Winkelverzerrungen – wie mißt man den ‘Abstand’ zweier Riemannscher Flächen?

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Sei F eine Fläche mit mindestens 2 Henkeln.

Letzte Woche hatten wir gesagt, daß der Raum der hyperbolischen Metriken auf F dasselbe ist wie der Modulraum der Riemannschen Flächen, d.h. der Raum der ‘komplexen Strukturen’ auf F (also der Atlanten mit komplex-differenzierbaren Kartenwechseln).

Dabei gelten zwei Riemannsche Flächen als gleich, wenn es eine biholomorphe Abbildung (d.h. eine komplex-differenzierbare Abbildung mit komplex-differenzierbarer Umkehrabbildung) zwischen ihnen gibt.

biholomorph = konform

Nicht jede komplex-differenzierbare Abbildung ist biholomorph: z.B. ist für n>1 zwar f(z)=zn komplex-differenzierbar, die Umkehrabbildung (die n-te Wurzel) aber nicht, weshalb f(z)=zn nicht biholomorph ist.

Damit eine Selbstabbildung der komplexen Ebene biholomorph ist, muß sie konform sein, d.h. Winkel erhalten:

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Das Bild oben zeigt eine winkelerhaltende Abbildung (die aber nicht längenerhaltend sein muß).
Zum Beispiel f(z)=zn ist für n>1 nicht konform, weil der Winkel α jeweils in den Winkel nα abgebildet wird.

(Abbildungen f:C–>C der gesamten komplexen Zahlenebene C sind konform genau dann, wenn sie aus einer Drehung und einer Streckung zusammengesetzt sind. Auf Teilmengen von C kann es aber noch weitere konforme Abbildungen geben. Zum Beispiel sind die gebrochen-linearen Transformationen (az+b)/(cz+d) auf ihrem Definitionsbereich konforme Abbildungen.)

quasikonform

Zwei Riemannsche Flächen sind also gleich, wenn es eine konforme Abbildung zwischen ihnen gibt.

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Teichmüllers Idee zur Lösung von Riemanns Moduliproblem (der Vermutung, daß die Riemannschen Flächen mit g Henkeln von 6g-6 Parametern abhängen) war es dann, den ‘Abstand’ zwischen zwei Riemannschen Flächen durch die ‘Verzerrung der Winkel’ (die ‘Dilatation’ einer ‘quasikonformen’ Abbildung) zu messen.

Es gibt verschiedene Definitionen für quasikonforme Abbildungen. Die gebräuchlichste ist, daß eine Abbildung K-quasikonform (für eine Konstante K>1) heißt, wenn die sogenannte Dilatation höchstens K ist. Anschaulicher ist die Definition, daß die Abbildung quasikonform ist, wenn sie (infinitesimal) alle Kreise in Ellipsen mit beschränkter Exzentrität abbildet.

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(Die Dilatation einer konformen Abbildung ist K=1. Eine konforme lineare Abbildung würde Kreise in Kreise abbilden. Die verschiedenen Definitionen von ‘quasikonform’ werden in diesem “What is”-Artikel von Heinonen diskutiert.)

Quasikonforme Abbildungen wurden zuerst von Grötzsch definiert, dann von Ahlfors bei der Lösung analytischer Probleme angewandt. Teichmüllers Idee war es dann, die Dilatation quasikonformer Abbildungen zur Definition eines ‘Abstandes’ zwischen Riemannschen Flächen zu benutzen: wenn man zwei Riemannsche Flächen F1,F2 hat, dann gibt es immer quasikonforme Abbildungen zwischen ihnen und Teichmüller definiert dann den Abstand d(F1,F2)=inf log(K)/2, wobei K die Dilatation einer quasikonformen Abbildung bezeichnet und das Infimum über alle quasikonformen Abbildungen zwischen F1 und F2 genommen wird. (Wenn es eine konforme Abbildung gibt, also eine Abbildung mit K=1, dann ist d=0, die Flächen sind gleich.) Dieser Abstand definiert die Teichmüller-Metrik auf dem Teichmüller-Raum der Riemannschen Flächen. Und diese Metrik kann man dann benutzen, um zu beweisen, daß der Teichmüller-Raum 6g-6-dimensional ist, dazu nächste Woche.


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