Das Institute for Advanced Study veranstaltet einmal im Jahr die Marston Morse Lectures, um in aktuelle Hot Topics der Mathematik einzuführen. Letztes Jahr zum Beispiel Larry Guth über unerwartete Anwendungen von Polynomen in Kombinatorik, Kodierungstheorie und Inzidenzgeometrie. Dieses Jahr war der Titel Arithmetische hyperbolische 3-Mannigfaltigkeiten, perfektoide Räume und Galois-Darstellungen und wie letztes Jahr sind auch diesmal wieder die drei Vortrags-Videos online.
Der erste Vortrag beginnt erstmal mit einem 15-minütigen Crash-Kurs in Galois-Theorie und der Definition der absoluten Galois-Gruppe und gibt dann noch eine Einführung in den Beweis des großen Satzes von Fermat: eine Lösung
gibt eine elliptische Kurve
, auf deren p-Torsionspunkten
wirkt. Diese Darstellung der Galois-Gruppe hat bestimmte “Verzweigungseigenschaften”, aus denen folgt, dass die Darstellung zu einer gewissen Modulform mit bestimmten Eigenschaften assoziiert ist – Eigenschaften, von denen Wiles und Wiles-Taylor aber bewiesen haben, dass sie unmöglich sind. Offensichtlich eine überzeugende Anwendung von Galois-Darstellungen. Im Rest des Vortrages werden dann die Modulkurve
und ihre Überlagerungen eingeführt, die
-Homologie der entsprechenden (über
definierten) algebraischen Kurven gibt (mittels einer nicht näher erläuterten Maschinerie namens “etale Kohomologie”) Darstellungen der absoluten Galois-Gruppe.
Die absolute Galois-Gruppe will man über ihre Homomorphismen zu endlichen Gruppen
verstehen. Eine offene Vermutung von Serre besagt, dass man alle solchen Darstellungen durch die Torsionsuntergruppen der Homologiegruppen lokalsymmetrischer Räume erhält. Der zweite Vortrag behandelt arithmetische hyperbolische 3-Mannigfaltigkeiten, speziell die Bianchi-Mannigfaltigkeiten
. Die haben keine algebraische Struktur, sind also (anders als noch im 2-dimensionalen Fall) den klassischen Methoden aus der Theorie der Shimura-Varietäten nicht zugänglich. Trotzdem erhält der Autor auf den (in diesem Fall oft sehr großen) Torsionsgruppen Galois-Darstellungen mit gewissen Eigenschaften (die Spur der Bilder von Frobeniuselementen gibt Eigenwerte gewisser “Hecke-Operatoren”), eine alte Vermutung von Ash, die wohl ursprünglich auf Berechnungen von Grunewald zurückgeht. In der zweiten Hälfte des Vortrags wird das dann an konkreten Beispielen vorgeführt.
Im dritten Vortrag geht es schließlich um den allgemeinen Satz, dass sich jedes System von Hecke-Eigenwerten in der -Homologie eines lokalsymmetrischen Raumes durch eine Galois-Darstellung realisieren läßt. Und irgendwie kommen dabei dann auch die perfektoiden Räume ins Spiel …
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