Hochsymmetrische Fraktale und Peano-Kurven

Dass es solche -invarianten Peano-Kurven tatsächlich gibt, folgt aus den Arbeiten von Cannon und Thurston. Thurston hatte bewiesen, dass die meisten 3-dimensionalen Flächenbündel (nämlich die mit Pseudo-Anosov-Monodromie, siehe TvF 157) eine hyperbolische Metrik tragen, man also die obige Konstruktion anwenden kann und Cannon und Thurston hatten dann (in einer 1984 geschriebenen, 1998 bei “Geometry & Topology” eingereichten und 2007 veröffentlichten Arbeit) erzeigt, dass die Fortsetzung der Abbildung auf den Rand im Unendlichen existiert, man also tatsächlich eine sphärenfüllende Kurve bekommt.

Die Idee im Cannon-Thurston-Beweis ist sich die stabilen und instabilen Laminierungen der Monodromie des Faserbündels anzusehen. Cannon-Thurston zeigen, dass es zu jedem Punkt in beliebig kleine Umgebungen in gibt, die von einem Blatt einer der beiden Laminierungen berandet werden. Weiterhin – und das ist dann natürlich der schwierige Teil des Beweises – zeigen sie, dass die Bilder solcher immer kleineren Umgebungen eines Punktes (unter der Hochhebung der Abbildung ) einen gegen 0 konvergierenden Durchmesser haben, ihr Durchschnitt also einen eindeutigen Punkt bestimmt (und dass die so definierte Abbildung stetig ist).

Einen expliziten Beweis in einem Spezialfall (nämlich für die Gieseking-Mannigfaltigkeit, ein Faserbündel, dessen Monodromie die bekannte Katzenabbildung ist) gibt die Arbeit von Alperin-Dicks-Porti: “The boundary of the Gieseking tree in hyperbolic three-space”. Sie erhalten dort ein explizites Verfahren, um bestimmte Zerlegungen der auf Zerlegungen der abzubilden (die Bilder unten zeigen die ersten Stufen) und auf diese Weise für immer feinere (mit Durchmesser gegen 0 konvergierende) Zerlegungen schließlich im Grenzwert die stetige Abbildung zu konstruieren.

Der allgemeine Fall von Flächengruppen, die nicht (wie bei Cannon-Thurston) von der Faser eines Flächenbündels stammen müssen, wurde jetzt also in der Arbeit “Cannon-Thurston maps for surface groups” (die übrigens eine ähnlich lange Geschichte hat wie die von Cannon-Thurston: erste Teilergebnisse erzielte der Autor 1998 noch unter seinem bürgerlichen Namen M.Mitra, die erste Version der jetzigen Arbeit erschien 2005 auf dem ArXiv unter dem Namen Br.Brahmachaitanya und veröffentlicht wurde die Arbeit jetzt 2014 in Annals of Mathematics unter dem Namen M.Mj) gelöst, der dort bewiesene Satz besagt:
Sei eine Darstellung einer Flächengruppe in ohne akzidentell parabolische Elemente. Sei M der konvexe Kern von und sei eine Homotopieäquivalenz, die parabolische Elemente in parabolische Elemente abbildet. Dann läßt sich die Abbildung der universellen Überlagerungen stetig auf die Kompaktifizierung zu einer Abbildung fortsetzen. Insbesondere ist die Limesmenge von lokal zusammenhängend.

Mahan Mj (2014). Cannon-Thurston maps for surface groups Annals of Mathematics , 179 (1), 1-80 DOI: 10.4007/annals.2014.179.1.1