Fermat verallgemeinert

Die Presse berichtet über ein neues Millionenproblem, eine Verallgemeinerung des großen Satzes von Fermat:

Es gibt keine Lösungen von in natürlichen Zahlen A,B,C,x,y,z mit x,y,z≥3 und ggT(A,B,C)=1.

Für x=y=z bekommt man die Fermat-Gleichung. Falls diese eine Lösung in natürlichen Zahlen hätte, könnte man durch herauskürzen gemeinsamer Teiler eine Lösung mit ggT(A,B,C)=1 bekommen, weshalb obige Vermutung den Großen Fermatschen Satz als Spezialfall enthält.

Die Vermutung heißt Beal-Vermutung, Beal hatte sie 1997 aufgestellt und ein Preisgeld von zunächst 5000 $ ausgelobt, das jedes Jahr bis 2006 um 5000 $ steigen sollte. Gelöst wurde das Problem trotzdem nicht und jetzt hat er also das Preisgeld auf 1 Million Dollar aufgestockt.

Da es sich um eine Verallgemeinerung des Fermat-Problems handelt, werden einfachere Beweisansätze wohl kaum Erfolgsaussichten haben. Bemerkenswert ist vielleicht, dass man ebenso wie beim Fermat-Problem für hinreichend große Exponenten die Gültigkeit der Vermutung als Korollar aus der abc-Vermutung bekommen würde. Ein Beweis der abc-Vermutung wurde im vergangenen Jahr angekündigt, bisher gibt es aber weder eingereichte Arbeiten noch Vorträge auf Konferenzen oder Seminaren zu diesem Beweis.

Es gibt eine explizite Form der abc-Vermutung, mit der man dann sogar die Zahl der möglichen Gegenbeispiele stark einschränken könnte. Für diese potentiellen Gegenbeispiele haben Darmon und Granville in Bull. London Math. Soc. 27 (1995), no. 6, 513–543 gezeigt, dass es nur endlich viele Lösungen geben kann. (Quasi die verallgemeinerte Version der Mordell-Vermutung.) In manchen Fällen sind die Lösungen explizit bekannt, zum Beispiel für mit (Bruin, J. Number Theory 111 (2005), no. 1, 179–189. Poonen, Schaefer, Stoll Duke Math. J. 137 (2007), no. 1, 103–158.) Es gibt auch einige Fälle, in denen die Nichtexistenz teilerfremder Lösungen bekannt ist. Bennett zeigte, dass keine teilerfremden Lösungen hat und Bennett und Chen haben bewiesen, dass keine teilerfremden Lösungen besitzt. In allen Fällen werden Methoden ähnlich wie beim Beweis der Fermat-Vermutung (Galois-Darstellungen, elliptische Kurven etc.) verwendet. Die Arbeit von Bennett und Chen gibt einen Überblick über bekannte Resultate.