aussagt, das die logische Aussage eben falsch sei.

@ #7 Christian
13. Dezember 2020

Ist halt so definiert

Nein, in der 1984-Szenerie geht es ja praktisch darum, das die (Logik-)Definition keine Rolle spielt. Eigenmächtige Definitionen sind in autoritären Verhältnissen auch unter Anwendung der logischsten Logik nämlich unerwünscht. Denn es herrscht das Diktat, das der einzelne nie Definitionshoheit haben darf. Ausser vielleicht der Diktator selbst.

Insofern die Fortführung der theologischen Dogma-Ideologie, in der alles von Gott ausgeht, woraufhin der Einzelne leider hinnehmen muß, was sein soll (und nicht, was ist).
#9 Andromed
13. Dezember 2020

@ #1 Engywuck
12. Dezember 2020

Das Problem ist in der eingangs gestellten Frage eher, dass die Mathematiker Umgangssprache verwenden …

Ich bin nicht sicher, ob die Lösung aus dieser Szenerie die Sache besser macht. Denn eine mögliche Auflösungsvariante gibt es hier: https://scienceblogs.de/mathlog/2020/10/20/unwahrscheinlich-wahrscheinlich

… und sie macht es kaum besser verständlich:

Auflösung: … Hier noch mal offiziell (die Auflösung): die Implikation “wenn A, dann B” ist logisch äquivalent zu “(nicht A) oder B”. Zum Beispiel wäre “”wenn 2+2=5, dann X” korrekt für jede Aussage X, unabhängig von deren Wahrheitsgehalt. Im Fall, dass eine von 4 verschiedene Zahl geworfen wird, ist die Aussage “wenn die geworfene Augenzahl mit 2+2 übereinstimmt, dann X” also wahr. Wenn eine 4 beworfen wird, ist sie natürlich falsch. Die Wahrscheinlichkeit, eine 4 zu werfen, beträgt 1/6, die Wahrscheinlichkeit für eine andere Zahl 5/6. Mit Wahrscheinlichkeit 5/6 ist die Antwort also richtig.

Mathematisch kann man ausgezeichnet “beweisen”, das der Unterschied zwischen Formallogik und Wirklichkeitslogik nicht trivial ist. Und das es immer einen “Besserwisser” gibt, der es besser zu wissen glaubt. Was den Mathematiker natürlich nicht ausschliesst.
#10 HerrXYZ
13. Dezember 2020

Sorry, trotz aller Erklärungen und einem naturwissenschaftlichen Studium verstehe ich das immer noch nicht. In “meiner” Logik ist eine Aussage “wenn a, dann b” grundsätzlich richtig oder falsch, unabhängig davon, ob und wie wahrscheinlich a auftritt.
Wenn ich einen Würfel nehme, auf dem nur die Zahl 2 ist, dann wäre “wenn ich 2+2 gewürfelt habe, dann habe ich 5 gewürfelt” also falsch. Aber je mehr Zahlen auf dem Würfel sind, desto ” richtiger” wird die Aussage? Die Aussage “wenn ich ein Schnitzel esse, verwandelte ich mich in ein Schwein” wird dadurch richtig, dass ich Vegetarier bin? Klingt für mich alles unlogisch. 😉
#11 Thilo
13. Dezember 2020

Wenn Sie eine andere Zahl als 4 gewürfelt haben, dann ist die Aussage „Wenn ich eine 4 gewürfelt habe, habe ich eine 5 gewürfelt“ richtig. Und das tritt mit 83-prozentiger Wahrscheinlichkeit ein.
#12 hwied
13. Dezember 2020

Das ist das Elend der Mathematik, dass sie immer und immer nur abstrahiert und nicht in die Zukunft schaut.
Jedes Liebespaar weiß, dass 1 + 1 = 3 ist.
Oder ganz aktuell, die Geburt von Jesus in Nazareth.
Hier galt 1 + 1 = 3

Bei 2 + 2 = 3 müssen wir schon etwas mehr Phantasie aufbringen um das Ergebnis plausibel werden zu lassen. Wir nehmen 2 (Meeresschildkröten) + 2 (Hunde). Die Meeresschildkröten legen 2 x 100 Eier = 200 Eier.
Der eine Hund frisst 100 Eier und stirbt daran. Der zweite Hund frißt 97Eier und stirbt. Die zwei Schildkröte werden von Tierfängern gefangen und im sterben im Hamburger Zoo. aber das alles interessiert den Mathematiker nicht, der stellt nur fest
2 (Schildkröten) + 2 (Hunde) = 3 (Eier)
Das Drama , dass sich im Pluszeichen verbirgt, das erfährt der Leser nicht.
Was sich hinter 2 + 2 = 5 verbirgt, das erfährt der geneigte Leser beim nächsten Kommentar.
#13 Christian
13. Dezember 2020

Danke für die Erklärung @ Thilo #11 und rolak #5

Da ist in meiner Schulausbildung und angewandt-naturwissenschaftlichem Studium etwas an mir vorbeigegangen.

Frage: Kann für mathematische Laien es verständlich erklärt werden, wie es zu dieser Definition oder Konvention in der Aussagenlogik kommt?
Die Bedingung enthält eine Unmöglichkeit (wenn 4 gewürfelt, dann habe ich eine 5 gewürfelt); andererseits hat das Alternativereignis (ich habe keine 4 gewürfelt) beim Würfeln 5 verschiedene Ausprägungen, von denen die 5 nur eine ist.
Wäre somit die Aussage “wenn ich 2+2 gewürfelt habe, dann habe ich 5 gewürfelt” einfach nicht definiert (analog zur Division durch 0)?

@Thilo: Kannst Du eine gute Einführung in Aussagenlogik für Nichtmathemathiker empfehlen? Vielen Dank dafür.

@Andromed #8: Es geht mir nicht um “1984”.
#14 HerrXYZ
13. Dezember 2020

@Thilo (#11): das habe ich verstanden. Mein Problem ist ein anderes. Da ich mein Problem immer noch habe und du dies nicht verstehst, befürchte ich, dass Mathematiker und Nicht-Mathematiker (oder nur ich?) auf verschiedenen Ebenen reden.
#15 Thilo
13. Dezember 2020

Auf einem Würfel, der nur eine 2 hat, wäre die Aussage zu 100% richtig. auf einem Würfel, der die Zahlen 1 bis 4 hat, wäre sie mit 75% Wahrscheinlichkeit richtig. Die Aussage “aus A folgt B” ist nur dann zu widerlegen, wenn A eintrifft, B aber nicht. Hier also, wenn eine 4 gewürfelt wird.
#16 HerrXYZ
13. Dezember 2020

Danke, Thilo, für die ständigen Antworten. Auch das habe ich verstanden. Mein Problem ist, dass es für mich nicht logisch ist. In meiner beschränkten Welt ist etwas richtig oder falsch. Ob es richtig oder falsch ist, hängt für mich nicht vom Würfel ab, den ich benutze oder welche Zahl ich gerade werfe. Das sollte mein ausgedachtes Schnitzel-Beispiel sagen. Entweder ich verwandele mich oder nicht, es sollte keinen Unterschied machen, ob ich Vegetarier bin oder nicht.
#17 Wilhelm Leonhard Schuster
Ansbach
13. Dezember 2020

Ich habe soeben ein großes Problem .
Dieses scheint mir, sowohl mit, als auch ohne Mathematik nicht lösbar.
Es ärgert mich maßlos eine Fliege.
Frage : Wie erwische ich das Miststück?
Ich kann die Flugbahn dieses Objektes nicht berechnen. Im Fluge erwischen?- Mein Radar sowie “Abwehrrakete ” (erwischen von Hand während des Fluges) sind nicht genügend flink.
Es bleibt also : Fliegenklatsche , wenn sich das Objekt irgendwo auf etwa ebene Fläche hinsetzt.
Aber wo sich das Biest demnächst niederläßt,
kann ich nicht wissen, berechnen, oder erahnen!
Ein Lockmittel, habe ich im Moment nicht zur Hand!

Früher , war ich noch reaktions schnell.
Jede sitzende Fliege, habe ich per schließen der Hand und schneller Armbewegung in der hohlen Hand, gefangen und ersäuft.-(Aber das war einmal!)
Nach Jahren ist mir soeben erstmals gelungen das Vieh einzusperren.
Aber Oweh , da ich mathematisch und der Wahrscheinlichkeitsrechnung nach, nicht mehr an Erfolg geglaubt habe, ist mir das Vieh wieder entkommen.
Und wie mich das Luder auslacht !
Vor meinen Augen schnurrt und brummt es hin und her!
(Die Feuchtigkeit des Auges mag sie und zieht sie an.)

Eins erstaunt mich immer wieder: Wie schnell die kleinen Viecher doch reagieren können, so sie angegriffen werden. Die müssen einen extrem kleinen guten Computer haben, der ” 2+2=5 ” , nicht zuläßt!

lol
#18 hwied
14. Dezember 2020

Christian,
Wenn es um Logik geht, dann glaubt jeder kompetent zu sein, denn Denken kann jeder.
Hier geht es jedoch um Aussagenlogik und die stimmt nicht immer mit der Alltagslogik überein.
Um gleich mal mit der Axt zu kommen. Die Aussage:
„Wenn der Himmel gelb ist, dann geht meine Uhr nach“, diese Schlussfolgerung (Implikation) ist richtig (wahr), wenn der Himmel tatsächlich gelb ist und die Uhr tatsächlich nachgeht.
Geht die Uhr aber genau, dann ist die Schlussfolgerung falsch. (Verrückt oder ?) Und jetzt wird es noch toller.
Wenn der Himmel nicht gelb ist und deshalb die Uhr nicht nachgeht, dann ist die Schlussfolgerung richtig. Anmerkung , klingt noch logisch, Sie ist aber auch richtig, wenn der Himmel nicht gelb ist und die Uhr genau geht. ??
Du siehst mit Alltagslogik bist du noch kein Logiker.
Und jetzt kommt die Auflösung.
Bei der Aussagenlogik geht es gar nicht um den Inhalt der Aussage , sondern es geht nur um die Beziehung der Eingangsbehauptung zur Folgebehauptung.
Grundregel: Wenn die Eingangsbehauptung falsch oder gelogen ist, dann ist die Schlussfolgerung immer richtig.
Wenn die Eingangsbehauptung wahr ist und die Folgebehauptung als wahr angesehen wird, dann ist die Schlussfolgerung auch wahr. (Das ist der häufigste Fall, der auch mit der Alltagslogik übereinstimmt)
Wenn aber die Eingangsbehauptung wahr ist und die Folgebehauptung falsch ist, dann gilt die Schlussfolgerung als falsch.
Jetzt mal ein Test
Behauptung A : Der Himmel ist blau. Folgebehauptung B es donnert. Beide Behauptungen sind wahr.

Du musst jetzt entscheiden ob die Schlussfolgerung richtig oder falsch ist.
1) Wenn der Himmel nicht blau ist, donnert es. Richtig oder falsch ?
2) Wenn der Himmel nicht blau ist , donnert es nicht.
3) Wenn der Himmel blau ist, donnert es.
4) Wenn der Himmel blau ist, donnert es nicht.

Tipp: nur in einem Fall ist die Schlussfolgerung falsch.

Und jetzt zu 2+2=5
Ist diese Eingangsbehauptung richtig oder falsch ?
Und was folgerst du daraus ?
#19 Jolly
14. Dezember 2020

Brandaktuelle Falschrechnung:

Offizielle Nachspielzeit (Minuten): 5
Der Nachschlag in der WWK-Arena soll 180 Sekunden betragen.

Quelle: Spiegel Liveticker
#20 HerrXYZ
14. Dezember 2020

@hwied: dein Post war zwar nicht an mich gerichtet, hat mir aber trotzdem sehr geholfen! Der (nochmalige) Hinweis, dass sich Aussagen- und Alltagslogik unterscheiden können, war der entscheidende Tipp. Das waren glaube ich die unterschiedlichen Ebenen von denen ich oben sprach und die ich nicht verstanden habe. Ich glaube, jetzt habe ich es verstanden. Danke!
#21 Engywuck
14. Dezember 2020

das war es was ich meinte: die Mathematiker verwenden Alltagssprache, meinen aber Aussagenlogik

Warum sich Mathematiker darauf versteifen, ihre Konzepte falsch in Alltagssprache zu übersetzen und dann erstaunt darüber zu sein, dass der Alltagsmensch diese Übersetzung falsch versteht habe ich bis heute nicht verstanden.

(btw: ich bleibe dabei, dass die aussagenlogische Variante der Aussage sogar zu 100% korrekt ist, da ein Würfel eine “4” und keine “2+2” anzeigt…)
(Anmerkung2: wie sähe es mit “genau dann, wenn die geworfene Augenzahl eine ‘4’ ist, ist sie eine ‘5’” aus?)
#22 rolak
14. Dezember 2020

die Mathematiker verwenden

Annersrum: Die Lesenden einer MatheAufgabe interpretieren das Gelesene fälschlich als Alltagssprache. Entspricht dem ewigdämlichen und dennoch andauernd zu hörenden ‘aber das ist doch nur eine Theorie’ im NawiBereich.
Kannste doch oben bewundern: “für mich nicht logisch” ist auch bloß eine ad ig-Variante.
#23 hwied
14. Dezember 2020

Herr XYZ,
Mit dieser Einsicht, können wir logische Spiele machen.

Ausgangspunkt 2 + 2 = 5
Die findet ihre Entsprechung bei den Kammmachern.
Vor 40 Jahren hat man noch damit geworben, dass ein Kamm gesägt und nicht gepresst wurde.
“Echt Zelluloid gesagt”, das waren die teuren Kämme.
Wenn ich also mit einem Sägeschnitt beginne, dann gilt 1 = 2 (Ich habe 2 Zinken, außen mitgerechnet) mache ich zwei Sägeschnitte, dann bekomme ich 3 Zinken , es gilt 2 (Sägeschnitte) = (ergeben ) 3 (zinken)
Bei 2 + 2 (Sägeschnitten) sind es 5 (Zinken)
2 + 2 = 5
Und jetzt lassen wir die Mathelogik ran.
Wir multiplizieren beide Seiten mit 10
20 + 20 = 50
Mit 40 Sägeschnitten bekommen wir 50 Zinken. Ist doch mathematisch richtig !
Wenn wir die Zinken aber nachzählen, dann sind es nur 41. Wo steckt der Fehler ?
#24 HerrXYZ
14. Dezember 2020

@rolak: nicht, dass meine Posts falsch rüberkommen… Ich wollte mit “für mich nicht logisch” nicht die Falschheit “beweisen”, sondern aufzeigen, dass es für mich Widersprüche gibt, ich also etwas nicht ganz verstanden habe.

@hwied: ich bin raus. Muss jetzt schließlich mal arbeiten. 😉
#25 hwied
14. Dezember 2020

Thilo ,
alternative Erklärung zur Weihnachtszeit,
Wenn man Kleinkinder in einem Spiel vor die Wahl stellt: Willst du lieber 2 Würfel mit einer 2 oder willst du lieber 1 Würfel mit einer 5 ? Dann nehmen 83 % der Kinder die zwei Würfel mit je einer 2.
Vorbedingung: Man braucht 100 Kinder und 200 Würfel für diesen Versuch. Wenn nur 17 Würfel übrig bleiben, dann kann man sicher sein, dass man eine 5 gewürfelt hat. (Sollte man mal ausprobieren )
Thema: Kinder und die Wahrscheinlichkeit.
#26 Frank Wappler
14. Dezember 2020

Thilo schrieb (12. Dezember 2020):
> […] Wenn man etwa sehen will, dass der ${\bf R}^n$ ein topologischer Raum ist,

“Der ${\bf R}^n$ ” (als Grundmenge) zusammen mit konkret welchem auf der Grundmenge festgelegtem System “offener Mengen” (als “dessen” Topologie) ??

> muss man beweisen, dass die leere Menge offen ist.

(Zumindest ist ein ausdrücklicher Beweis dafür erforderlich, falls die Festlegung des in Betracht gestellten Mengensystems die leere Menge nicht von vornherein ausdrücklich einschließt.)

> Dafür muss man beweisen, dass es zu jedem $x \in \emptyset$ ein $\epsilon > 0$ mit $B(x,\epsilon)\subset\emptyset$ gibt…

Diese Aussage bzw. Schlussfolgerung wäre als Beweis (für die Mitgliedschaft der leeren Menge im in Betracht gestellten Mengensystem) relevant, falls dieses Mengensystem $\mathcal T$ beispielweise folgendermaßen definiert bzw. festgesetzt wäre:

$\mathcal T := \{ t \in \text{Potenzmenge}[ \, {\bf R}^n \, ] \, | \, \forall \, x \in t \, \exists \, \epsilon > 0 : B[ \, x, \epsilon \, ] \subset t \}$ .
#27 Thilo
14. Dezember 2020

mit der üblichen Definition offener Mengen im R^n, die Ihnen ja offensichtlich bekannt ist
#28 Frank Wappler
15. Dezember 2020

Thilo schrieb (#27, 14. Dezember 2020):
> [ » “Der ${\bf R}^n$ ” (als Grundmenge eines topologischen Raumes) zusammen mit konkret welchem auf der Grundmenge festgelegtem System “offener Mengen” (als “dessen” Topologie) ?? « …] mit der üblichen Definition offener Mengen im R^n, die Ihnen ja offensichtlich bekannt ist

Offensichtlich bekannt ist die Möglichkeit Topologien aus einer (bestimmten, geeigneten, jeweils vorab definierten) Basis offener Mengen zu konstruieren; und zwar durch die Konstruktionsvorschrift, dass jedes Element der Topologie als die Vereinigung (Union) jeweils einer bestimmten (aber nicht unbedingt eindeutig bestimmten) Auswahl von Basis-Mengen (ausdrücklich einschl. der Auswahl gar keiner dieser Basis-Mengen) konstruiert ist.

Die leere Menge gehört damit zwangsläufig zu der/jeder derart konstruierten bzw. definierten Topologie, weil die Definition der Vereinigung (von bestimmten Mengen) einschließt, dass die Vereinigung gar keiner Menge(n) die leere Menge ergibt/ist.

(Und nicht etwa weil, wie im obigen ScienceBlog-Artikel angegeben, sich beweisen ließe, “dass es zu jedem $x \in \emptyset$ ein $\epsilon > 0$ mit $B(x,\epsilon)\subset\emptyset$ gibt…”.)
#29 hwied
15. Dezember 2020

Frank Wappler,
x \in \emptyset , das gibt es nicht. Das Wesen der leeren Menge ist, das sie keine Objekte “beherbergt”.
In meiner Vorstellung hat sie nur 2 Eigenschaften: Sie ist leer und es gibt sie nur einmal.
#30 Thilo
15. Dezember 2020

Klassisch definiert man offene Mengen im R^n als diejenigen, bei denen es um jeden Punkt eine epsilon-Kugel gibt. Und man will dann gerne wissen, dass diese klassische Definition mit anderen Definitionen übereinstimmt.
#31 Frank Wappler
15. Dezember 2020

Thilo schrieb (#30, 15. Dezember 2020):
> Klassisch definiert man offene Mengen im R^n als diejenigen, bei denen es um jeden Punkt eine epsilon-Kugel gibt. […]

Gemeint ist vermutlich nicht: “Es gibt um jeden Punkt epsilon-Kugeln; also ist jede beliebige Menge von Punkten eine offene Menge”;
sondern eher: “Für jeden Punkt des R^n und jeden positiven Wert epsilon ist die epsilon-Kugel um diesen Punkt jeweils eine offene Menge”.

Letzteres beschreibt das Mengensystem offener $\epsilon$ -Kugeln, das, als Basis-Mengensystem genommen, die Euklidische_Topologie (auf ${\bf R}^n$ ) erzeugt.

Und zwar vermittels der schon oben (#28) verlinkten Erzeugungs- bzw. Konstruktionsvorschrift (“Vereinigung von Basis-Mengen; einschl. Vereinigung gar keiner Mengen” ); vgl. auch https://de.wikipedia.org/wiki/Basis_(Topologie)#Definition.

> Und man will dann gerne wissen, dass diese klassische Definition mit anderen Definitionen übereinstimmt.

Sofern es darum geht, dass zu den aus dem o.g. Basis-Mengensystem erzeugten Mengen auch die leere Menge gehört (und die Gesamtheit der so erzeigten Mengen in dieser Hinsicht die Eigenschaften einer Topologie hat und deshalb auch mit denkbaren anderen Topologien übereinstimmt), ist das eine direkte Konsequenz der Erzeugung von Mengen durch Anwendung der genannten Vorschrift, in Anwendung der oben (#28) verlinkten Definition des Begriffes bzw. der Operation “Vereinigung (von bestimmten Mengen, bzw. von gar keiner Menge)”.

Ein zusätzlicher Beweis ist dafür weder erforderlich, noch durch die im obigen ScienceBlog-Artikel angegebene Aussage “dass es zu jedem $x \in \emptyset$ ein $\epsilon > 0$ mit $B(x,\epsilon)\subset\emptyset$ gibt…” geleistet.
#32 Frank Wappler
15. Dezember 2020

hwied schrieb (#29, 15. Dezember 2020):
> Frank Wappler, x \in \emptyset , das gibt es nicht.

Ich weise darauf hin, dass die LaTeX-Befehl-Phrase “x \in \emptyset” schon im obigen ScienceBlog-Artikel auftritt, und ich sie lediglich (mehrfach) daraus zitiert habe, und zwar ausnahmslos im Zusammenhang des insgesamt zitierten Halbsatzes, der sie enthält.

Im Übrigen habe ich auch die LaTeX-Befehl-Phrase “\subset \emptyset” aus dem obigen ScienceBlog-Artikel auf diese Weise zitiert, obwohl ich deren ausdrücklichen Gebrauch für mich selbst möglichst vermeiden würde.

> Das Wesen der leeren Menge ist, das sie keine Objekte “beherbergt”.

Stimmt zwar.
Wenn aber Aussagen über “keine Objekte” gemacht werden sollen (wie im nahegelegten Beispiel: »Keine Objekte werden von der leeren Menge beherbergt.«), dann bietet sich die (als LaTeX-Befehl-Phrase formatierte) Formulierung “\forall x \in \emptyset” zumindest als Symbolik for “keine Objekte” an.

Die Gesamtaussage »Keine Objekte werden von der leeren Menge beherbergt.&#171 wäre entsprechend als

$\forall \, x \in \emtyset : x \in \emtyset$

symbolisierbar;
und es ließe sich gewiss noch etliches Weitere über “keine Objekte” aussagen und aufschreiben.

Nun kann man sich zwar vornehmen, zumindest den ausdrücklichen Gebrauch der genannten Phrasen zu vermeiden, und stattdessen konsequent z.B.

$\forall \, x \in \{ 1, 2, 3 \} : \text{ not}[ \, x \in \emtyset \, ]$

und

$\emptyset \subseteq \emptyset$

zu schreiben. Aber es treten ja auch “Variable” auf …
… also Symbole, die insbesondere jeweils eine bestimmte Menge symbolisieren (sollen), von der zunächst oder überhaupt gar nicht bekannt ist, ob diese Variable durch den Wert “leere Menge” instanziiert werden könnte. Bis jemand eine bessere Idee hat, scheint deshalb an dieser Stelle Toleranz geboten.
#33 Frank Wappler
15. Dezember 2020

hwied schrieb (#29, 15. Dezember 2020):
> Frank Wappler, x \in \emptyset , das gibt es nicht.

Ich weise darauf hin, dass die LaTeX-Befehl-Phrase “x \in \emptyset” schon im obigen ScienceBlog-Artikel auftritt, und ich sie lediglich (mehrfach) daraus zitiert habe, und zwar ausnahmslos im Zusammenhang des insgesamt zitierten Halbsatzes, der sie enthält.

Im Übrigen habe ich auch die LaTeX-Befehl-Phrase “\subset \emptyset” aus dem obigen ScienceBlog-Artikel auf diese Weise zitiert, obwohl ich deren ausdrücklichen Gebrauch für mich selbst möglichst vermeiden würde.

> Das Wesen der leeren Menge ist, dass sie keine Objekte “beherbergt”.

Stimmt zwar.
Wenn aber Aussagen über “keine Objekte” gemacht werden sollen (wie im nahegelegten Beispiel: »Keine Objekte werden von der leeren Menge beherbergt.«), dann bietet sich die (als LaTeX-Befehl-Phrase formatierte) Formulierung “\forall x \in \emptyset” zumindest als Symbolik for “keine Objekte” an.

Die Gesamtaussage »Keine Objekte werden von der leeren Menge beherbergt.« wäre entsprechend als

$\forall \, x \in \emptyset : x \in \emptyset$

symbolisierbar;
und es ließe sich gewiss noch etliches Weitere über “keine Objekte” aussagen und aufschreiben.

Nun kann man sich zwar vornehmen, zumindest den ausdrücklichen Gebrauch der genannten Phrasen zu vermeiden, und stattdessen konsequent z.B.

$\forall \, x \in \{ 1, 2, 3 \} : \text{ not}[ \, x \in \emptyset \, ]$

und

$\emptyset \subseteq \emptyset$

zu schreiben. Aber es treten ja auch “Variable” auf …
… also Symbole, die insbesondere jeweils eine bestimmte Menge symbolisieren (sollen), von der zunächst oder überhaupt gar nicht bekannt ist, ob diese Variable durch den Wert “leere Menge” instanziiert werden könnte. Bis jemand eine bessere Idee hat, scheint deshalb an dieser Stelle Toleranz geboten.
#34 hwied
16. Dezember 2020

F.Wappler,
die leere Menge gibt es nur einmal ! Man darf deshalb keine Gleichung schreiben in der Form leere Menge = leere Menge.(Meine Meinung)
Die leere Menge hat sich auch nicht selbst als Element.
Element ist der Fachbegriff! Ich habe fälschlicherweise Objekt geschrieben.
#35 Aspie Hopping
16. Dezember 2020

Spielregeln:
Eine Kandidatin sieht 3 geschlossene Türen.
Hinter einer Tür ist ein nobles Tesla-Auto.
Hinter den 2 anderen Türen ist jeweils eine Ziege.
Wenn die Kandidatin sich für ihre Tür entscheidet, bleibt diese geschlossen und der Moderator muss eine andere Tür öffnen, hinter der eine Ziege ist.

Kandidatin wählte Tür 1.
Moderator öffnete Tür 3 und zeigt ihr eine Ziege, was mathematisch-abkürzend als M3 bezeichnet wird.
Kandidatin beobachtete somit M3.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dassTür 2 (A2) zum noblen Auto führt?

Mathematische Formel für die Bayes-Lösung des Rätsels:
p(A2|M3) = N1 / N2
N1= p(M3|A2) * p(A2)
N2= p(M3|A2) * p(A2) + p(M3|A1) * p(A1) + p(M3|A3) * p(A3)

p(M3|A2) = 1 weil der Moderator wegen der Spielregeln nur Tür 3 öffnen darf
p(A2) = p(A1) = p(A3) = 1/3 weil sich 1 Auto hinter einer von 3 Türen befinden muss
p(M3|A1) = ½ weil der Moderator zufällig Tür 2 oder Tür 3 wählt
p(M3|A3) = 0 weil der Moderator der Kandidatin das Auto nicht schenken darf

p(A2|M3) = 1/3 / ( 1/3 + 1/6) = 2/3

Das noble Auto hinter der vom Moderator nicht gewählten Tür 2 zu finden, ist doppelt so groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass sich das noble Auto hinter der von der Kandidatin gewählten Tür 1 befindet.

Wählte die Kandidation Tür 2 und verhinderte der Moderator das sofortige Öffnen von Tür 2 mit psychologischen verunsichernden Monologen, strebt die Betrugswahrscheinlichkeit gegen 1, je öfter das Hinhalte-Spiel gespielt wird, was letztendlich einen Staatsanwalt triggert, der aus 2 Gründen inoffiziell für die Absetzung dieses Spiels sorgt, und der 2te Grund ist, dass Gewinne von Spielen, die keine Glücksspiele sind, zu versteuern sind.

Aus Gleichberechtigungsgründen spielt Thilo in einem modifizierten Spiel als der Kandidat mit.
Hinter jeder Tür liegt 1 idealer sechsseitiger Mathe-Würfel auf dem Boden, mit dem er jeweils würfeln muss.
Er würfelt mit verbundenen Augen hinter 6 geschlossenen Türen.
Die Moderatorin notiert jedes Würfel-Ergebnis.
Dann wird er vor die geschlossenen Türen geführt, wo ihm die Augenbinde abgenommen wird.
Moderatorin: „Thilo, hinter einer der verschlossenen Türen, die du öffnen sollst, stimmt eine gewürfelte Augenzahl mit 2+2 überein.“
Thilo wählt eine Tür, die vorerst geschlossen bleibt.
Die Moderatorin, die Thilo’s Würfel-Ergebnisse kennt, weil sie keine Augenbinde trug, öffnet eine Tür, hinter der wegen der Spielregeln nicht 2+2 aber die Augenzahl 5 beobachtet wird.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Thilo mit seiner gewählten Tür 2+2 findet oder wird Thilo sich anders entscheiden und sich für eine der 4 nicht ausgewählten Türen entscheiden, weil er eine höhere Wahrscheinlichkeit berechnet hat?

Wetten, dass Thilo weder die Formel noch das Ergebnis in seinem Blog bloggen darf?
#36 hwied
16. Dezember 2020

Aspie Hopping,
Bei dieser Show geht es um Geld, Liebe und Wahrscheinlichkeit.
Soll der männliche Moderator gewinnen ? Nein, denn es geht ja um die Glaubwürdigkeit der Show.
Also, die Information ,hinter welcher Tür die 4 versteckt ist, die steckt in der Aufforderung „Thilo, hinter einer der verschlossenen Türen, die du öffnen sollst……“
Steht Thilo an erster Stelle, dann ist es Tür 1, steht er an letzter Stelle, dann ist es Tür 6.
Lässt sie Thilo weg und spricht ihn im Nebensatz mit du an, dann ist es Tür 2, spricht sie ihn mit Sie an , dann ist es Tür 3.
Jetzt sind noch 2 Türen unbestimmt, Tür 4 und 5.

eine davon hat die Moderatorin geöffnet . Sie sagt dann: „klugerweise hat Thilo die 5 hinter der Tür 5 plaziert „,um ihm ein Ansehen zu geben, und mich würde es nicht wundern, wenn er hinter der Tür 4 auch die 4 gewürfelt hat.
Hier kann sich jetzt der Leser austoben und die Show mit Sex würzen, denn hinter der Tür 4 liegt kein Würfel, sondern steht eine bekannte Schönheit.
#37 Frank Wappler
16. Dezember 2020

hwied schrieb (#34, 16. Dezember 2020):
> […] die leere Menge gibt es nur einmal !

In jedem Fall, im dem (gewissenhaft) von “der leeren Menge” oder von “einer leeren Menge” die Rede ist, sollte stets und eindeutig die selbe Menge gemeint und verstanden sein (nämlich diejenige, die keine Elemente, keinen Inhalt, nichts Identifizierbares außer ihrer Konstitution als “Menge” und als “leer” hat).

(Ließe sich zum Beispiel vergleichbar sagen: “Die Zahl 5 gibt es nur einmal !” ? —
Ich neige dazu anzunehmen: Ja; Zahlen kann und soll man sich so eindeutig vorstellen.)

> Man darf deshalb keine Gleichung schreiben in der Form leere Menge = leere Menge.(Meine Meinung)

Jedenfalls bin ich (auch) dafür, mit den Bezeichnungen “ein und dasselbe” und “verschieden, aber gleich” sorgfältig umzugehen; es ist besser (und richtig und üblich) zu sagen:

“Mein Nachbar hat das gleiche Fahrrad wie ich.”

und

“zwei gleiche Portionen der selben Suppe aus dem selben Topf, auf zwei verschiedenen Tellern”

usw.

Die Fähigkeit zur Gegenüberstellung von “das Selbe” und “Verschiedenes” erscheint von vornherein selbstverständlich und notwendig.
Ich wüsste nicht, wie man sie jemandem erklären bzw. beibringen könnte, von dem man nicht schon von vornherein voraussetzen könnte, diese Fähigkeit schon zu haben (zumindest im Prinzip, zumindest in eigener Terminologie, die ggf. nur noch passend zu übersetzen wäre); man kann sie wohl nur beispielhaft vorführen: »”Verschiedenes” und “das Selbe” ist nicht das selbe, sondern verschieden.”&#171

Der Begriff “Gleichheit (von bestimmten Verschiedenen)” bzw. “Ungleichheit (von bestimmten Verschiedenen)” setzt dagegen i.A. die Definition und Festsetzung des jeweils betreffenden Maßes (Messgröße, Messoperation) voraus.

Um Beispiele “aus der Mathematik” bzw. “wenigstens aus der Geometrie” zu nennen:

– “Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines (ebenen) Dreiecks ist der selbe Punkt wie der Mittelpunkt des Inkreises dieses selben Dreiecks.”, bzw.

– “Falls eine Seite eines bestimmten (ebenen) Dreiecks (o.B.d.A. Seite $AB$ des Dreiecks $\bigtriangle ABC$ ) gleich lang wie eine Seite eines bestimmten anderen Dreiecks (o.B.d.A. Seite $HJ$ des Dreiecks $\bigtriangle HJK$ ) ist, und falls die Dreiecks-Innenwinkel, die diesen beiden gleich langen Seiten jeweils gegenüberliegen (d.h. $\angle ACB$ und $\angle HKJ$ ) gleich groß sind, dann haben die Umkreise dieser beiden Dreiecke gleich große Radien.”

Es lässt sich auch entsprechend differenzierte Symbolik nutzen:

– das Symbol $=$ wird nun mal “ist gleich” gelesen, symbolisiert also den Vergleichsoperator (wie in $\angle ACB = \angle HKJ$ ),

– und im Unterschied dazu benutze ich gerne das Symbol $\equiv$ um “ist der selbe wie” usw. auszudrücken, also den Identitätsoperator zu symbolisieren
( $A \equiv A$ , $A \not\equiv B$ ).

(Leider scheint diese Zuordnung aber z.B. nicht ganz derjenigen dieses historischen Vorbilds zu entsprechen …)
#38 Aspie Hopping
17. Dezember 2020

Hwied,
Timothy Gower definierte nicht, welchen Wert 2+2 haben soll.
Auch im Nachhinein wurde uns die Definition des Mathematikers Timothy Gower durch den Mathematiker Thilo Kuessner nicht mitgeteilt, laut der p(A) größer als 0 und kleine als 1 sein soll, wobei A die Augenzahl ist, die wiederum eine von 6 Werten annehmen kann, solange man nicht hinschaut.

Nicht-Mathematiker konnten nicht wissen, dass 2+2 ein Element der Menge {n: 1,2,3,4,5,6} sein muss, weil p(n) nicht gleich 0 sein soll, was für n>6 immer der Fall ist.
Aus ihrer Sicht war die Antwort definitely false absolut richtig, weil bei fehlender Festlegung die Summe 2+2 gleich 18 sein darf und p(18) ist gleich 0 und somit ungleich 5 oder 1,2,3,4,6.

Glücksspielkandidat Thilo weiß nicht, welchen Wert die Moderatorin aus der Menge {1,2,3,4,5,6} als Ergebnis für 2+2 definiert hat. Somit ist es egal, für welche Tür sich Thilo entscheidet, weil wegen Unwissens/Zufall die gleichgewichtende Wahrscheinlichkeitsrechnung für die 5 nicht geöffneten Türen gilt: p=1/5

Wenn 2+2=B sein kann wobei B Element der Menge {1,2,3,4,5,6} sein muss, dann hat Timothy Gower von einem Rechenknecht (en: Minion) 36 Tabellen bzw. 216 Zeilen erstellen lassen und löschte 215 Zeilen bzw. ließ bei Twitter 1 von ihm zufällig ausgewählte Zeile interpretieren.

Warum fallen in mündlichen Mathe-Prüfungen so viele durch?
If interpretiert werden muss.

Thilo kann uns nicht aufklären, dass offiziell nur 1+1 Falsches in Augsburg in einer mündlichen Mathe-Prüfung erlaubt ist, weil er das nicht darf 🙂
Wer würde in Augsburg Mathe studieren, wenn 1 falsche Antwort gleich 3 Jahre Geldverschwendung ist? Richtig, nur GATTACA-Insel-Exzellenzen.
#39 hwied
17. Dezember 2020

Aspie Hopping,
viel zu kompliziert, das hier ist zwar ein blog für Mathematiker, aber der blogmaster hat Humor genug für andere unterhaltsame Lösungen.
Zur Sache
Für jeden Pasch , dargestellt hier als 2 +2 gilt die Wahrscheinlichkeit von 16,6 %, denn der Pasch ergibt sich nur, wenn eine Zahl nicht gewürfelt wird. (bei 6 maligem würfeln) . Für jede gewürfelte Zahl gilt ebenfalls 16,6 %, 2+2 = 5 ist somit allgemeingültig.
Man hätte auch schreiben können 1 + 1 = 2, dann 2 + 2 = 4, 3+3 = 6, aber das erregt kein Aufsehen.
Was von der Wahrscheinlichkeit gleichwertig ist, 3+3 = 2, 3+3 = 4, 3 +3 = 5 , oder 4 + 4 = 1, usw.

Was jetzt das Spiel angeht, da muss man sich klar werden, was man will. Soll ein “Trick” die Grundlage bilden oder soll das Ergebnis eine mathematische Überraschung werden.
Der Ausdruck 2 + 2 ist denkbar unklar, deshalb sollte man mit 2 +2 = 5 nicht für eine Spielshow werben.
#40 Ivory
Italy, Rovato
9. Mai 2021

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