Typische Beispiele von Singularitäten sind die Kuspe y2=x3 oder die nodale Singularität y2=x3-3x+2.
Algebraische Varietäten (Nullstellenmengen von Polynomen) können beliebig komplizierte Singularitäten haben, was ihre Klassifikation völlig aussichtslos macht. Man strebt deshalb nur eine Klassifikation bis auf birationale Äquivalenz an. Birationale Äquivalenz heißt, dass man auf einer offenen, dichten Teilmenge eine Isomorphie hat, äquivalent dass die Funktionenkörper isomorph sind.
Singularitäten bis auf birationale Äquivalenz aufzulösen heißt dann zu einer Varietät X ein singularitätenfreies X’ und eine gemeinsame offene, dichte Teilmenge in beiden zu finden. Das klassische Beispiel ist die Aufblasung, wo die Singularität durch die Menge aller durch die Singularität laufenden Geraden, also eine Kopie des projektiven Raumes ersetzt wird.
Für Kurven hat man seit dem 19. Jahrhundert eine Klassifikation, deren Beweis die Auflösbarkeit von Singularitäten verwendet. Dabei gibt es zahlreiche Beweise für die Auflösbarkeit der Singularitäten von Kurven, der älteste geht auf Newton zurück, der 1676 die Existenz von Puiseux-Reihen für jede Kurve zeigte.
Für algebraische Flächen wurde die Auflösbarkeit von Singularitäten über C 1935 von Lefschetz’ Doktoranden Robert Walker und über beliebigen Körpern der Charakteristik Null 1939 von Oscar Zariski bewiesen. Hier ist die Auflösung nicht mehr eindeutig, es gibt aber eine eindeutige minimale Auflösung.
Zur Vorbereitung seiner Arbeiten über Auflösbarkeit von Singularitäten hatte Zariski 1935 ein Lehrbuch über Algebraische Flächen verfaßt, das ursprünglich die Arbeiten der italienischen Schule zusammenfassen sollte. (Zariski stammte aus Weißrussland, hatte seine mathematische Ausbildung aber in Italien absolviert.) Beim Schreiben des Buches kam er zu der Überzeugung, dass die algebraische Geometrie eine neue Grundlage brauche. Ideale in Polynomringen stellten sich als der richtige Zugang zur algebraischen Geometrie heraus. Ein einfaches Beispiel mag das illustrieren. Die Kurven x-1 und y2-x in P2 sind beide irreduzibel, aber die durch sie definierte Varietät besteht aus zwei unzusammenhängenden Punkten (1,1) und (1,-1). Das wirft die Frage auf, wie man eine Familie von Polynomen faktorisiert. Den Kreis in R3 kann man als gemeinsame Nullstellenmenge von (x2+y2-1,z) oder (x2+y2+z2-1,z) oder (x2+y2-1,x2+y2+z2-1) beschreiben. Was sind die natürlichsten definierenden Gleichungen? Die symmetrischste Lösung: man betrachte alle Polynome, deren Nullstellenmenge die Varietät ist. Diese Familie ist ein Ideal im Polynomring.
Nachdem er entdeckt hatte, dass viele der klassischen italienischen Beweise unvollständig und ungenau waren, machte sich Zariski daran, eine abstrakte algebraische Geometrie zu entwickeln, die für einen beliebigen Grundkörper anwendbar ist. Er verzichtete auf topologische und analytische Methoden und wandte sich voll der neuen Algebra zu. So benutzte er die Beschreibung durch Ideale, um eine Topologie auf algebraischen Varietäten zu definieren. Die Zariski-Topologie ist für Varietäten über C deutlich gröber als die klassische: die abgeschlossenen Mengen sind nur die durch Ideale gegebenen Untervarietäten. Mit dieser Topologie konnte er beispielsweise den Tangentialraum in einem durch ein Maximalideal m gegebenen Punkt algebraisch definieren: der Kotangentialraum ist m/m2, der Tangentialraum das Dual dazu. In diesem Stil formulierte er viele der klassischen Begriffe in der Sprache der Ringtheorie und modernen Algebra.
Bewaffnet mit zwei starken Ideen der kommutativen Algebra – dem Konzept des integralen Abschlusses und Krulls allgemeinen Bewertungsringen – ging er das Problem der Auflösung von Singularitäten von Flächen und höherdimensionalen Varietäten an. In einer 70 Seiten langen Arbeit gelang ihm 1944 die birationale Auflösung von Singularitäten bis zur Dimension 3 in Charakteristik 0.
Die Zariski-Topologie war der richtige Ansatz, um Varietäten bis auf bireguläre Abbildungen zu untersuchen. Für die Untersuchung bis auf birationale Abbildungen, insbesondere also die Auflösung von Singularitäten, braucht man – um das Verhalten außerhalb offener, dichter Mengen zu untersuchen – “unendlich dichte Punkte”, die das Grenzverhalten entlang unterschiedlicher Richtungen beschreiben. Dafür benötigte er die Bewertungstheorie, mit der er beispielsweise Aufblasungen beschreiben konnte. Wolfgang Krull hatte 1932 die Grundlagen der Bewertungstheorie gelegt und in seinem Artikel aber gemeint, dass Bewertungen nur wenige Anwendungen hätten – das wurde durch Zariskis Arbeiten widerlegt. Mittels Bewertungen konnte er das italienische Konzept der durch unendlich nahe Punkte auferlegten Basisbedingungen idealtheoretisch fassen und so lokale Eigenschaften algebraischer Varietäten untersuchen.
Gleichzeitig bemerkte er einige vielversprechende Verbindungen zwischen dem integralen Abschluss und den vollständigen linearen Systemen. Eine systematische Untersuchung dieser Zusammenhänge führte ihn später zu den Begriffen von normalen Varietäten und Normalisierung, mit der er alle nicht-isolierten Singularitäten eliminieren konnte. Sein Hauptsatz besagte grob, dass an einem normalen Punkt – wo der lokale Ring ganz abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist – birationale Abbildungen nur einen Zweig haben können.
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