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Theorema Magnum MMV: die Mirzakhani-McShane-Identitäten

Von / 18. November 2021 / 6 Kommentare / Seite 2 von 2 / Auf einer Seite lesen
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Mirzakhani fand eine Interpretation dieses Resultats, indem sie den Modulraum M*1,1 der hyperbolischen Metriken mit geodätischem Rand γ und die Projektion \pi\colon M^*_{1,1}\to M_{1,1} betrachtete. Auf M*1,1 hat man Fenchel-Nielsen-Koordinaten (l,t) mit Weil-Petersson-Form dl\wedge dt. McShanes Formel läßt sich dann gegen die Weil-Petersson-Form integrieren und man erhält vol(M_{1,1})=\int_0^\infty l\frac{2}{1+e^l}dl=\frac{\pi^2}{6}. Damit hatte sie einen neuen Beweis für Wolperts Resultat.

Dieser Ansatz ließ sich verallgemeinern, indem Mirzakhani allgemeinere Versionen von McShanes Identität für hyperbolische Flächen mit beliebigem Geschlecht und beliebig vielen Randkomponenten fand. Für eine hyperbolische Fläche, deren Randkomponenten \beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n geschlossene Geodäten der Längen L_1,L_2,\ldots,L_n sind, bewies sie eine Gleichung \sum_{\{\gamma_1,\gamma_2\}}\mathfrak{D}(L_1,l(\gamma_1), l(\gamma_2))+\sum_{i=2}^n\sum_\gamma \mathfrak{R}(L_1,L_i, l(\gamma))=L_1. Hierbei ist die erste Summe über alle ungeordneten Paare geschlossener einfacher Geodäten \{\gamma_1, \gamma_2\}, die zusammen mit \beta_1 eine Hose beranden, und die zweite Summe ist über alle geschlossenen einfachen Geodäten \gamma, die zusammen mit \beta_1 und \beta_i eine Hose beranden. (Eine Hose ist eine Fläche vom Geschlecht 0 mit 3 Randkomponenten wie im Bild unten.) Die Funktionen \mathfrak{D}, \mathfrak{R}\colon \mathbb{R}_+^3\to \mathbb{R}_+ werden durch die Geometrie der Hosen definiert, eine explizite Formel ist \mathfrak{D}(x,y,z)=2\log\left(\frac{e^{\frac{x}{2}}+e^{\frac{y+z}{2}}} {e^{\frac{-x}{2}}+e^{\frac{y+z}{2}}}\right), \mathfrak{R}(x,y,z)=x-\log \left(\frac{\cosh(\frac{y}{2})+\cosh (\frac{x+z}{2})}{\cosh(\frac{y}{2})+\cosh(\frac{x-z}{2})} \right).

Mit Hilfe dieser Identitäten bewies sie dann Rekursionsformeln für das Volumen der Modulräume, die relativ einfach zu berechnende Polynome ergaben. Die Koeffizienten dieser Polynome waren Schnittzahlen im Modulraum, die sie mit diesem Ansatz also ebenfalls berechnen konnte. Damit erhielt sie einen sehr viel transparenteren Beweis der 1990 von Maxim Kontsevich bewiesenen Witten-Vermutung über den Zusammenhang der Schnittzahlen mit der KdV-Gleichung.

Dieser Ansatz gab auch eine Formel für die Asymptotik der Anzahl einfacher geschlossener Geodäten. Margulis hatte vor mehr als dreißig Jahren bewiesen, dass es auf einer geschlossenen hyperbolischen Fläche approximativ eL/L geschlossene Geodäten der Länge kleiner L gibt. (Man nennt das den hyperbolischen Primzahlsatz wegen der Analogie zum Primzahlsatz, der approximativ eL/L Primzahlen kleiner eL postuliert.) Mirzakhani untersuchte, wieviele einfache (d.h. nicht mehrmals dieselbe Kurve durchlaufende) geschlossene Geodäten der Länge kleiner L es gibt und erhielt das Ergebnis CL6g-6 (mit einer von der hyperbolischen Fläche abhängenden Konstanten C.) Sie bewies auch Formeln für die Anzahlen in einzelnen Homologieklassen. Zum Beispiel erhielt man eine Formel für die Anzahl nullhomologer einfacher Kurven, die sich von der allgemeinen Formel nur durch den konstanten Faktor unterschieden. Weil die nullhomologen Kurven gerade diejenigen sind, die die Fläche in zwei Zusammenhangskomponenten zerlegen, kann man das interpretieren als Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Kurve (beispielsweise auf einer Brezelfläche) diese in zwei Zusammenhangskomponenten zerlegt.

Mirzakhanis Arbeiten zur Volumenform auf dem Modulraum wurden manchmal als Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen auf dem Modulraum oder als Aussagen über zufällige hyperbolische Flächen popularisiert. Zufallsmethoden spielten inzwischen in zahlreichen Gebieten der Geometrie und Dynamik eine Rolle. Die von Erdös und Renyi entwickelte Theorie der Zufallsgraphen war weiter entwickelt worden zu einer Theorie der zufälligen Flächen und allgemeiner zufälligen Simplizialkomplexe, über deren Fundamentalgruppe und Homologie man Aussagen beweisen konnte. Auch in der Theorie der endlichen Gruppen nutzte man Zufallskonstruktionen. In der Theorie der hyperbolischen Gruppen wurde von Dahmani-Guirardel-Przytycki bewiesen, dass eine zufällige Gruppe als Rand im Unendlichen mit überwältigender Wahrscheinlichkeit eine Menger-Kurve hat. In der komplexen Dynamik bewiesen Lyubich und Graczyk-Świątek gleichzeitig, dass hyperbolische Dynamik in quadratischen reellen Funktionen dicht ist, d.h. für ein zufälliges a zwischen 0 und 4 hat Iteration des quadratischen Polynoms ax(1-x) einen anziehenden periodischen Orbit und demzufolge hyperbolische Dynamik, und gemeinsam mit Avila und de Melo bewies Lyubich, dass fast alle Abbildungen in einer reell-analytischen Familie quasiquadratischer Abbildungen regulär oder stochastisch sind. (Regulär heißt, fast jede Bahn konvergiert gegen einen Grenzzyklus. Stochastisch heißt, dass für fast alle Startwerte die Bahnen gemäß einem absolut stetigen Maß verteilt sind.) In der Zahlentheorie befaßten sich Bhargava und seine Koautoren mit zufälligen Zahlkörpern und zufälligen elliptischen Kurven. Beispielsweise bewiesen Bhargava und Shangar, dass ein positives Maß elliptischer Kurven Rang 0 hat und die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer erfüllt.

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Kommentare (6)

  1. #1 Drachenlord
    19. November 2021

    Die Haider indressierds ned.

  2. #2 Bernd Nowotnick
    19. November 2021

    Da haben wir es wieder: Wenn die Energie auf Struktur trifft und in eine neue Richtung gelenkt wird, bewegt dieser Impuls die Oberfläche der Struktur in die andere Richtung. Ändert man die Schwingungsrichtung der Energie, beeinflusst dies den Brechungswinkel der Struktur und damit die Richtung der antreibenden Kraft. Die Lichtgeschwindigkeit ist doch der doppelte Abstand einer Auslenkung zweier Raumrichtungen von einem Nulldurchgang bis zum Nächsten auf der Raumzeit und die Uhr macht Ticktack, als Quadrat dann die Auslenkung einer Raumrichtung und die Energie dazu ein Impuls als Ea= Ɣ*mc^2. Eine Eins erzeugt in der Raumzeit den Spiegel und die Null alles andere, 0 = -1+(c^2)*ε*μ mit 1 = e^(2*Pi*i).

  3. #3 Bernd Nowotnick
    23. November 2021

    Da keine Kritik aus der Mathematik-Anhängerschaft kommt möchte ich noch etwas zur Erläuterung nachlegen:
    Reelle hyperbolische Ebenen können in der reellen euklidischen Ebene dargestellt werden. Die Mathematik erklärt dann unterschiedliche Modelle, wenn zwei nicht isomorphe Strukturen das gleiche Axiomen System erfüllen und zwischen diesen Darstellungen umgerechnet wird. Aber die Raumzeit atmet, das ist nur nicht erkennbar wenn wir die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c = konstant setzen. Es ist also möglich, zwischen diesen Darstellungen umzurechnen und Aussagen in rein hyperbolischer Geometrie sind vom verwendeten Modell unabhängig. Bei Flachraumzeitlern mit absoluter Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum gilt die hyperbolische Isometrie der Raumzeit bei einer Winkelsumme kleiner 180°, so dass sie nicht auf die Vorgänge der Atmung auf der Raumzeit schließen können und was dahinter steckt möchten wir auch nicht wahr haben.

  4. #4 Thilo
    23. November 2021

    Dass die hyperbolische Ebene in der euklidischen Ebene dargestellt werden kann (als Beltrami-Klein-Modell) stimmt nur, wenn man sich ausschließlich für die inzidenzgeometrischen Aspekte der hyperbolischen Ebene interessiert. Eine isometrische Einbettung mit der Metrik der hyperbolischen Ebene in die euklidische Ebene ist nicht möglich.

  5. #5 Bernd Nowotnick
    23. November 2021

    #4

    Ja, da bleibt man lieber auf der Position der Ansichtsebene, da sonst bei den Aspekten vom Punkt in die Linie dahinter steckt dass ich die Mengen, die ich mir damit eingebrocke, auch auslöffeln muss da sie ja hinzugefügt werden oder ich passe mich von einer Position zur nächsten der neuen Ebene an, welche ich aber noch nicht kenne in der Ursache für den Wechsel, Vermittlung, Wirkung mit Wirkungsgrad nach Innen und Außen, sowie den Hintergund und dem Bild dazu.

  6. #6 Theorema Magnum – Mathlog
    14. Januar 2022

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