Seit Perelmans Beweis der Poincaré- und Geometrisierungsvermutung für 3-Mannigfaltigkeiten hatte vor allem der (im Falle der Konvergenz gegen eine Einstein-Metrik konvergierende) Ricci-Fluss zu neuen Ergebnissen in der Differentialgeometrie geführt. Böhm und Wilking hatten technische Probleme in höheren Dimensionen überwunden und damit zeigen können, dass Mannigfaltigkeiten mit positivem Krümmungsoperator konstante Schnittkrümmung haben, Brendle und Schoen hatten auf diesen Methoden aufbauend den Sphärensatz bewiesen. Im Fall von Kähler-Mannigfaltigkeiten bleiben die Metriken während des Ricci-Flusses Kähler-Metriken – man spricht vom Kähler-Ricci-Fluss – und im Fall der Konvergenz erhält man also eine Kähler-Einstein-Metrik. Cao hatte das schon 1985 benutzt, um noch einmal die Existenz von Kähler-Einstein-Mannigfaltigkeiten auf Kähler-Mannigfaltigkeiten mit negativer oder verschwindender erster Chern-Klasse zu beweisen. Im Fall von Fano-Mannigfaltigkeiten benötigte man aber weitere Methoden.

Ein wesentliches Ingredient des Beweises war die Existenz singulärer Kähler-Einstein-Metriken mit Kegel-Singularitäten entlang eines Divisors. Für kleine Kegelwinkel kann man die Existenz solcher Metriken mit ähnlichen Argumenten wie im Fall c1<0 beweisen. Die Menge der Kegelwinkel, für die solche singulären Metriken existieren, ist offen (bewiesen von Donaldson und Song-Wang) und man will zeigen, dass sie auch abgeschlossen ist, womit man insbesondere eine glatte Kähler-Einstein-Metrik für Kegelwinkel 2π erhält. Diese Abgeschlossenheit des Intervalls der zuläsigen Kegelwinkel war das Resultat der drei Arbeiten im Journal of the American Mathematical Society.

In der ersten der drei Arbeiten bewiesen Chen-Donaldson-Sun, dass man solche singulären Kähler-Einstein-Metriken durch glatte Kähler-Metriken mit uniform positiver Ricci-Krümmung und beschränktem Durchmesser approximieren kann. In den anderen beiden Arbeiten ging es dann um Grenzwerte von Kähler-Einstein-Metriken mit Kegelsingularitäten (in der Gromov-Hausdorff-Topologie). Sie zeigten, dass diese Grenzwerte als algebraische Varietät mit einem Divisor existieren. Die Idee ist, dass man nach Teil I die Folgenglieder jeweils durch glatte Metriken mit Kontrolle über Ricci-Krümmung und Durchmesser sowie festem Volumen approximieren kann. Mit Arbeiten von Cheeger-Colding folgt daraus die Existenz des Grenzwerts. Für diesen Grenzwert zeigen sie dann die Realisierbarkeit als algebraische Varietät und weitere benötigte Eigenschaften, insbesondere die Reduktivität der Automorphismengruppe und das Verschwinden der Futaki-Invariante. Damit konnten sie dann letztlich zeigen, dass im K-stabilen Fall der Grenzwert wieder eine Kähler-Einstein-Metrik mit Kegelsingularitäten ist, woraus die gewünschte Abgeschlossenheit der Menge der Kegelwinkel folgt.

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