Primzahlen gehören zu den interessantesten Themen der Zahlentheorie. Bis heute weiß man beispielsweise nicht, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, also Primzahlen mit einem Abstand 2. Ebenso ungelöst ist die Frage, wie viele Primzahlnachbarn es gibt, also Primzahlen, die direkt aufeinander folgen. Ein Beispiel sind 2 und 3. Manche Zahlentheoretiker vermuten, dass es nur diese beiden Primzahlnachbarn gibt, weil für n>2 gilt, dass auf jede ungerade Zahl x eine gerade Zahl y folgt, die ja keine Primzahl ist, also Teiler hat, die von 1 und der jeweiligen Zahl y selbst verschieden sind. Somit können für n>2 auch keine zwei Primzahlen mehr direkt aufeinander folgen. Das ist das „Gesetz der Primzahlnachbarn-Singularität“.
Nun haben Zahlentheoretiker, von Cantors Theoremen ausgehend, behauptet, der Beweis für das Gesetz der Primzahlnachbarn-Singularität sei falsch. Es könnte am Ende der Zahlenreihe wieder Primzahlnachbarn geben. Die mathematische Herleitung der „Vermutung multipler Primzahlnachbarn“ ist kompliziert und kann hier nicht dargestellt werden, sie ist in den Annals of Advanced Mathematics nachzulesen. Vereinfacht gesprochen beruht sie darauf, dass man die letzte und vorletzte Zahl der Zahlenreihe nicht angeben kann und „Hilberts Hotel“ zeigt, dass unklar ist, ob am Ende eine gerade oder ungerade Zahl steht. Der berühmte Beweis für das Gesetz der Primzahlnachbarn-Singularität wäre demnach am Ende falsch. Das Ende kann sogar genauer angegeben werden: ab der kleinsten Zahl, deren Eigenschaft als gerade oder ungerade Zahl nicht mehr bekannt ist, der sog. “Hilbertschen Unbestimmtheitszahl”. Wie viele Primzahlnachbarn es dort gibt, weiß man nicht. Auf kluge Köpfe wartet hier gewiss der nächste Aberpreis.
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