Quatsch mit Soße.

Zum Jahreswechsel mal, außer der Reihe, einfach nur Klamauk:

Mathematik wird ja gerne benutzt, um allem möglichen esoterischen Unsinn (von Astrologie bis Wirtschaftswissenschaften) einen wissenschaftlichen Anstrich zu verleihen. Vor allem die Chaostheorie wird da oft ins Feld geführt.

Und selbst die Topologie ist vor solchen Vereinnahmungen nicht sicher, wie ich vor einiger Zeit aus einer älteren Arbeit von Alan Sokal gelernt habe, in der unter anderem politische, philosophische und gesellschaftliche Implikationen der Topologie analysiert wurden.

Im Kapitel Differential Topology and Homology geht es um die Rolle der Topologie in den Sozialwissenschaften:

Differential Topology and Homology

Unbeknownst to most outsiders, theoretical physics underwent a significant transformation — albeit not yet a true Kuhnian paradigm shift — in the 1970’s and 80’s: the traditional tools of mathematical physics (real and complex analysis), which deal with the space-time manifold only locally, were supplemented by topological approaches (more precisely, methods from differential topology) that account for the global (holistic) structure of the universe. This trend was seen in the analysis of anomalies in gauge theories; in the theory of vortex-mediated phase transitions; and in string and superstring theories. Numerous books and review articles on “topology for physicists” were published during these years.

At about the same time, in the social and psychological sciences Jacques Lacan pointed out the key role played by differential topology:

This diagram [the Möbius strip] can be considered the basis of a sort of essential inscription at the origin, in the knot which constitutes the subject. This goes much further than you may think at first, because you can search for the sort of surface able to receive such inscriptions. You can perhaps see that the sphere, that old symbol for totality, is unsuitable. A torus, a Klein bottle, a cross-cut surface, are able to receive such a cut. And this diversity is very important as it explains many things about the structure of mental disease. If one can symbolize the subject by this fundamental cut, in the same way one can show that a cut on a torus corresponds to the neurotic subject, and on a cross-cut surface to another sort of mental disease.

As Althusser rightly commented, “Lacan finally gives Freud’s thinking the scientific concepts that it requires”. More recently, Lacan’s topologie du sujet has been applied fruitfully to cinema criticism and to the psychoanalysis of AIDS. In mathematical terms, Lacan is here pointing out that the first homology group of the sphere is trivial, while those of the other surfaces are profound; and this homology is linked with the connectedness or disconnectedness of the surface after one or more cuts. Furthermore, as Lacan suspected, there is an intimate connection between the external structure of the physical world and its inner psychological representation qua knot theory: this hypothesis has recently been confirmed by Witten’s derivation of knot invariants (in particular the Jones polynomial) from three-dimensional Chern-Simons quantum field theory.

Analogous topological structures arise in quantum gravity, but inasmuch as the manifolds involved are multidimensional rather than two-dimensional, higher homology groups play a role as well. These multidimensional manifolds are no longer amenable to visualization in conventional three-dimensional Cartesian space: for example, the projective space RP3 , which arises from the ordinary 3-sphere by identification of antipodes, would require a Euclidean embedding space of dimension at least 5. Nevertheless, the higher homology groups can be perceived, at least approximately, via a suitable multidimensional (nonlinear) logic.

Noch lustiger finde ich den Abschnitt über Mannigfaltigkeiten Manifold Theory: (W)holes and Boundaries. (“Whole” ist wohl seine Übersetzung des französischen Worts “ensemble”, auf deutsch: “Menge”.)

Manifold Theory: (W)holes and Boundaries

Luce Irigaray, in her famous article “Is the Subject of Science Sexed?”, pointed out that

the mathematical sciences, in the theory of wholes [théorie des ensembles], concern themselves with closed and open spaces … They concern themselves very little with the question of the partially open, with wholes that are not clearly delineated [ensembles flous], with any analysis of the problem of borders [bords] …

In 1982, when Irigaray’s essay first appeared, this was an incisive criticism: differential topology has traditionally privileged the study of what are known technically as “manifolds without boundary”. However, in the past decade, under the impetus of the feminist critique, some mathematicians have given renewed attention to the theory of “manifolds with boundary” [Fr. variétés à bord]. Perhaps not coincidentally, it is precisely these manifolds that arise in the new physics of conformal field theory, superstring theory and quantum gravity.

In string theory, the quantum-mechanical amplitude for the interaction of n closed or open strings is represented by a functional integral (basically, a sum) over fields living on a two-dimensional manifold with boundary. gif In quantum gravity, we may expect that a similar representation will hold, except that the two-dimensional manifold with boundary will be replaced by a multidimensional one. Unfortunately, multidimensionality goes against the grain of conventional linear mathematical thought, and despite a recent broadening of attitudes (notably associated with the study of multidimensional nonlinear phenomena in chaos theory), the theory of multidimensional manifolds with boundary remains somewhat underdeveloped. Nevertheless, physicists’ work on the functional-integral approach to quantum gravity continues apace, and this work is likely to stimulate the attention of mathematicians.

As Irigaray anticipated, an important question in all of these theories is: Can the boundary be transgressed (crossed), and if so, what happens then? Technically this is known as the problem of “boundary conditions”. At a purely mathematical level, the most salient aspect of boundary conditions is the great diversity of possibilities: for example, “free b.c.” (no obstacle to crossing), “reflecting b.c.” (specular reflection as in a mirror), “periodic b.c.” (re-entrance in another part of the manifold), and “antiperiodic b.c.” (re-entrance with 180o twist). The question posed by physicists is: Of all these conceivable boundary conditions, which ones actually occur in the representation of quantum gravity? Or perhaps, do all of them occur simultaneously and on an equal footing, as suggested by the complementarity principle?

At this point my summary of developments in physics must stop, for the simple reason that the answers to these questions — if indeed they have univocal answers — are not yet known. In the remainder of this essay, I propose to take as my starting point those features of the theory of quantum gravity which are relatively well established (at least by the standards of conventional science), and attempt to draw out their philosophical and political implications.

PS: Die Geschichte der Sokal-Affäre ist ja sicher allgemein bekannt: die Arbeit Transgressing the Boundaries: Towards a Transformative Hermeneutics of Quantum Gravity wurde 1996 in der Fachzeitschrift Social Text veröffentlicht.
Bemerkenswerter als der Hoax ist, daß Sokals Theorien geringfügige Modifikationen “echter” sozialwissenschaftlicher Theorien sind. Die oben erwähnten “Anwendungen” der Topologie in den Sozialwissenschaften gab es also wirklich!
Vielleicht wäre es mal ein Thema auch für diese Reihe, über solche Anwendungen der Topologie zu schreiben. Es hat da ja bestimmt auch nach 1996 noch neue Entwicklungen gegeben. (Nur um auch einen Vorsatz fürs neue Jahr zu haben. Selbst wenn dann wohl sowieso nichts draus wird. Hinweise auf lustige Anwendungen der Topologie nehme ich aber jedenfalls gerne entgegen…)

Kommentare (10)

  1. #1 Gregor
    2. Januar 2010

    “von Astrologie bis Wirtschaftswissenschaften”
    Kurze Nachfrage: Was qualifiziert Sie genau, zu Ihrer Einschätzung der Wirtschaftswissenschaften?

  2. #2 Thilo Kuessner
    2. Januar 2010

    Gar nichts. Nur der subjektive Eindruck, daß Prognosen von Wirtschaftswissenschaftlern eine ähnliche Zuverlässigkeit haben wie Prognosen von Astrologen. Es kommt zwar manchmal vor, daß sie zutreffen, aber das ist dann wohl eher Zufall und liegt nicht daran, daß mathematische Formeln verwendet wurden.

  3. #3 Gregor
    2. Januar 2010

    Ihr Kommentar verrät, dass Sie nicht einmal wissen, was der Inhalt der “Wirtschaftswissenschaften” ist.
    Etwas Achtung (oder zumindest Zurückhaltung) gegenüber Dingen, mit denen man sich BESTENFALLS am Rande beschäftigt hat, ist eine Frage des Anstandes.

    Tschüss, Gregor

  4. #4 Thilo
    2. Januar 2010

    Das sollte eigentlich nur ein lustiger Artikel zu Silvester sein. Um die Frage trotzdem noch ernsthaft zu beantworten:
    es geht bei Sokal ja darum, daß Mathematik benutzt wird, um subjektiven Meinungen eine scheinbare Objektivität zu verleihen. Ich kann natürlich nicht beurteilen, wie verbreitet das in den Sozial-, Politik- oder Wirtschaftswissenschaften wirklich vorkommt oder ob es sich eher um Einzelfälle handelt. Jedenfalls habe ich auch schon von Mathematikern gehört, die meinten, daß ihre Berechnungen nicht wirklich zur Entscheidungsfindung benutzt werden, sondern nur um bereits feststehenden Interpretationen noch einen wissenschaftlichen Anstrich zu geben.

    Zumindest diejenigen Ökonomen, die sich in öffentlichen Debatten äußern, haben doch ganz offensichtlich immer schon ein festgefügtes Weltbild (keynesianistisch oder neoliberal oder marxistisch oder was immer) und benötigen Mathematik nicht, um ihre Theorien zu entwickeln, sondern allenfalls um ihnen einen objektiveren Anschein zu verleihen. (Andererseits gibt es natürlich echte Mathematik in den Wiwi, z.B. Spieltheorie. Aber da darf man sicher bezweifeln, ob sie wirklich ökonomische Prozesse vollständig beschreibt.) Soweit meine persönliche Sicht, die zugegebenermaßen vor allem darauf beruht, was man eben an öffentlichen Statements von Ökonomen aus dem Fernsehen etc. kennt. Aber ich laß mich natürlich gerne von Insidern korrigieren.

  5. #5 Gregor
    2. Januar 2010

    Tut mir leid, bin wohl etwas übers Ziel hinausgeschossen. Ist nur so, dass ich es nicht gut finde, Wirtschaftswissenschaften in ihrer Gesamtheit als ESOTERIK abzutun. Trotzdem – sorry.

    Ich hatte das Vergnügen, vor meinem Elektrotechnikstudium ein BWL-Studium zu absolvieren. Und mir standen immer die Haare zu Berge, wie naiv/ahnungslos angehende Ingenieure/Naturwissenschaftler bei wirtschaftlichen Themen waren. Hat natürlich keine abgehalten, sich zu dem Thema zu äußern. Mit Wirtschaft ist es wahrscheinlich wie mit dem Klima – weil ich schon mal Regen gestanden/Brötchen gekauft habe, fühle ich mich berufen, eine Meinung hierzu zu haben. Hat sich nie einer gefragt, warum auch BWL oder VWL ein mehrjähriges Studium ist – wieso eigentlich nicht? Bezüglich Physik, Chemie … sind wir doch auch nicht so schnell mit einer eigenen Meinung zur Hand.

    Und wenn der „gesunde Menschenverstand“ ausreicht, dann sind die Ideologen nicht weit. Die wissen ja schon was richtig ist – hier geht es nur noch darum, andere zu überzeugen (und Mathematik ist nur hierfür ein Hilfsmittel). Das sind aber per Definition schon keine Wissenschaftler mehr.
    Mein Eindruck ist aber, dass Ökonomen (und so wird es auch im Studium vermittelt) sehr wohl bewusst ist, dass sie mit Modellen arbeiten. Und wer nicht begreift, dass ein Modell nicht die Realität darstellt, ist nur dumm. Aber auch dies ist kein Privileg der Ökonomen, dass finden Sie nach meiner Erfahrung bei den Technikern und Naturwissenschaftlern genauso (oder sogar noch mehr).

    Im Übrigen sind Ihre Beispiele nur ein Ausschnitt aus der Volkswirtschaftslehre und nicht die gesamte Wirtschaftswissenschaft – schließlich behauptet ja auch keiner, dass die Analysis die komplette Mathematik darstellt.

    Meines Erachtens sind auch die Ansprüche an die VWLer zu hoch gesteckt. Es gibt “unendlich” viele Variablen, gehandelt wird von realen Menschen und dazu ändern sich die Regeln und die Umwelt laufend. Frage: Legen Sie die gleichen Regeln z. B. auch bei der Klimaforschung oder Wettervorhersagen an? Ich habe unheimlich viel Respekt vor Klimaforschern und Meteorologen – nicht weil ihre Vorhersagen IMMER stimmen. Ich kann ihre Modelle nicht überblicken – aber ich bin mir sicher, dass sie diese Modelle mit der Realität abgleichen und immer weiter verbessern und das ist Wissenschaft und keine Esoterik!

    Und mal eine anderer Gesichtspunkt – lassen Sie sich doch mal von einem Evolutionsbiologen die künftige Entwicklung des Birkenspinners voraussagen. Von einem Geschichtswissenschaftler die zünftige Weltordnung …
    Alles Esoterik, weil sie keine genauen Vorhersagen machen können? Oder ist es so, dass bestimmte Wissenschaften primär erklärend sind und andere sowohl erklären als auch Voraussagen machen, z. B. Physik.

    Und noch eine kleine Insiderinformation: In unser Firma setzen wir Mathe ein, um unsere Probleme zu lösen. Aber Freitagnachmittag (und selten gegenüber meinem Chef) setze ich Mathematik und komplexe Modelle ein, um mir die Arbeit vom Hals zu schaffen. Es sind ja nur BWLer, die raffen das eh’ nicht und eine vierte Kommastelle bei einem Millionen Eurobetrag imponiert noch immer 😉

    Und das ist alles, was ich dazu sagen kann.

  6. #6 Thilo Kuessner
    13. März 2010

    Ein aktuelles Interview mit Alan Sokal auf https://www.philosophypress.co.uk/?p=802

  7. #7 VangAvis
    7. September 2011

    Houses are quite expensive and not everyone is able to buy it. Nevertheless, LINK REMOVED was created to help different people in such kind of hard situations.

  8. #8 Tara28Flowers
    8. September 2011

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  9. #10 Thilo
    11. Februar 2015

    Naja Geschmackssache, ich fand Sokal lustiger.