Die längste bis 2004 gefundene arithmetische Folge von Primzahlen waren die ersten 23 Glieder der Folge 56211383760397 + 44546738095860 · k, beginnend mit k=0. Die Vermutung von Erdös, dass es beliebig lange arithmetische Folgen von Primzahlen gibt, bewiesen Green und Tao 2004 mit einem relativ einfachen Beweis, der praktisch alles verwendete, was bisher zu Szemerédis Regularitätslemma gearbeitet worden war, sowohl aus Szemerédis kombinatorischem Beweis wie aus Furstenbergs ergodentheoretischem und Gowers‘ harmonische Analysis verwendenden und letztlich eine allgemeinere Version des Regularitätssatz zeigenden Beweis.
Szemerédi selbst hatte sein Regularitätslemma angewendet, um für Mengen positiver Dichte die Existenz beliebig langer arithmetischer Folgen nachzuweisen (was 1936 von Erdös und Turán vermutet worden war). Das läßt sich zunächst nicht auf die Menge der Primzahlen anwenden, Green und Tao bewiesen aber ein Transferenzprinzip, mit dem sie Szemerédis Argument auf gewisse „pseudozufällige“ Zahlenmengen ausdehnen konnten. Sie benutzten dann Resultate über Lücken in Primzahlen um zu beweisen, dass die Primzahlen in einer in diesem Sinne pseudozufälligen Menge als dichte Teilmenge enthalten sind. Damit erhielten sie den Beweis von Erdös‘ Vermutung.
Ihr Beweis benutzte nur im letzten Schritt spezifische Eigenschaften der Primzahlen, ansonsten ging es einfach um Mengen der Dichte 1/log(n) (was nach dem Primzahlsatz die Dichte der Primzahlen ist). Insbesondere bewiesen sie die Existenz beliebig langer arithmetischer Folgen in Teilmengen der Menge der Primzahlen, solange diese immer noch die Dichte 1/log(n) haben.
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