Theorema Magnum MXMV: der große Satz von Fermat

Die meisten Mathematiker außerhalb Japans waren skeptisch. André Weil meinte, für die Vermutung spreche nicht viel mehr als dass elliptische Kurven und Modulformen jeweils abzählbare Mengen bildeten und so gesehen nichts gegen eine Bijektion zwischen beiden spreche.

Ende der 60er Jahre, bemerkenswerterweise durch den zuvor skeptischen André Weil, erwachte wieder das Interesse an der Taniyama-Shimura-Vermutung. Weil zeigte, dass sie aus der vermuteten Funktionalgleichung der getwisteten L-Funktion der elliptischen Kurve folgen würde und dass der Führer der elliptischen Kurve der Grad der Modulform sein müsse. Damit konnte man die Vermutung nun an Beispielen testen und die Mathematiker waren plötzlich überzeugt von ihrer Richtigkeit. Einige numerische Beobachtungen würden sich mit dieser Vermutung nun erklären lassen. Zum Beispiel hatte man beobachtet, dass der Führer einer elliptischen Kurve über Q mindestens 11 ist. Dies würde mit der Modularitätsvermutung folgen, weil die Modulkurve X₀(N) für N<11 Geschlecht 0 hat und damit nicht auf eine elliptische Kurve abbilden kann. Wenig später wurde die Vermutung Teil des viel allgemeineren Langlands-Programms. Freys Idee einer Anwendung der Modularitätsvermutung auf das Fermat-Problem, die er seit den 70er Jahren vielen Kollegen erzählte, beeindruckte diese zunächst aber wenig. Sie sahen den Zusammenhang eher als Indiz dafür, dass die Vermutung über die Modularität elliptischer Kurven ebenso schwer sein sollte wie die unzugängliche Fermat-Gleichung. Neukirch überzeugte Frey schließlich 1986, seine Idee aufzuschreiben. Die dreiseitige Notiz verbreitete sich unter Zahlentheoretikern und gelangte auch zu Jean-Pierre Serre. Der fand schnell einen Fehler im Argument, erkannte aber, dass das Argument jedenfalls zeigt, dass die zur elliptischen Kurve assoziierte Darstellung modulo n sehr wenig verzweigt ist. Das erinnerte ihn an Vermutungen, die er vor längerer Zeit einmal aufgestellt (aber nur in Spezialfällen publiziert) hatte und er machte sich klar, dass diese Vermutungen jedenfalls völlig ausreichen würden, um Freys Argument zu rechtfertigen. Ribet hörte bald darauf von dieser sogenannten ε-Vermutung und bewies sie bei einem Gespräch mit Mazur während des ICM in Berkeley. Damit wußte man also, dass die Fermat-Vermutung aus der Modularität der Frey-Hellegouarch-Kurve folgen würde.
Modularität elliptischer Kurven kann man im größeren Kontext von Galois-Darstellungen sehen. Bekanntlich läßt sich eine elliptische Kurve als C/L für ein Gitter L realisieren, wobei die Addition der elliptischen Kurve der Addition in C/L entspricht. Insbesondere bilden die l-Torsionspunkte der elliptischen Kurve eine zu (Z/lZ)² isomorphe Untergruppe. Für eine über Q definierte elliptischen Kurve haben die Torsionspunkte Koordinaten im algebraischen Abschluß von Q. Insbesondere wirkt die Galois-Gruppe auf den l-Torsionspunkten, womit man eine Darstellung bekommt. Für alle natürliche Zahlen n kann man dann die lⁿ-Torsionspunkte betrachten, bekommt also eine Darstellung , und damit im projektiven Limes eine Darstellung über den l-adischen Zahlen . Man hat also zu jeder elliptische Kurve eine solche sogenannte Galois-Darstellung.

Galois-Darstellungen kommen in vielen Zusammenhängen in der Zahlentheorie vor. Insbesondere kann man auch gewissen Modulformen Galois-Darstellungen zuordnen: Eine Konstruktion von Deligne gibt zu jeder Spitzenform zur Kongruenzgruppe Γ1(N) eine Galois-Darstellung über einem etwas größeren Körper, nämlich der durch die Koeffizienten der Spitzenform erzeugten Erweiterung von Q tensoriert mit Ql. Für alle Nl nicht teilenden Primzahlen p ist diese Darstellung unverzweigt, und die Spur des Bildes des Frobenius-Automorphismus Frobp ist gerade der Koeffizient ap. Weiterhin ist die Determinante ε0(p)pk-1 für den mit der Spitzenform assoziiierten Charakter ε0 und durch diese Eigenschaften ist die Darstellung bis auf Isomorphismus eindeutig festgelegt.

Allgemein weiß man durch tiefe Sätze von Shimura, Deligne, Mazur und Langlands, dass man jeder Eigenform eines auf einem Raum von Modulformen wirkenden Hecke-Operators eine Galois-Darstellung (sogar über einem endlichen Körper der Ordnung ln) zuordnen kann. Deligne hatte 1972 eine Vermutung von Serre bewiesen, derzufolge man zu Modulformen l-adische Galois-Darstellungen hat. Das hat zahlentheoretische Anwendungen zahlreiche arithmetische Funktionen aus den Koeffizienten von Modulfunktionen oder Modulformen gewonnen werden können. So vermutete er, dass gewisse Kongruenzen der τ-Funktion durch die 2-dimensionalen l-adischen Darstellungen der Galois-Gruppe (für alle l) erklärt werden können, wo man die τ-Funktion als Spur von Frobp erhält. Beispielsweise kann man auf diese Weise die berühmte von Ramanujan gefundene Kongruenz τ(p)=1+p¹¹ mod 691 erklären.