Die Topologie von Flächen und 3-dimensionalen Mannigfaltigkeiten kann man durch die Geometrie besonders regelmäßiger Metriken auf ihnen verstehen. Für Flächen mit mindestens zwei Henkeln und auch für hinreichend komplizierte 3-Mannigfaltigkeiten sind das hyperbolische Metriken, die also Krümmung konstant -1 haben und deren universelle Überlagerung die hyperbolische Ebene bzw. der hyperbolische Raum ist.

In der 3-dimensionalen Topologie gibt es dank des Starrheitssatzes von Mostow (jedenfalls für hyperbolische Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens) keinen Unterschied zwischen Geometrie und Topologie, die hyperbolische Metrik ist durch die Topologie eindeutig festgelegt. Anders ist es bei Flächen, wo die verschiedenen hyperbolischen Metriken auf einer orientierbaren Fläche vom Geschlecht g≥2 durch 6g-6 Fenchel-Nielsen-Koordinaten bestimmt werden, nämlich die Längen und Vertwistungen der im Bild gezeigten 3g-3 geschlossenen Kurven.

Tatsächlich entspricht jede hyperbolische Metrik einer eindeutigen konformen Struktur und diese einer eindeutigen komplexen Struktur (denn hyperbolische Isometrien entsprechen eindeutig den konformen Abbildungen und diese eindeutig den biholomorphen Abbildungen der Einheitskreisscheibe, die die universelle Überlagerung der Flächen vom Geschlecht g≥2 sind) und deshalb parametrisieren die 6g-6 Koordinaten auch den Teichmüller-Raum der komplexen Strukturen, dessen Bijektion zur Vollkugel in C3g-3 von Riemann vermutet und von Teichmüller bewiesen worden war.

Als Quotienten des Teichmüller-Raums nach der Wirkung der Abbildungsklassengruppe der Fläche erhält man den Modulraum Mg,n (für Flächen vom Geschlecht g mit n Randkomponenten). Die stabile Kohomologie des Modulraums Mg,1 und damit der entsprechenden Abbildungsklassengruppe wird durch die Mumford-Vermutung beschrieben, die 2002 von Madsen und Weiss bewiesen wurde. Der Beweis benutzte alle möglichen in den vorhergehenden Jahrzehnten entwickelten Methoden der Differentialtopologie, aber nicht die geometrische Interpretation des Modulraums. Tatsächlich beweisen Madsen und Weiss die Homotopieäquivalenz der auf den klassifizierenden Raum angewandten Plus-Konstruktion mit einem anderen Raum, dessen Kohomologie sich mit einiger Arbeit als berechenbar herausstellte.

Die Abbildungsklassengruppen von Flächen sind auch in der geometrischen Gruppentheorie von besonderem Interesse. Sie sind zwar keine hyperbolischen Gruppen, weil die Twists an disjunkten Kurven abelsche Untergruppen von Rang 3g-3 erzeugen, aber sie sind CAT(0) und es liegt nahe, dass man versucht, Resultate für hyperbolische Gruppen auf CAT(0)-Gruppen und als Testfall eben zunächst auf Abbildungsklassengruppen zu verallgemeinern. So bewies Ursula Hamenstädt 2005, dass Abbildungsklassengruppen eine biautomatische Struktur haben. Daraus folgt für diese Gruppen (als Fundamentalgruppen geschlossener Mannigfaltigkeiten) die Novikov-Vermutung über die Homotopieinvarianz höherer Signaturen, eine im allgemeinen Fall auch für CAT(0)-Gruppen weiterhin offene Vermutung.

Traditionell war der Modulraum als Modulraum komplexer Kurven gesehen worden und er war in dieser Form Gegenstand tiefgründiger und schwerverständlicher Untersuchungen gewesen wie etwa Kontsevichs Beweis der Vermutung über Schnittzahlen in der Homologie des Modulraums. Die äquivalente Interpretation als Modulraum hyperbolischer Metriken (oder als eine Komponente der PSL(2,R)-Charaktervarietät) hatte im 20. Jahrundert zu eher elementaren Resultaten geführt.

Die Ende der 30er Jahre von Fenchel und Nielsen gefundene Parametrisierung des Teichmüller-Raums durch die Längen lund Twistparameter τi der 3g-3 Geodäten in einer Hosenzerlegung der Fläche benutzte Goldman in den 80er Jahren zur Konstruktion einer symplektischen Form ω=l1 ∧ τ1+…+l3g-3 ∧ τ3g-3, die mit der Kähler-Form einer von Weil (aufbauend auf einer Konstruktion von Petersson) definierten Metrik auf dem Teichmüller-Raum übereinstimmte. (Die Kähler-Eigenschaft der Weil-Petersson-Metrik war 1961 von Ahlfors bewiesen worden. Goldman verallgemeinerte die Konstruktion einer symplektischen Form 1984 für Charaktervarietäten von Flächengruppen in anderen Lie-Gruppen als PSL(2,R), womit er diese den Methoden der Ergodentheorie zugänglich machte.) Die Volumenform des Modulraums (in Geschlecht g mit n Punktierungen) ist \Omega_{g,n}=\frac{1}{(3g-3+n)!}\omega^{3g-3}. Für g=n=1 hatte Wolpert 1983 das Volumen des Modulraums berechnet, indem er einen Fundamentalbereich für die Wirkung der Abbildungsklassengruppe im (dort 2-dimensionalen) Teichmüller-Raum angab und seinen Flächeninhalt berechnete. Aber die Verallgemeinerung dieses Ansatzes für große g und n erwies sich als zu aufwendig.

Ende der 80er Jahre hatte McShane eine überraschende Identität für die Längen geschlossener Geodäten auf einem punktierten Torus gefunden. Die Summe \sum_\gamma\frac{2}{1+e^{l(\gamma)}} über alle geschlossenen Geodäten γ ergibt 1, ganz unabhängig von der hyperbolischen Metrik. Mit anderen Worten: diese Funktion ist konstant auf dem Modulraum M1,1. Man kann diese Identität wie folgt verstehen: man betrachtet einen Horokreis H der Länge 1 um die Spitze des punktierten Torus. Nach einem von Joan Birman und Caroline Series bewiesenen Satz liegen die einfachen geschlossenen Geodäten nirgendwo dicht und bilden eine Nullmenge auf der Fläche. Insbesondere schneiden sie H in isolierten Punkten und McShane zeigt, dass jede einfache geschlossene Geodäte γ zwei Lücken jeweils der Länge 1/(1+el(γ)) auf diesem Horokreis entspricht. Weil sich die Längen dieser Lücken zu 1 (der Länge von H) aufsummieren müssen, folgt McShanes Identität.

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Kommentare (5)

  1. #1 Drachenlord
    19. November 2021

    Die Haider indressierds ned.

  2. #2 Bernd Nowotnick
    19. November 2021

    Da haben wir es wieder: Wenn die Energie auf Struktur trifft und in eine neue Richtung gelenkt wird, bewegt dieser Impuls die Oberfläche der Struktur in die andere Richtung. Ändert man die Schwingungsrichtung der Energie, beeinflusst dies den Brechungswinkel der Struktur und damit die Richtung der antreibenden Kraft. Die Lichtgeschwindigkeit ist doch der doppelte Abstand einer Auslenkung zweier Raumrichtungen von einem Nulldurchgang bis zum Nächsten auf der Raumzeit und die Uhr macht Ticktack, als Quadrat dann die Auslenkung einer Raumrichtung und die Energie dazu ein Impuls als Ea= Ɣ*mc^2. Eine Eins erzeugt in der Raumzeit den Spiegel und die Null alles andere, 0 = -1+(c^2)*ε*μ mit 1 = e^(2*Pi*i).

  3. #3 Bernd Nowotnick
    23. November 2021

    Da keine Kritik aus der Mathematik-Anhängerschaft kommt möchte ich noch etwas zur Erläuterung nachlegen:
    Reelle hyperbolische Ebenen können in der reellen euklidischen Ebene dargestellt werden. Die Mathematik erklärt dann unterschiedliche Modelle, wenn zwei nicht isomorphe Strukturen das gleiche Axiomen System erfüllen und zwischen diesen Darstellungen umgerechnet wird. Aber die Raumzeit atmet, das ist nur nicht erkennbar wenn wir die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c = konstant setzen. Es ist also möglich, zwischen diesen Darstellungen umzurechnen und Aussagen in rein hyperbolischer Geometrie sind vom verwendeten Modell unabhängig. Bei Flachraumzeitlern mit absoluter Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum gilt die hyperbolische Isometrie der Raumzeit bei einer Winkelsumme kleiner 180°, so dass sie nicht auf die Vorgänge der Atmung auf der Raumzeit schließen können und was dahinter steckt möchten wir auch nicht wahr haben.

  4. #4 Thilo
    23. November 2021

    Dass die hyperbolische Ebene in der euklidischen Ebene dargestellt werden kann (als Beltrami-Klein-Modell) stimmt nur, wenn man sich ausschließlich für die inzidenzgeometrischen Aspekte der hyperbolischen Ebene interessiert. Eine isometrische Einbettung mit der Metrik der hyperbolischen Ebene in die euklidische Ebene ist nicht möglich.

  5. #5 Bernd Nowotnick
    23. November 2021

    #4

    Ja, da bleibt man lieber auf der Position der Ansichtsebene, da sonst bei den Aspekten vom Punkt in die Linie dahinter steckt dass ich die Mengen, die ich mir damit eingebrocke, auch auslöffeln muss da sie ja hinzugefügt werden oder ich passe mich von einer Position zur nächsten der neuen Ebene an, welche ich aber noch nicht kenne in der Ursache für den Wechsel, Vermittlung, Wirkung mit Wirkungsgrad nach Innen und Außen, sowie den Hintergund und dem Bild dazu.