Sierpinski-Dreiecke in der ägyptischen Wüste

Von Thilo / 11. März 2015 / 23 Kommentare

In der Nähe der Pyramiden von Gizeh (Bild oben) wird bald(?) das weltgrößte archäologische Museum entstehen, das Grand Egyptian Museum. (Ursprünglich war die Eröffnung mal für 2015 geplant, aktuell geht man von 2018 aus.)

Aus Mathematiker-Sicht bemerkenswert ist, dass dort nicht nur Pyramiden (natürlich auch eine sehr fundamentale geometrische Form), sondern auch Sierpinski-Dreiecke vorkommen werden – in Form einer 40 Meter hohen Fassade:

Das Sierpinski-Dreieck ist eine fraktale Figur, die man erhält, indem man ein gleichseitiges Dreieck in 4 kongruente Teile zerlegt, das mittlere herausnimmt, mit den 3 verbliebenen Dreiecken dasselbe tut und diesen Prozeß unendlich lange fortsetzt.
Mehr Informationen zum Sierpinski-Dreieck auf https://images.math.cnrs.fr/Le-grand-musee-egyptien-du-Caire.html und zur Museumsarchitektur auf https://www.hparc.com/work/the-grand-egyptian-museum/.

Kommentare (23)

#1 Frank Wappler
https://Kolossalbauten--und.deren.Zerlegung
13. März 2015

Thilo schrieb (März 11, 2015):
> […] indem man ein gleichseitiges Dreieck in 4 kongruente Teile zerlegt […]

Geht das denn überhaupt? …

Jedenfalls könnte man ja (stattdessen)

– die Mittelpunkte der Seiten eines gegebenen (ausgefüllten) Dreiecks miteinander verbinden,
– das Innere des dadurch konstruierten zentralen Dreiecks entfernen,
– usw. für jedes einzelne verbleibende (ausgefüllte) Dreieck.
#2 Thilo
13. März 2015

ja, wie im Titelbild
#3 Frank Wappler
https://Mathematiker.haben.auch.ihr.Gutes
13. März 2015

Thilo schrieb (#2, 13. März 2015):
> ja, […]

Ach.
Dann lässt sich wohl eine einzelne Dreiecksseite, also eine “Strecke” (vgl. https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Strecke.png&filetimestamp=20080321032705& )
ebenfalls “ aus Mathematikersicht […] in kongruente Teile zerlegen ” …
#4 Thilo
13. März 2015

ja, in zueinander kongruente teile. was man hier (und trivialerweise auch bei der strecke) noch zusatzlich hat ist selbstahnlichkeit: die kongruenten teile sind auch noch dem ganzen aehnlich.
#5 Hawk
14. März 2015

@Frank Wappler (#3):
Warum soll sie sich nur aus Mathmatiker-Sicht in kongruente Teile zerlegen lassen? Natürlich wird hier der geometrische Kongruenzbegriff und nicht etwa der aus der Psychotherapie, Linguistik oder aus den Rechtswissenschaften verwendet (Das wäre irgendwie abwegig, oder?).
Den sollten aber nicht nur Mathematiker in der Schule gelernt haben…
https://de.wikipedia.org/wiki/Kongruenz_%28Geometrie%29
Was verstehst du denn unter Kongruenz?

Gruß Hawk
#6 Hawk
14. März 2015

@Frank Wappler (#3):

Jedenfalls könnte man ja (stattdessen)

– die Mittelpunkte der Seiten eines gegebenen (ausgefüllten) Dreiecks miteinander verbinden,
– das Innere des dadurch konstruierten zentralen Dreiecks entfernen,
– usw. für jedes einzelne verbleibende (ausgefüllte) Dreieck.

Das funktioniert nicht, da dir die Vorschrift fehlt, wie das anfängliche Dreieck auszufüllen ist. Genau darum geht es doch in Thilos Algorithmus.
Aber,

…die Mittelpunkte der Seiten eines gegebenen ~~(ausgefüllten)~~ Dreiecks miteinander verbinden…

ist genau die Methode, um ein gegebenes gleichseitiges Dreieck in 4 kongruente Teile zu zerlegen…
#7 Hawk
14. März 2015

Korrektur:
Im 2. Zitat müsste eigentlich “(ausgefüllt)” durch “gleichseitig” ersetzt werden…
#8 Frank Wappler
https://…
16. März 2015

Thilo schrieb (#4, 13. März 2015):
> [lässt sich wohl eine einzelne Dreiecksseite, also eine “Strecke” … in kongruente Teile zerlegen]
ja, in zueinander kongruente teile.

Einen derart schlechten Witz habe ich niemandem zugetraut, der “über Geometrische Topologie arbeitet” und entsprechend eine gewisse Ahnung haben sollte, was das Wort “zerlegen” im gegebenen Zusammenhang bedeutet; vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Zusammenh%C3%A4ngender_Raum#Formale_Definition
#9 Frank Wappler
https://with.eyes.like.those--always.wear.a.hard.beak
16. März 2015

Hawk schrieb (#6, 14. März 2015):
> […] die Vorschrift fehlt, wie das anfängliche Dreieck auszufüllen ist.

Stimmt.
Das betrifft jedenfalls den von mir in Kommentar #1 vorgeschlagenen Algorithmus (zur (schrittweise annähernden) Konstruktion eines Sierpinski-Dreiecks) direkt, weil dabei ausdrücklich von “ausgefüllten Dreiecken” die Rede war.

(In wiefern das auch den von Thilo im ScienceBlog-Beitrag skizzierten Algorithmus betreffen mag, sei dahingestellt.)

Also: Gegeben eine Menge $"\mathcal S"$ von (mindestens drei verschiedenen) Punkten, wie wäre zumindest im Prinzip zu entscheiden, ob drei ausgewählte “Eckpunkte” ( $A, B, C \in \mathcal S$ ), ein “ausgefülltes Dreieck (in $\mathcal S$ )” festlegen (können), oder nicht ?

Das ließe sich bestimmt besser in einem ScienceBlog-(Gast-)Beitrag untersuchen und darstellen, als in einem (bloßen) Kommentar.

p.s.
“<strike> zu streichender Text </strike>”
stellt sich so dar:
“ ~~zu streichender Text~~ “.

(Wieder was gelernt.)
#10 Hawk
16. März 2015

(In wiefern das auch den von Thilo im ScienceBlog-Beitrag skizzierten Algorithmus betreffen mag, sei dahingestellt.)

Naja, in Thilos Algorithmus ergibt sich die “Füllung” ja automatisch durch die Rekursion.

<strike> musste ich auch erst googlen… 😉
#11 Hawk
16. März 2015

Hab übrigens in deinem Wiki-Link nicht herausgefunden (in Ermanglung von Vorkenntnissen), warum sich eine gegebene Strecke nicht in kongruente Teile zerlegen lassen sollte.
Kannst du das bitte mal erläutern?
Rein intuitiv würde ich sagen, in der Mitte teilen und fertig sind 2 zueinander kongruente Strecken…

Gruß Hawk
#12 Frank Wappler
https://wo.gibts.denn.sowas
17. März 2015

Hawk schrieb (#10, 16. März 2015):
> in Thilos Algorithmus ergibt sich die “Füllung” ja automatisch durch die Rekursion.

Hmm …
Dazu sollte sich Thilo wirklich selbst äußern.
Falls “Thilos Algorithmus” aus dem obigen ScienceBlog-Beitrag wirklich so verstanden werden sollte, dass sich irgendwelche “(eventuelle) Füllung” erst durch Rekursion (und zumindest in Annährung) erst “ergibt“, anstatt von vornherein (in jedem Schritt, für bestimmte im jeweiligen Schritt zu betrachtende Dreiecke) vorausgesetzt zu werden (d.h. so wie es https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:SierpinskiTriangle-ani-0-7.gif nahelegt, und wovon ich im von mir in Kommentar #1 vorgeschlagenen Algorithmus ausgegangen bin), dann …
… bin ich mir gar nicht sicher, dass die (Annäherungs-)Ergebnisse dieser beiden Algorithmen wirklich gleich wären (auch wenn beide durch den gleichen Wert ihrer “fraktalen Dimension”, nämlich $\text{Log}_s[~3~] \approx 1,58496$ charakterisiert sind).

Hawk schrieb (#11, 16. März 2015):
> warum sich eine gegebene Strecke nicht in kongruente Teile zerlegen lassen sollte.

Betrachten wir mal den Versuch näher, eine gegeben Strecke mit Endpunkten A und B (und mit allen Punkten “dazwischen” selbstverständlich gerade bzgl. A und B und untereinander) “in genau zwei kongruente Teile zu zerlegen”:

Offensichtlich lässt sich “auf dieser Strecke” ein Punkt (“M”) als “Mittelpunkt zwischen” A und B finden, d.h. so dass die beiden (Teil-)Strecken
– mit Endpunkten A und M sowie
– mit Endpunkten M und B
kongruent sind, d.h. einander gleich und Punkt für Punkt einander zuzuordnen.

Nun soll es aber darum gehen, die gegebene Strecke mit Endpunkten A und B in genau zwei (An-)Teile zu zerlegen, d.h. so, dass jeder Punkt, der zu dem einen (An-)Teil gehört, nicht zum anderen gehört (und umgekehrt auch nicht). Insbesondere kann der oben genannte “Mittelpunkt M” nicht sowohl dem einen als auch dem anderen (An-)Teil der Zelegung angehören (sonst wäre eben keine “ordentliche” Zerlegung der gegebenen Strecke erfolgt). Aber jede (“ordentliche”) Zerlegung der als Strecke mit Endpunkten A und B gegebenen Punktmenge in (genau nur) zwei Teilmengen (wobei Punkt M zu genau einer gehören muss) ergibt offenbar zwei (Teil-)Mengen, die zueinander nicht kongruent sind.

Und ich kann mir beim besten Willen nicht vorstellen, dass ähnliche “Schwierigkeiten” überwindbar wären, wenn es um den Versuch ginge, ein “Dreieck in 4 kongruente Teile zerlegt” zu bekommen.

Dagegen ist es übrigens ohne Weiteres möglich, einen Kreisrand in zwei oder mehrere kongruente Kreissegmente zu zerlegen; vgl. https://www.google.de/search?hl=de&site=imghp&tbm=isch&source=hp&biw=1382&bih=849&q=kreis+pfeil&oq=kreis+pfeil
- #13 Hawk
  17. März 2015
  
  Ok, verstanden. Der letzte Link erschliesst sich mir allerdings auch nicht…
#14 Thilo
17. März 2015

Yo, lange nicht mehr so gelacht. Kreis+Pfeil=Kreis+Pfeil
#15 Frank Wappler
https://Es.wird.jedoch.vermutet--dass.eine.Übertragung.der.Toleranzen.von.verschiedenen.Ambivalenzebenen.erlernbar.ist
18. März 2015

Thilo schrieb (#13, 17. März 2015):
> Yo, lange nicht mehr so gelacht. […]

Und das auf selten-doppelbödige Weise mitgeteilt.

p.s.
Ob’s wohl noch mehr (bislang) undokumentierte ScienceBlogs-Ausdrucksmittel zu dokumentieren gäbe?

“$latex \begin{pspicture}(5,5) \psarc{->}(0,0){2cm}{0}{179} \psarc{->}(0,0){2cm}{180}{359} \rput(0,2){A} \rput(0,-2){A} \end{pspicture}$”

stellt sich jedenfalls so dar:
$\begin{pspicture}(5,5) \psarc{->}(0,0){2cm}{0}{179} \psarc{->}(0,0){2cm}{180}{359} \rput(0,2){A} \rput(0,-2){A} \end{pspicture}.$

p.p.s.

Frank Wappler schrieb (#13, März 17, 2015):
> […] beide durch den gleichen Wert ihrer “fraktalen Dimension”, nämlich $\text{Log}_s[~3~] \approx 1,58496$ charakterisiert […]

Stattdessen natürlich $\text{Log}_2[~3~] \approx 1,58496$ .
#16 Frank Wappler
https://da.bremst.des.Fahrers.Höflichkeit
18. März 2015

Hawk schrieb (#13, 17. März 2015):
> [… ohne Weiteres möglich, einen Kreisrand in zwei oder mehrere kongruente Kreissegmente zu zerlegen; vgl. https://www.google.de/search?hl=de&site=imghp&tbm=isch&source=hp&biw=1382&bih=849&q=kreis+pfeil&oq=kreis+pfeil ] Der letzte Link erschliesst sich mir allerdings auch nicht…

Uff …
Schau dieses eine Bild an:
https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Gefahrenzeichen_3a.svg

Das, was darin schwarz gezeichnet ist, skizziert, dass und wie ein Kreisring in genau drei kongruente (halboffene) Kreissegmente zerlegt werden kann.
- #17 Hawk
  18. März 2015
  
  Wobei der Pfeil dann für eine offene Intervallgrenze steht und das stumpfe Ende für eine geschlossene?
  Was bei einer Strecke natürlich auch gehen würde, wobei aber dann die Teile nicht mehr der Definition einer Strecke genügen würden?
#18 Frank Wappler
https://would.you.like.fries.with.that
18. März 2015

Hawk schrieb (#17, 18. März 2015):
> Wobei der Pfeil

… die Spitze jedes “Pfeils“; insbesondere jedes der drei schwarzen “Pfeile” im oben verlinkten Kreisverkehrszeichen-Bild …

> dann für eine offene Intervallgrenze steht und das stumpfe Ende für eine geschlossene?

Das ist jedenfalls eine sinnvolle Interpretation. (Die genau umgekehrte Interpretation wäre ebenfalls sinnvoll; und es schiene müßig zu debattieren, wer welche dieser beiden sinnvollen Interpretationen eventuell “naheliegender” fände.)

Man beachte auch: die drei schwarzen “Pfeile” des genannten Bildes haben auffallend gleiche Form; man mag sie “kongruent” nennen.

> Was bei einer Strecke natürlich auch gehen würde, wobei aber dann die Teile nicht mehr der Definition einer Strecke genügen würden?

Natürlich lässt sich ein geschlossenes, zusammenhängendes (“ganz einfaches”) Intervall so zerlegen: in

– ein geschlossenes, zusammenhängendes (“ganz einfaches”) Intervall und
– ein halb-offenes Interval.

Entsprechend lässt sich eine gegebene (geschlossene) Strecke “A B” zerlegen: z.B. in

– eine (geschlossene) Strecke “A M”, und
– einen (halb-offenen) Strahl der “von B ausgehend bis an M heranreicht”.

Wesentlich ist (auch):
diese beiden aus der Zerlegung resultierenden “Stücke” sind (ihrer “Form” bzw. Topologie nach, und nicht zuletzt deshalb schon ihrer Beschreibung nach) zwangsläufig ungleich; sie können nicht einander kongruent sein.
- #19 Hawk
  18. März 2015
  
  Ein einfaches “ja” hätte auch gereicht…
  😉
#20 Frank Wappler
https://no.mem--for.you
18. März 2015

Hawk schrieb (#19, 18. März 2015):
> Ein einfaches “ja” hätte auch gereicht…

?? …
Du hast in #17 sehr deutlich zwei Fragen gestellt, die ich in #18 einzeln zitierte und versuchte zu beantworten.
Und zwar die erste etwa im Sinne von “Ja, aber …”, und die zweite eher als “Nein, und außerdem …”.

p.s.
> 😉

(Danke übrigens für die Gelegenheit, so antworten zu können. ;)
#21 Hawk
18. März 2015

Stimmt,

[…]wobei aber dann die Teile nicht mehr der Definition einer Strecke genügen würden?

war falsch formuliert.
Was ich meinte, war eher “wobei aber dann nicht mehr beide Teile der Definition einer Strecke genügen würden?”

(Danke übrigens für die Gelegenheit, so antworten zu können. 😉

Dein erster Beitrag klang schon eher “trollig”. Dafür schien aber zuviel Wissen durchzuscheinen. Da wollte ich gezielt für eine Möglichkeit der weiteren Erklärung sorgen… 😉
#22 Frank Wappler
https://Die.Wüste.webt--Sierpinski.strickt
19. März 2015

Hawk schrieb (#19, 18. März 2015):
> Dein erster Beitrag [Kommentar #1, oben] klang schon eher “trollig”.

Sag bloß.
Ja, klar, dieser Kommentar (so wie meine meisten) war darauf angelegt, wissentlich die Stimmung zu vermiesen (also im Sinne der zivilisiert-vertretbaren Definition von “Trolligkeit“);
nämlich hier die (im gegebenen, nach wie vor unveränderten ScienceBlog-Artikel offenkundige) Stimmung, in der “ein gleichseitiges Dreieck in 4 kongruente Teile zerlegt ” werden könnte.

> Dafür schien aber zuviel Wissen durchzuscheinen

Hmm … Na, schönen Dank.
#23 Frank Wappler
https://Die.Wüste.webt--Sierpinski.strickt
19. März 2015

Hawk schrieb (#19, 18. März 2015):
> Dein erster Beitrag [Kommentar #1, oben] klang schon eher “trollig”.

Sag bloß.
Ja, klar, dieser Kommentar (so wie meine meisten) war darauf angelegt, wissentlich die Stimmung zu vermiesen (also im Sinne der zivilisiert-vertretbaren Definition von “Trolligkeit“);
nämlich hier die (im gegebenen, nach wie vor unveränderten ScienceBlog-Artikel offenkundige) Stimmung, in der “ein gleichseitiges Dreieck in 4 kongruente Teile zerlegt ” werden könnte.

> Dafür schien aber zuviel Wissen durchzuscheinen

Hmm … Na, schönen Dank.