Das folgende Gedicht über die Suche nach endlichen einfachen Gruppen ist mir ebenso wie das über die Genesis der Mathematik und die Traurige Ballade von den eifersüchtigen Kegeln von Herrn Grassmann aus Mühlenbeck zugeschickt worden.

Mit „Loops“ sind die zyklischen Gruppen gemeint, also die Gruppen Z/NZ der Restklassen modulo einer ganzen Zahl N. Klassisches Beispiel ist die Uhrenarithmetik modulo 12. (Einfache Gruppen erhält man auf diese Weise allerdings nur, wenn N eine Primzahl ist.)

Mit „An“ sind die Gruppen der geraden Permutationen gemeint, also derjenigen Permutationen, die sich als Hintereinanderausführung einer geraden Anzahl von Transpositionen zerlegen lassen. Beispielsweise ist (2,3,4) eine gerade Permutation, weil es sich in die Hintereinanderausführung der Transpositionen (34) und (23) zerlegen läßt.

Die Gruppe An einfach für n>4, während die Gruppe aller Permutationen nicht einfach wäre, weil sie ja An Als Normalteiler enthält.
Als nächstes kommen dann die Matrozengruppen über endlichen Körpern, sogenannte Gruppen vom Lie-Typ. Darauf aufbauend fanden Suzuki und Ree (heute würde man den wohl Lee transkribieren, die eigentlich korrekte Transkription wäre einfach I) weitere Serien einfacher Gruppen, wie man im Wikipedia-Artikel Group of Lie type nachlesen kann.
Feit und Thompson bewiesen dann in einer 254 Seiten langen Arbeit, dass Gruppen ungerader Ordnung auflösbar sind. Insbesondere gibt es außer den zyklischen Gruppen keine einfachen Gruppen ungerader Ordnung.
Und schließlich kamen dann noch 26 sporadische Gruppen, von denen die fünf Mathieu-Gruppen schon seit dem 19. Jahrhundert bekannt waren und die anderen 21 in den 60er und 70er Jahren des 20. Jahrhunderts gefunden wurden.
Und mit dem inzwischen abgeschlossenen Beweis des Klassifikationssatzes sind das dann alle.

Das Gedicht dürfte wohl aus den 70er Jahren stammen (die 1975 gefundene letzte Janko-Gruppe wird nicht erwähnt), die ursprüngliche Quelle ließ sich leider nicht mehr feststellen. Eine Webseite nennt Saunders MacLane als Autor, was mir aber recht unwahrscheinlich vorkommt: MacLane war Kategorientheoretiker und nicht an der Suche nach endlichen einfachen Gruppen beteiligt.
Die komplette Liste der endlichen einfachen Gruppen hat der Wikipedia-Artikel.

Kommentare (3)

  1. #1 Bruno der Lehrer
    27. Februar 2019

    Wer ist der Mathematiker-Poet?

    Also, mit meiner 9. Klasse habe ich gleich “A simple ballad” mal besprochen. Ich dachte, so viel Romantik, so viel Leidenschaft, der Funke muss doch überspringen! Wir haben einfache Gruppen, Permuationsgruppen, zyklische Gruppen und Matrizendarstellung endlicher Gruppen besprochen.

    Dann haben wir uns vorgenommen, den Poeten herauszufinden. Meine Schüler sind ja ganz schön fix, diese Sachen im Netz zu suchen.

    Der Poet muss viel Humor gehabt haben, stellten meine Schüler fest, nämlich “that old Burnside” kann ein alter Backenbart, ein fiktionaler Charakter (William B.) oder eben William Burnside (1852-1927, der Mathematiker sein.

    Bei McLaughtin ist ein kleiner Fehler passiert, es muss wohl McLaughlin heißen, das gibt es den Jack E. McLaughlin, den Gruppentheoreitiker oder hat der Poet vielleicht die gleichnamige McLaughlin-Gruppe gemeint? Das ist eine Band. Sehr witzig.

    Naja, wir haben überlegt, was verbindet die Mathematiker, die in der Ballde vorkommen? Sie waren alle so um 1920-1936 geboren, bis auf die ganz alten, die schon tot sind.

    Aber schließlich hat Charlotte, ein aufgewecktes Mädchen, drei wichtige Hinweise gefunden: In The Last Recreations. Hydras, Eggs, and Other Mathematical Mystifications von Martin Gardner (1997):

    – die Ballade wurde 1970 in der Eckart Library der Uni Chicago im Lesesaal gefunden

    – es gibt eine tabellarische Geschichte der Monster- u.a. sporadischer Gruppen, in der die Namen der vorkommenden Personen auftreten und auch weiterer involvierter Mathematiker

    – Die Geschichte der endlichen Gruppen gründet sich auf die Arbeiten von Mathieu, Émile Léonard (1835-1890). Nur ein Englisch sprechender Mensch wird Mathieu “Sir Matthew” nennen.

    Das haben wir in Verbindnung gebracht und haben 4 Vorschläge erarbeitet und bewertet, die wir hier dem Blog vorlegen möchten:

    1. Jonathan L. Alperin (*1937) Mathematiker, ist 1970 an die Uni Chicago gekommen, schreibt Gedichte.

    2. Robert Griess (*1945) Uni Michigan, konstruierte die Monstergruppe mit der Griess-Algebra!

    3. Benson Farb (* 1967) Uni Chicago, hat als kleiner Jungen schon Mathe gemacht.

    4. Terry Lyons (* 1953), engl. Mathematiker, er ist visionärer und politischer als die Gruppentheoretiker.

  2. #2 Thilo
    27. Februar 2019

    Wie kommen sie gerade auf Farb und Lyons? Ich kenne Farb flüchtig und glaube nicht, dass er sich für den Klassifkationsbeweis der einfachen Gruppen interessiert.

  3. #3 Bruno der Lehrer
    27. Februar 2019

    “Benson” und “Lyons” stehen in Gardners Monster-Gruppen-Liste.