Fourier-Reihen dienen dazu, Funktionen in eine Summe unendlich vieler Schwingungen zu zerlegen – so wie das Ohr den Klang eines Sinfonie-Orchesters in die Schwingungen der einzelnen Instrumente zerlegen kann. Statt der Funktion f(t) hört man die Intensität der einzelnen Schwingungen, also die Koeffizienten in der Zerlegung von f(t) in Sinus- und Kosinusschwingungen unterschiedlicher Frequenz.

In der Mathematik des 19. Jahrhunderts waren Fourier-Reihen vor allem als nützlicher Ansatz beim Lösen von Differentialgleichungen wichtig gewesen.

Eine stetige Funktion f auf einem kompakten Intervall [a,b] (oBdA [a,b]=[-π,π]) mit f(a)=f(b) kann man in eine Fourierreihe f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_{k}\cos\left(kt\right)+b_{k}\sin\left(kt\right)\right) entwickeln.
Aus der Parsevalschen Gleichung \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)^2\, \mathrm dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} (a_k^2 + b_k^2) (oder bereits der einfacheren Besselschen Ungleichung) folgt, dass die Folge der Koeffizienten in l2 liegt, dem Vektorraum der quadratisch summierbaren Folgen.

Hilbert hatte dies beim Beweis des Spektralsatzes für stetige Funktionen benutzt und Erhard Schmidt hatte diesen Ansatz geometrisch gedeutet, in dem er stetige Funktionen als Vektoren im unendlich-dimensionalen Vektorraum l2 (mit seinem natürlichen Skalarprodukt) interpretierte, die Funktionen 1 und cos(kx), sin(kx) – wobei k alle natürlichen Zahlen durchläuft – als vollständiges Orthonormalsystem in diesem Raum, und die Koeffizienten der Fourier-Reihe einer Funktion f als Skalarprodukt von f mit diesen Vektoren.

Nun entspricht nicht jeder Punkt aus l2 einer stetigen Funktion und tatsächlich ist der Raum der stetigen Funktionen nicht vollständig in der L2-Norm, d.h. nicht jede Cauchy-Folge konvergiert. Hilbert und Schmidt konnten zwar mit dem unendlich-dimensionalen Raum l2 arbeiten, aber er war jedenfalls nicht der Funktionenraum, um den es ihnen eigentlich ging.

Bereits ein Jahr nach Hilberts Arbeit kam dann Frigyes Riesz, damals Gymnasiallehrer im slowakischen Löcse, mit der folgenden Idee: wenn man statt des klassischen Integralbegriffs das Lebesgue-Integral verwendet, dann kann man auch viele unstetige Funktionen integrieren. Wenn man den Vektorraum L2 der auf [-π,π] quadratisch-integrierbaren Funktionen f betrachtet, für die also \int_{-\pi}^\pi \vert f(x)\vert^2 endlich ist (und wenn man Funktionen identifiziert sobald sie außerhalb einer Nullmenge übereinstimmen), dann ist dieser Funktionenraum - wieder mittels der Koeffizienten trigonometrischer Polynome - isomorph zu l2: Riesz bewies, dass jede Folge in l2 einer Funktion in L2 entspricht. Insbesondere ist L2 vollständig, was gleichzeitig auch vom Brünner Privatdozenten Ernst Fischer bewiesen und in der selben Ausgabe der Comptes Rendus wie Riesz' Arbeit veröffentlicht wurde. Anschaulich bedeutet die Vollständigkeit, dass man L2([a,b]) wie einen (unendlich-dimensionalen) euklidischen Raum behandeln kann, man also eine Geometrie der Funktionen erhält. Dies paßte in eine neue Sichtweise, wie sie etwa von Hadamard vertreten wurde. Dessen Doktorand Maurice Frechet hatte in seiner Dissertation metrische Räume definiert und festgestellt, dass diese im Allgemeinen (und gerade im unendlich-dimensionalen) nicht alle Eigenschaften des Rn teilen, beispielsweise sind sie nicht immer vollständig und in der Regel fehlt die lokale Kompaktheit, mit deren Hilfe man in endlich-dimensionalen Räumen Kompakta als abgeschlossene, beschränkte Mengen charakterisieren kann.

Riesz hatte als erster L2([a,b]) mit der L2-Norm als metrischen Raum betrachtet. Mittels des Skalarprodukts \langle f,g\rangle=\int_a^bfg dx konnte er L2([a,b]) als sein eigenes Dual auffassen: wegen der Cauchy-Schwarz-Ungleichung entsprechen die L2-Funktionen stetigen Funktionalen auf L2 und er bewies, dass es keine weiteren stetigen Funktionale gibt.

In der Vergangenheit hatten Mathematiker, etwa Poincaré und Klein in ihren Arbeiten zur Uniformisierung, nie gezögert, Stetigkeitsargumente in Funktionenräumen zu verwenden. Den Begriff des stetigen Funktionals, also einer stetigen Abbildung auf einem Funktionenraum, gab es aber noch nicht lange. Hadamard hatte erstmals eine Charakterisierung stetiger Funktionale (bzgl. gleichmäßiger Konvergenz stetiger Funktionen) gefunden.

In den folgenden Jahren bewies Riesz, teils in Zusammenarbeit mit anderen, eine Reihe von "Darstellungssätzen", in denen es darum ging, jedes stetige Funktional als Integral (oder in geometrischer Sprache als Skalarprodukt mit einer geeigneten Funktion) darzustellen. So konnte er mit Hilfe der Hölder-Ungleichung zeigen, dass die stetigen Funktionale auf Lp([a,b]) gerade die Skalarprodukte mit Funktionen aus Lq([a,b]) für 1/p+1/q=1 sind. Insbesondere ist Lp([a,b]) ein vollständiger metrischer Raum.

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Kommentare (9)

  1. #1 Frank Wappler
    7. Januar 2020

    Thilo schrieb (2. Januar 2020):
    > Eine stetige Funktion f auf einem kompakten Intervall […] kann man in eine Fourierreihe f(t)=[…] entwickeln.

    Es versteht sich wohl, dass die betreffende, auf einem bestimmten kompakten Intervall definierte Funktion f dabei in periodische trigonometrische Funktionen entwickelt wird, deren Perioden alle gleich der Länge dieses Intervalls sind (und die hinsichtlich Integration über dieses Intervall “orthogonal” sind).

    Dabei ist es jedoch offenbar nicht zwingend erforderlich, dass die Funktion f an den beiden Enden des Intervalls gleiche Werte hätte.
    Sofern das aber nicht ausdrücklich gefordert bzw. garantiert ist, wäre mindestens einer dieser beiden (ungleichen) Funktionswerte an diesen beiden Stellen auch ungleich dem Wert der Fourierreihe an der selben Stelle.

    Es erscheint folglich i.A. nicht ganz richtig, zwischen einer Funktion (für irgendeinen bestimmten Wert des Arguments t, im Definitionsbereich) und “ihrer” Fourierreihe (für den selben Wert von t) ein Gleichheitszeichen zu setzen.
    (Ein anderes, womöglich passenderes Zeichen findet sich z.B. dort eingesetzt.)

  2. #2 Frank Wappler
    7. Januar 2020

    Thilo schrieb (2. Januar 2020):
    > Eine stetige Funktion f auf einem kompakten Intervall […] kann man in eine Fourierreihe f(t)=[…] entwickeln.

    Es versteht sich wohl, dass die betreffende, auf einem bestimmten kompakten Intervall definierte Funktion f dabei in periodische trigonometrische Funktionen entwickelt wird, die alle bzgl. der Länge dieses Intervalls periodisch sind (auch wenn sie jeweils noch kleinere “kleinste Periodenlängen” haben), und die hinsichtlich Integration über dieses Intervall “orthogonal” sind.

    Dabei ist es jedoch offenbar nicht zwingend erforderlich, dass die Funktion f an den beiden Enden des Intervalls gleiche Werte hätte.
    Sofern das aber nicht ausdrücklich gefordert bzw. garantiert ist, wäre mindestens einer dieser beiden (ungleichen) Funktionswerte an diesen beiden Stellen auch ungleich dem Wert der Fourierreihe an der selben Stelle.

    Es erscheint folglich i.A. nicht ganz richtig, zwischen einer Funktion (für irgendeinen bestimmten Wert des Arguments t, im Definitionsbereich) und “ihrer” Fourierreihe (für den selben Wert von t) ein Gleichheitszeichen zu setzen.
    (Ein anderes, womöglich passenderes Zeichen findet sich z.B. dort eingesetzt.)

  3. #3 Thilo
    8. Januar 2020

    Ich hätte wohl sagen sollen, dass die Elemente in L^2 Strenggenommen keine Funktionen, sondern Äquivalenzklassen von Funktionen sind. Man betrachtet zwei Funktionen als äquivalent, wenn sie bis auf die Werte auf einer Nullmenge übereinstimmen. Damit kann man o.B.d.A. immer annehmen, dass f(a)=f(b).

  4. #4 Frank Wappler
    8. Januar 2020

    Thilo schrieb (#3, 8. Januar 2020):
    > Ich hätte wohl sagen sollen […]

    Mich würde in diesem Zusammenhang noch interessieren, ob es Systeme von Funktionen gibt,

    – in die sich jede auf Intervall [a, \, b] definierte stetige Funktion so entwickeln ließe, dass in jedem Punkt des Definitionsbereiches der Funktionswert gleich dem entsprechenden Wert der Entwicklungsreihe wäre, und

    – die bzgl. “schlichter (ungewichteter)” Integration orthogonal sind (was z.B. die Tschebyscheff Polynome über Intervall [-1, \, 1] gerade nicht sind).

  5. #5 Tox
    9. Januar 2020

    @Frank Wappler
    Dafür müsstest du genauer definieren, was du unter einem “System von Funktionen” und dem “Entwickeln einer Funktion” (bzw. einer “Entwicklungsreihe” und deren “Wert”) verstehst.

    Dass sich stetige Funktionen auf kompakten Intervallen gleichmäßig (d.h. nach der Supremumsnorm) durch Polynome approximieren lassen ist ja bekannt. Und dass es orthogonale Polynome gibt ist auch bekannt.

  6. #6 Frank Wappler
    9. Januar 2020

    Tox schrieb (9. Januar 2020):
    > Dafür müsstest du genauer definieren, was du unter einem “System von Funktionen” und dem “Entwickeln einer Funktion” (bzw. einer “Entwicklungsreihe” und deren “Wert”) verstehst.

    Sicher … Jedenfalls vielen Dank: denn das erinnert mich schlagartig daran, dass “das Problem” des (geeignet definierten) “Entwickelns einer Funktion” ja sehr allgemein und gründlich durch (“das System der”) Dirac-Deltas erledigt werden kann. Dabei allerdings, soweit ich dem folgen kann, gleich dermaßen gründlich, dass Stetigkeit der entsprechend “zu entwickelnden” Funktion gar nicht erforderlich ist.

    > Dass sich stetige Funktionen auf kompakten Intervallen gleichmäßig (d.h. nach der Supremumsnorm) durch Polynome approximieren lassen ist ja bekannt

    Diese Aussage gehörte zwar nicht unbedingt zu meinen Aktivposten … (Ist z.B. “\text{Tan}[ \, x \, ] für t \in [ \pi/2, \, \pi/2 ]” überhaupt an den Intervallenden stetig ?? …)

    > Und dass es orthogonale Polynome gibt ist auch bekannt.

    Sehr richtig. Ich hatte bei meiner gestrigen Recherche nur leider die Legendre-Polynome P_k übersehen (bzw. schon lange nicht mehr im aktiven Gedächtnis), und meine obige Frage (#8) entsprechend sehr allgemein gestellt.

    Unter Nutzung einer sehr speziellen Eigenschaft aller Legendre-Polynome, nämlich \forall k : P_k[ \, 1 \, ] = 1, kann ich “genauer nachhaken”:

    Die “Legendre-Entwicklung” einer Funktion f : [ -1, \, 1 ] \rightarrow \mathbb R im Argumentwert x = 1 ergibt sich damit doch als

    \sum_{k = 0}^{\infty}\left[ \left( \frac{2 k + 1}{2} \right) \left(\int_{-1}^{1} dt \, f[ \, t \, ] \, P_k[ \, t \, ] \right) \, P_k[ \, 1 \, ] \right] =

    \sum_{k = 0}^{\infty}\left[ \left( \frac{2 k + 1}{2} \right) \left(\int_{-1}^{1} dt \, f[ \, t \, ] \, P_k[ \, t \, ] \right) \right] =

    … falls das nicht “zu naiv” ist …

    \int_{-1}^{1} dt \, f[ \, t \, ] \, \sum_{k = 0}^{\infty}\left[ \, \left( \frac{2 k + 1}{2} \right) \, P_k[ \, t \, ] \, \right].

    Was mich konkret interessiert ist, ob dieser Wert tatsächlich für beliebige (stetige) Funktionen f jedenfalls gleich dem entsprechenden Funktionswert f[ \, 1 \, ] sein soll.
    (Immerhin lassen sich doch äußerst verschiedene Funktionen denken, die alle den gleichen Wert bei Argument x = 1 haben.)

  7. #7 Tox
    10. Januar 2020

    @Frank Wappler
    Die Tangens-Funktion ist in +-pi/2 nicht definiert, also kann sie dort auch nicht stetig sein. (Jedenfalls wenn man sie als eine Funktion in die reellen Zahlen betrachtet; man kann die reellen Zahlen um einen oder zwei unendliche Werte erweitern und dann darauf eine passende Topologie definieren. Dann kann tan stetig sein. Aber dann gelten u.U. andere Aussagen nicht mehr.)

    Für jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall gibt es eine Folge von Polynomen, die gleichmäßig gegen die Funktion konvergiert. Das heißt aber nicht, dass die Partialsummenfolge der Legendre-Entwicklung diese Folge ist. Ich würde erwarten (habe aber keinen Beweis zur Hand), dass sie in der L^2-Norm konvergiert, im Allgemeinen aber nicht gleichmäßig oder punktweise.

  8. #8 Frank Wappler
    http://here.lie.the.bones
    14. Januar 2020

    Tox schrieb (13. Januar 2020):
    > Wenn man Geradenstücke nicht als “Ur-Objekte” […] ansieht, die nicht zu definieren sind,

    … also insbesondere in der (geometrisch-kinematischen Sektion der) Relativitätstheorie, in der (bekanntlich) »all unsere zeit-räumlichen Konstatierungen stets auf Bestimmungen zeit-räumlicher Koinzidenzen hinauslaufen«

    > dann stellt sich die Frage, wie man sie definiert.

    Unbedingt.

    > Ich sehe da im Wesentlichen zwei Möglichkeiten: Entweder darüber, dass auf ihnen die Beschleunigung gleich Null ist,

    … womit allerdings wiederum die Frage verbunden wäre, ob und wie “Beschleunigung” zu definieren bzw. zu messen ist;
    oder (hinsichtlich des Null-Wertes) damit zusammenhängend auch: welche Beteiligten (von vornherein) als “frei” gelten sollten, und welche nicht …

    > oder darüber, dass sie bei festem Anfangs- und Endpunkt extremale Länge haben

    … was wiederum gegebene (Verhältnis-)Werte von “Länge” (entweder im strikten Sinne, oder ggf. geeignet verallgemeinert) voraussetzt, die wiederum mit geeigneten Distanzen (oder Abständen) zwischen Paaren von Elementen zusammenhängt.

    Hinsichtlich Paaren von (Koinzidenz-)Ereignissen, die zueinander zeitartig liegen (für die sich also Beteiligte denken und womöglich sogar finden lassen, die jeweils an beiden Ereignissen teilgenommen hatten), sind die sogenannten Lorentzschen Distanzen, \ell geeignet.
    Drei (Koinzidenz-)Ereignisse, an denen ein bestimmter Beteiligter, A, teilnahm (jeweils in Koinzidenz mit diversen weiteren Beteiligten), \varepsilon_{AJ}, \varepsilon_{AK} und \varepsilon_{AP}, heißen schlicht dann “zueinander gerade”, falls

    \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{AJ},\, \varepsilon_{AK} \, ]}{\ell[ \, \varepsilon_{AJ},\, \varepsilon_{AP} \, ] \right) + \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{AK},\, \varepsilon_{AP} \, ]}{\ell[ \, \varepsilon_{AJ},\, \varepsilon_{AP} \, ] \right) = 1.

    (Bestimmte Extremal-Eigenschaften gelten natürlich aufgrund des Zusammenhangs zwischen “Lorentzscher Distanz” und “Dauer” bzw. “Raumzeit-Kurvenlänge”.)

    > […] nicht unmittelbar klar, dass solche Wege tatsächlich möglich sind, und wie sie ggf. physikalisch zu realisieren sind.

    Das betrifft Raumzeit-Regionen, die “punktiert” bzw. “begrenzt” bzw. “gelöchert” (gedacht) sind …
    (Was wiederum die Frage aufwirft, wie die entsprechende “Topologie” überhaupt zunächst zu messen wäre.)

    > […] dass das “auf der Erde bleiben” einem Geradenstück (im Sinne extremaler Eigenzeit) in der Raumzeit entspricht, ist meiner Meinung nach nicht trivial.

    In Anbetracht von (messbaren) “Umläufen der Erde um die Sonne” ist das womöglich sogar falsch.

  9. #9 Frank Wappler
    14. Januar 2020

    […] heißen schlicht dann “zueinander gerade”, falls

    \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{AJ},\, \varepsilon_{AK} \, ]}{\ell[ \, \varepsilon_{AJ},\, \varepsilon_{AP} \, ]} \right) + \left( \frac{\ell[ \, \varepsilon_{AK},\, \varepsilon_{AP} \, ]}{\ell[ \, \varepsilon_{AJ},\, \varepsilon_{AP} \, ]} \right) = 1.