Aus der Schule kennt man natürlich Parallelverschiebung in der Ebene oder im Raum.
Auch auf gekrümmmten Flächen kann man Vektoren parallelverschieben, anschaulich sieht das dann so aus:
Definiert wird die Parallelverschiebung (entlang einer Kurve) über die folgende Bedingung: ein Vektorfeld ist parallel entlang einer Kurve, wenn seine Ableitung (nach den Tangentialvektoren der Kurve) 0 ist.
Für diese Definition muß man natürlich erst einmal definiert haben, was die Ableitung auf einer gekrümmten Fläche eigentlich sein soll. In der Ebene
oder dem Raum
hat man natürlich die bekannte Definition der Ableitung, doch die Definition der Ableitung auf einer gekrümmten Fläche ist erstmal nicht so offensichtlich, wenn auch letztlich für Flächen im
dann doch recht naheliegend:
Man habe eine Fläche im
und auf dieser ein Vektorfeld, welches man (nach einem anderen Vektorfeld, z.B. den Tangentialvektoren einer Kurve) ableiten will; dann leitet man es zunächst wie bekannt im
ab, bekommt als Ergebnis ein Vektorfeld im
, welches aber nicht unbedingt tangential an die Fläche sein muß. Man kann es aber natürlich mittels orthogonaler Projektion auf den Tangentialraum der Fläche projizieren und erhält so ein Vektorfeld auf der Fläche. Und dieses ist dann – per Definition – die Ableitung des Vektorfeldes auf der Fläche.
Im Ergebnis hat man also ein Verfahren, wie man ein Vektorfeld auf der Fläche ableiten kann und als Ableitung ein neues neues Vektorfeld bekommt. Dieses Ableitungsverfahren heisst Levi-Civita-Zusammenhang und wird üblicherweise abstrakt definiert durch eine Liste von Eigenschaften, welche die Ableitung erfüllen soll. Durch die geforderten Eigenschaften wird der Levi-Civita-Zusammenhang eindeutig festgelegt und für Flächen im
stimmt er mit der im vorigen Absatz beschriebenen Ableitung überein. (Auch allgemein für Untermannigfaltigkeiten im euklidischen
.)
Jedenfalls kann man mit der so definierten Ableitung (dem Levi-Civita-Zusammenhang) dann also eine Parallelverschiebung definieren durch die Bedingung, dass die Ableitung paralleler Vektorfelder 0 ist. (Die Bedingung liefert eine Gewöhnliche Differentialgleichung, welche sich zu einem gegebenen Anfangswert eindeutig lösen läßt.)
Wenn man entlang einer geschlossenen Kurve parallelverschiebt, dann kommt man (anders als bei Parallelverschiebung in der Ebene) nicht unbedingt wieder zum selben Vektor.
Wenn man etwa im Bild oben einen Vektor von A startend erst nach N, dann nach B, dann wieder nach A verschiebt, dann erhält man einen um 900 gedrehten Vektor.
Der Grund für die Drehung des Winkels (die als Holonomie bezeichnet wird) ist die Krümmung der Fläche. (Mit Krümmung meine ich hier die Gauß-Krümmung von Flächen, wie wir sie in TvF 48 definiert hatten.)
Tatsächlich kann man die Holonomie hol der Kurve mittels der Krümmung K berechnen:
,
wobei
die das Gebiet D berandende Kurve ist.
Im Bild oben ist D eine Achtelsphäre mit Flächeninhalt
, die Krümmung ist konstant 1, das Integral auf der rechten Seite der Gleichung ist demzufolge
und der Winkel ändert sich also um
.
Warum wir das jetzt hier eingeschoben haben, wo es doch in der TvF-Reihe eigentlich gerade um charakteristische Klassen geht – Zusammenhänge und Krümmungen braucht man, um den letzte Woche beschriebene Konstruktion von charakteristischen Klassen mittels invarianter Polynome explizit zu machen. Insbesondere werden wir Levi-Civita-Zusammenhang und Gauß-Krümmung benötigen um zu zeigen, daß tatsächlich wie letzte Woche behauptet (und von der Namensgebung nahegelegt), die mittels der Pfaffschen Determinante konstruierte Euler-Klasse gerade die Euler-Charakteristik liefert.
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