Mit diesem Ansatz war die Modularität elliptischer Kurven dann Teil des Langlands-Programms geworden. Ein wichtiger Vorteil war die Analogie zu Modulfomen vom Gewicht 1: hier kann man das Bild durch 2-dimensionale komplexe Darstellungen ersetzen, deren Konstruktion 1974 von Deligne und Serre gegeben worden war, und die wesentliche Umkehrung für auflösbare Darstellungen war ein Spezialfall von Langlands Reziprozitätsvermutung für Artinsche L-Funktionen (nämlich die Holomorphie der Zetafunktion für nichttriviale Darstellungen), er wurde von Langlands in seinem Buch “Basiswechsel für GL(2)” (mit einigen Details in einer Arbeit von Tunnell) bewiesen. Das war der erste nichtelementare Fortschritt zur Artin-Vermutung, welche Holomorphie Artinscher L-Funktionen behauptet. 1987 hatte Serre dann eine Modularitätsvermutung aufgestellt: jede (absolut irreduzible, stetige und ungerade) Galois-Darstellung über einem endlichen Körper soll auf diese Weise durch eine Darstellung im Raum der Spitzenformen (in der Charakteristik des endlichen Körpers und mit Koeffizienten im endlichen Körper) gegeben sein. Die Wirkung der Galois-Gruppe ist durch Hecke-Operatoren und es gelten die obigen Formeln für Spur und Determinante. Diese Vermutung ist stärker als die Modularität elliptischer Kurven.
Auch den im 19. und 20. Jahrhundert lange verfolgten Ansatz über die Klassenzahl zyklotomischer Körper kann man als Frage über Galois-Darstellungen interpretieren. Zum Beispiel ist die Bestimmung der Klassenzahl von
Bewiesen wurde die Modularität der Frey-Hellegouarch-Kurve und damit der große Satz von Fermat dann von Andrew Wiles mit Unterstützung von Richard Taylor. Sein Beweis benutzte so ziemlich alles, was in den letzten Jahren an neuen Methoden entwickelt worden war – einen “postmodernen Beweis” nannte es Mumford später. Aber er benutzte nicht nur die neuentwickelten Methoden, er führte alles immer noch etwas weiter als jeder andere und fand verblüffende Tricks, wenn die Methoden zu versagen schienen.
Sein Zugang war nicht über elliptische Kurven, sondern über Galois-Darstellungen. Er wollte also zeigen, dass jedes kompatible System l-adischer Galois-Darstellungen von einer Neuform vom Gewicht 2 mit rationalen Koeffizienten auf Γ0(N) kommt. Tatsächlich betrachtete er Formen auf Γ1(N) und schränkte sich auf l-adische Darstellungen für ein einzelnes l ein. Der Beweis begann mit der wesentlichen Beobachtung, dass für jede elliptische Kurve über Q die Darstellung auf den 3-Teilungspunkten modular ist: das folgt unmittelbar aus dem von Langlands und Tunnell bewiesenen Satz. Wenn die Darstellung irreduzibel ist, dann ist jede Hebung zu einer GL(2,Z3)-Darstellung modular (was hier nicht bedeutet, über einem endlichen Körper definiert, sondern von einer Modulform kommend). Das ist Teil einer allgemeineren Theorie, welche Bedingungen beschreibt, unter denen Hebungen modularer Darstellungen modular sind und folgt aus einer überraschenden Verbindung zu einer verallgemeinerten Klassenzahlformel. Letztlich erhält er Modularität für alle elliptischen Kurven von semistabilem Typ, d.h. im Wesentlichen nur Doppelpunkte als Singularitäten nach Reduktion modulo Primzahlen, was für den Beweis der Fermat-Vermutung ausreicht (Faltings formulierte: “wenn man Glück hat, ist die Hebung modular, wenn nicht, zeigt man, dass die Kurve nicht semistabil ist“).
Den ersten, letztlich noch nicht korrekten Beweis hatte Andrew Wiles im Juli 1993 auf einer Tagung in Cambridge vorgetragen. Man hatte ihn eine dreiteilige Vortragsreihe halten lassen, deren Zuhörer zunächst nicht wußten, worum es gehen würde. Am zweiten Tag verdichteten sich dann aber doch die Gerüchte. Immer mehr Zuhörer machten während des dritten Vortrags Fotos, so dass der Raum schließlich mehr einem Premierentheater als einem Vortragssaal glich. Nach dem Ende seines Vortrags wurde die Nachricht per Fax und e-Mail um die Welt geschickt.
Als nach einigen Monaten kein Manuskript vorlag, mehrten sich kritische Stimmen und Gerüchte. Im Dezember, ein halbes Jahr nach seiner Vortragsreihe und kurz nach einem Artikel in “Le Monde”, schrieb Wiles eine e-Mail an zahlreiche Kollegen: „Wegen der Spekulationen möchte ich kurz berichten. Während des Reviews gab es verschiedene Probleme. Die meisten konnten gelöst werden, aber eines nicht. Die Berechnung einer oberen Schranke für eine Selmer-Gruppe ist noch nicht fertig. Ich glaube, dass ich das bald mit den Ideen aus meinem Cambridge-Vortrag fertigstellen kann. Deshalb gibt es noch kein Preprint. Im Februar halte ich Vorträge in Princeton.“
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