Im gestrigen New Yorker erscheint ein Artikel The Mysterious Disappearance of a Revolutionary Mathematician von Rivka Galchen über Alexander Grothendieck, der mit zahlreichen Vergleichen, Geschichten und Veranschaulichungen versucht, auch dem Laien das Revolutionäre an Grothendiecks Mathematik nahezubringen ohne in irgendwelche mathematischen Details zu gehen – beginnend mit der Anekdote, dass Grothendieck als 12-Jähriger von der Einfachheit und Klarheit der Kreis-Definition beeindruckt war und dann später als Mathematiker Definitionen umschrieb, um den richtigen Ausgangspunkt für die Lösung mathematischer Probleme zu finden. Sein Zugang zur Mathematik wird (nach Angela Gibney) so beschrieben

if you want to know about people, you don’t just look at them individually—you look at them at a family reunion.

Viele der Anekdoten kennt man als Mathematiker natürlich, aber der Artikel beeindruckt durch zahlreiche originelle sprachliche Bilder.

It was as if, in order to get from one peak to another, Deligne shot an arrow across the valley and made a high wire and then crossed on it. Grothendieck wanted the problem to be solved by filling in the entire valley with stones.

Das wenige, was im Artikel über Grothendiecks Beiträge zur Mathematik steht, ist in den mathematikhistorischen Zusammenhängen teils eher irreführend, aber darauf kommt es bei diesem Artikel auch nicht an.

Kommentare (6)

  1. #1 Frank Wappler
    18. Mai 2022

    Thilo schrieb (18. Mai 2022):
    > […] Artikel The Mysterious Disappearance of a Revolutionary Mathematician von Rivka Galchen über Alexander Grothendieck [ https://www.newyorker.com/magazine/2022/05/16/the-mysterious-disappearance-of-a-revolutionary-mathematician ]
    > […] versucht, auch dem Laien das Revolutionäre an Grothendiecks Mathematik nahezubringen ohne in irgendwelche mathematischen Details zu gehen

    Nicht ganz ohne irgendwelche; stattdessen wird u.a. Grothendiecks unabhängige (Wieder-)Entdeckung (in jungen Jahren, noch bevor er sich selbst als Mathematiker betrachtete) von »a celebrated problem, Lebesgue’s theorem« genannt.
    Gehe ich recht in der Annahme, dass es sich dabei um den sogenannten
    Pflastersatz von Lebesgue handelt?

    Außerdem: …

    > […] dass Grothendieck […] als Mathematiker Definitionen umschrieb, um den richtigen Ausgangspunkt für die Lösung mathematischer Probleme zu finden

    … und zwar insbesondere »even of things as basic as a point«.

    Wie, bitte, lautet Grothendiecks (als Ausgangspunkt für die Lösung mathematischer Probleme geeignete) Definition eines “Punktes” genau und konkret, ggf. in deutscher Übersetzung ?

  2. #2 Rob
    Oberland
    18. Mai 2022

    “look at them at a family reunion” – hier ich musste an XKCD denken: https://www.explainxkcd.com/wiki/index.php/2608:_Family_Reunion

  3. #3 Thilo
    18. Mai 2022

    Es geht um Punkte auf algebraischen Varietäten. Varietäten sind Nullstellenmengen von Polynomen, z.B. der Kreis x^2+y^2-1=0. Zu so einer Varietät betrachtet man den Ring A:=Z[x,y]/(x^2+y^2-1). (Wenn man statt den ganzen Zahlen Z die reellen Zahlen R nehmen würde, bekäme man den Ring der algebraischen reellen Funktionen auf dem Kreis, denn Vielfache von x^2+y^2-1 sind auf dem Kreis die Nullfunktion.) Dieser Ring hat eine Menge von Primidealen, die man als “Spektrum” Spek(A) bezeichnet. (Spek (A) ist das “Schema” dieser algebraischen Gleichung.)
    Im Fall des Kreises hat man zu jedem Punkt des Kreises einen Homomorphismus A–>R vom Spektrum des Ringes in den Grundkörper der reellen Zahlen, indem man jeder Funktionen ihren Wert in diesem Punkt zuordnet. Für jeden Punkt bekommt man eine andere Abbildung. Grothendiecks Definition von Punkten (auf einer Varietät über einem Grundkörper K) ist nun, dass ein Punkt einer Abbildung A—>K entspricht mit der zusätzlichen Bedingung, dass die konstanten Funktionen auf den konstanten Wert in K abgebildet werden.
    (Äquivalent kann man Punkte auch als Morphismen von Spek(K) in die Varietät definieren.)

  4. #4 Thilo
    18. Mai 2022

    Ich glaube nicht, dass Grothendieck den Pflastersatz wiederentdeckt hat. Soweit ich weiß, hat er das (ihm unbekannte) Lebegue-Integral wiederentdeckt (und dann vielleicht die Konvergenzsätze für das Lebesgue-Integral bewiesen?) Er soll ja schon in der Schule mit den unmathematischen Definitionen von Länge, Flächeninhalt und Volumen unzufrieden gewesen sein.

  5. #5 Frank Wappler
    19. Mai 2022

    Thilo schrieb (#3/4, 18. Mai 2022):
    > [ Frank Wappler schrieb (#1, 18. Mai 2022):
    > > … Wie, bitte, lautet Grothendiecks o.g. Definition eines “Punktes” genau und konkret ? ]

    > Es geht um Punkte auf algebraischen Varietäten.
    > Varietäten sind Nullstellenmengen von Polynomen, z.B. der Kreis x^2+y^2-1=0.
    > Zu so einer Varietät betrachtet man den Ring A:=Z[x,y]/(x^2+y^2-1) […]
    > Grothendiecks Definition von Punkten (auf einer Varietät über einem Grundkörper K) ist nun,
    > dass ein Punkt einer Abbildung A—>K entspricht mit der zusätzlichen Bedingung,
    > dass die konstanten Funktionen auf den konstanten Wert in K abgebildet werden.

    Dankeschön! …

    Um etwaigen Missverständnissen entgegenzutreten, und hoffentlich auch im Interesse zumindest eines Teils der Leserschaft dieses SchienceBlogs, muss ich leider zugeben, dass mir diese Definition (wie zitiert) bis auf Weiteres nicht zufriedenstellend verständlich ist (und die nicht zitierten Bemerkungen dazu noch viel weniger), weil mir Verständnis für und Erfahrung mit einigen der dabei vorausgesetzten Begriffe bzw. der Notation fehlt; insbesondere hinsichtlich der Deklarierung von Ring A vermittels eines (sicherlich in geeignetem Sinne aufzufassenden) “Quotienten” Z[x,y]/(x^2+y^2-1).

    Ich erkenne zwar diese Notation u.a. in Darstellungen zum Thema “[[Faktorring]]” oder auch von “[[Grundring]]” wieder,
    und ich kann mit “Kongruenz von (i.A. ungleichen) Zahlen modulo (einer bestimmten Zahl)” etwas anfangen und mir daraus die Interpretation dieser Notation in diesem speziellen Fall erschließen;
    nämlich als eine Menge von paarweise disjungierten “Kongruenzklassen”-Mengen.

    Aber die Auffassung dieses speziellen Falles, und erst recht im Allgemeinen, im Sinne von Gruppentheorie ist mir (leider) sehr fremd; und deshalb scheitere ich bis auf Weiteres am Versuch, die Bedeutung des Ausdrucks Z[x,y]/(x^2+y^2-1) zu begreifen.

    Aus der zitierten “zusätzlichen Bedingung, dass die konstanten Funktionen auf den konstanten Wert in K abgebildet werden” kann ich immerhin schließen, dass die jedes einzelne Element des Ringes A eine Funktion sein soll (was ich zwar abstrakt hinnehmen kann, allerdings ohne jegliche Vorstellung davon, um welche Funktionen es sich dabei konkret handeln würde. Eine ausführlichere Beschreibung dieser Funktionen wäre mir also ganz besonders willkommen. Ggf. noch vielen Dank im Voraus dafür!).

    (Nur leider passt das auch gar nicht zu der mir naheliegenden Vorstellung von “Kongruenz-modulo” als lediglich genau einer Funktion, z.B.
    \text{Mod}_n : \mathbb Z \longrightarrow \{ 0, 1, ..., (n - 1) \}, \qquad k \mapsto k - (n \, \text{Floor}[ \, k/n \, ]).

    Außerdem bin ich mir nicht sicher, ob “der konstante Wert in K” das Null-Element des Körpers K meint, oder das Eins-Element; oder ob ich auch diesbezüglich noch wesentlich mehr lernen könnte.)

    p.s.
    > Soweit ich weiß, hat er das (ihm unbekannte) Lebegue-Integral wiederentdeckt (und dann vielleicht die Konvergenzsätze für das Lebesgue-Integral bewiesen?)

    Okay, danke (ich weiß das selbstverständlich nicht etwa “besser”). Allerdings:

    > Er soll ja schon in der Schule mit den unmathematischen Definitionen von Länge, Flächeninhalt und Volumen unzufrieden gewesen sein.

    Der Wortlaut im o.g. New Yorker-Artikel ist ja …

    He also decries his textbooks as lacking “serious” definitions of length, area, and volume.

    … und mir (aus Physiker-Sicht) erscheint “das Lebegue-Integral”, verbunden mit der schlichten “Annahme einen Maßes, als gegeben”, eher als gezielte Ausmerzung jeglicher Abhängigkeiten von ernsthaften Definitionen betreffend geometrische Größen (insbesondere deren Messung).

    Aber es ist wohl eine (meine) Fehlinterpretation des o.g. Artikels zu vermuten, Grothendieck habe (womöglich insgeheim) ein kohärentes Forschungsprogramm zur “ernsthaften” Definition geometrischer Größen (insbesondere deren Messung) verfolgt, etwa beginnend mit dem Begriff “Punkt (in der Geometrie bzw. der physikalischen Geometrie-und-Kinematik)”.
    Das bleibt wohl (zum Glück) uns noch überlassen. …

  6. #6 Frank Wappler
    19. Mai 2022

    Frank Wappler schrieb (#5, 19. Mai 2022):
    > […] “das Lebegue-Integral”

    … ist zu ersetzen durch: “das Lebesgue-Integral”.

    Dagegen soll der Pflastersatz von Lebesgue ja eine wesentliche Rolle in der Dimensionstheorie spielen, also doch eher mit “serious” definitions geometrischer Größen zu tun haben.